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在一次五年级单元测试中,试卷上出现了这样一道判断题:两位小数乘两位小数的积是四位小数。()
由于是同年级班级间的联考,因此教师们采取“流水阅卷”的方式。在阅卷时,笔者分到几道填空题和几道判断题,很快,笔者将所分任务全部完成。到了统分时,一位同事突然惊叫起来:“李老师,你把这道判断题(前面所示)看错了,两位小数乘两位小数的积不一定是四位小数,此题应该判‘错’,不应该判‘对’。”这时,其他几位教师也都异口同声地说:“这道题是错误的,因为小数乘小数的积的末尾可能有0,根据小数的性质,应该将其化简,去掉小数末尾的0,所以两位小数乘两位小数的积可能是三位小数,可能是两位小数,也可能是一位小数……”顿时,笔者被同事们铿然有力的“理论攻击”弄得尴尬不已。为了缓解当时的尴尬气氛,笔者只好婉言搪塞:“对不起,是我看错了。”事毕,笔者始终深感有一丝“冤枉”,因为笔者一直认为这道题的描述是正确的。下面笔者就此题谈谈自己的点滴拙见,不当之处,恳请专家和同行指正。
先举一个例子,计算3.6×2.8。在计算时,我们把两个小数都看成整数,先按整数乘法进行计算,将3.6扩大10倍变成36,将2.8扩大10倍变成28,计算36×28=1008。不难看出,3.6和2.8都乘10后,得到的积就等于原来的积乘100,要求原来的积,就要反过来把1008除以100,得10.08。通过比较,我们发现积的小数位数与因数的小数位数是一致的。至此,许多教师定会提出“抗议”,认为笔者列举的例子只是一般情况(即小数与小数相乘时,积的末尾没有0),前面的描述当然正确。那么,当遇到特殊情况(即小数与小数相乘时,积的末尾有0)时,这种描述还正确吗?笔者认为,无论是一般情况还是特殊情况,这种描述都是正确的。
下面不妨再举一个例子,计算2.8×1.15。同样,根据小数乘小数的计算方法,先按整数乘法进行计算。先将2.8扩大10倍变成28,将1.15扩大100倍变成115,计算28×115=3220,然后观察3220,与原来的积比较,发现原来的积乘以1000就得到3220,要得到原来的积,就要用3220除以1000,得3.220。众所周知,3.220是一个三位小数,再看2.8×1.15,因数一共也有三位小数,积的小数位数与因数的小数位数是一致的。当然,这不是教师们关注的焦点,他们关注的焦点是:3.220要根据小数的性质化简得3.22,而3.22是一个两位小数,不是三位小数。
笔者认为,这种观点其实是不恰当的。俗话说,习惯成自然。作为教师,我们在教学时都会向学生讲清,根据小数的性质,在遇到小数末尾有0时,一般要将小数末尾的0去掉,这是约定俗成的习惯。但笔者认为,数学作为一门特殊的学科,它具有很强的科学性、逻辑性和严谨性,凡事都凭借习惯和经验,未必都是科学的。我们知道,小数的性质是:小数的末尾添上0或去掉0,小数的大小不变。前面的3.220要根据小数的性质去掉末尾的0,化简得3.22。笔者以为,既然3.220根据小数的性质去掉末尾的0,小数的大小不变,那么在3.220的末尾添上0,小数的大小也是不变的。如此说来,2.8×1.15的乘积可以是3.22,也可以是3.220,还可以是3.2200、3.22000……笔者不禁要问:2.8×1.15的乘积到底是两位小数,还是三位小数、四位小数……或者是无数位小数呢?“积的小数位数与因数的小数位数是一致的”又如何解释呢?
笔者认为, 3.220才是2.8×1.15真正意义上的积,2.8×1.15的积就是三位小数。因为3.220在化简之前,它能够清楚地显明因数的小数位数,或者说3.220才是因数的小数位数的“见证者”和“参与者”,尽管3.220可以化简成3.22,但3.22已不是原来意义上的积。因此,在判断小数乘小数的积是几位小数时,我们应当采用“先判断,再化简”的方法,而不是采取“先化简,再判断”的方式。倘若我们一味地只看化简的结果,而不注重求得结果的过程的话,那就犯下了“只看现象,不看本质”的错误。久而久之,会使我们的数学教学蒙上一层厚厚的“感性外衣”,而我们却浑然不知。
总之,在数学教学中,当遇到现象和本质并存时,作为一名教师,定要擦亮慧眼,看清本质,理性地思考,切忌被现象所迷惑。只有这样,才能使我们走出感性思维的“阴影”,才能使我们在数学教学的道路上如履平地。
(责编蓝天)
由于是同年级班级间的联考,因此教师们采取“流水阅卷”的方式。在阅卷时,笔者分到几道填空题和几道判断题,很快,笔者将所分任务全部完成。到了统分时,一位同事突然惊叫起来:“李老师,你把这道判断题(前面所示)看错了,两位小数乘两位小数的积不一定是四位小数,此题应该判‘错’,不应该判‘对’。”这时,其他几位教师也都异口同声地说:“这道题是错误的,因为小数乘小数的积的末尾可能有0,根据小数的性质,应该将其化简,去掉小数末尾的0,所以两位小数乘两位小数的积可能是三位小数,可能是两位小数,也可能是一位小数……”顿时,笔者被同事们铿然有力的“理论攻击”弄得尴尬不已。为了缓解当时的尴尬气氛,笔者只好婉言搪塞:“对不起,是我看错了。”事毕,笔者始终深感有一丝“冤枉”,因为笔者一直认为这道题的描述是正确的。下面笔者就此题谈谈自己的点滴拙见,不当之处,恳请专家和同行指正。
先举一个例子,计算3.6×2.8。在计算时,我们把两个小数都看成整数,先按整数乘法进行计算,将3.6扩大10倍变成36,将2.8扩大10倍变成28,计算36×28=1008。不难看出,3.6和2.8都乘10后,得到的积就等于原来的积乘100,要求原来的积,就要反过来把1008除以100,得10.08。通过比较,我们发现积的小数位数与因数的小数位数是一致的。至此,许多教师定会提出“抗议”,认为笔者列举的例子只是一般情况(即小数与小数相乘时,积的末尾没有0),前面的描述当然正确。那么,当遇到特殊情况(即小数与小数相乘时,积的末尾有0)时,这种描述还正确吗?笔者认为,无论是一般情况还是特殊情况,这种描述都是正确的。
下面不妨再举一个例子,计算2.8×1.15。同样,根据小数乘小数的计算方法,先按整数乘法进行计算。先将2.8扩大10倍变成28,将1.15扩大100倍变成115,计算28×115=3220,然后观察3220,与原来的积比较,发现原来的积乘以1000就得到3220,要得到原来的积,就要用3220除以1000,得3.220。众所周知,3.220是一个三位小数,再看2.8×1.15,因数一共也有三位小数,积的小数位数与因数的小数位数是一致的。当然,这不是教师们关注的焦点,他们关注的焦点是:3.220要根据小数的性质化简得3.22,而3.22是一个两位小数,不是三位小数。
笔者认为,这种观点其实是不恰当的。俗话说,习惯成自然。作为教师,我们在教学时都会向学生讲清,根据小数的性质,在遇到小数末尾有0时,一般要将小数末尾的0去掉,这是约定俗成的习惯。但笔者认为,数学作为一门特殊的学科,它具有很强的科学性、逻辑性和严谨性,凡事都凭借习惯和经验,未必都是科学的。我们知道,小数的性质是:小数的末尾添上0或去掉0,小数的大小不变。前面的3.220要根据小数的性质去掉末尾的0,化简得3.22。笔者以为,既然3.220根据小数的性质去掉末尾的0,小数的大小不变,那么在3.220的末尾添上0,小数的大小也是不变的。如此说来,2.8×1.15的乘积可以是3.22,也可以是3.220,还可以是3.2200、3.22000……笔者不禁要问:2.8×1.15的乘积到底是两位小数,还是三位小数、四位小数……或者是无数位小数呢?“积的小数位数与因数的小数位数是一致的”又如何解释呢?
笔者认为, 3.220才是2.8×1.15真正意义上的积,2.8×1.15的积就是三位小数。因为3.220在化简之前,它能够清楚地显明因数的小数位数,或者说3.220才是因数的小数位数的“见证者”和“参与者”,尽管3.220可以化简成3.22,但3.22已不是原来意义上的积。因此,在判断小数乘小数的积是几位小数时,我们应当采用“先判断,再化简”的方法,而不是采取“先化简,再判断”的方式。倘若我们一味地只看化简的结果,而不注重求得结果的过程的话,那就犯下了“只看现象,不看本质”的错误。久而久之,会使我们的数学教学蒙上一层厚厚的“感性外衣”,而我们却浑然不知。
总之,在数学教学中,当遇到现象和本质并存时,作为一名教师,定要擦亮慧眼,看清本质,理性地思考,切忌被现象所迷惑。只有这样,才能使我们走出感性思维的“阴影”,才能使我们在数学教学的道路上如履平地。
(责编蓝天)