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摘 要：在面向工科研究生的《微分方程数值解》课程教学中，设计了针对不同学生情况的分层次项目驱动教学改革。通过不同层次（基础层次、提高层次和拓展层次）课下项目的设计和实施，使学生能够基于自身情况选择合适的项目来做，从而打破传统的教学“吃大锅饭”的情况，达到分类教学、因材施教和兼容并蓄的目的。实践表明，教学效果良好。
关键词：微分方程数值解；工科研究生；分层次项目驱动
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2018）03-0136-03
Abstract： In the Numerical Solution of Differential Equations for engineering graduate students， a multilevel project-driven teaching reform for individual student is designed. Through the design and implementation of the program under different levels （basic level， improvement level and extension level）， students can choose the appropriate project based on their specific situations to break the traditional teaching mode， adjusting education to talent， classifying education and embracing inclusiveness. The practice indicates that the teaching effect is good.
Keywords： Numerical Solution to the Differential Equation； engineering graduates； hierarchical project-driven
引言
面向工程專业的数学课的任课教师通常都会面临着一个相似的问题：上课的学生对于数学课上所学的知识缺乏兴趣且很容易遗忘，尤其对于工科专业的研究生更是如此。究其原因，主要有两点：一、课程内容过于注重数学理论，忽视了学生数学基础及个人兴趣的不同，一视同仁“吃大锅饭”；二、学生无法将所学的知识和他们的专业课程联系起来。因此，上完课应付完考试后，在很短的时间内，就会把所学的内容还给老师。这种情况的产生，已经引起了越来越多教师的关注。大部分的教师都认为可以通过教学改革，改进以前“菜谱”式的授课方法来改善这个问题，但我们到底应该怎么做？应该如何改变现有的教学方法？至今仍没有一致的理论。
随着计算机软件硬件的不断更新和计算方法的迅速发展，科学计算与实验以及理论研究成为现代科学研究的三大主要手段。作为三种科学研究手段之一的科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的新学科，发展迅速，其理论基础主要是计算数学。作为科学计算中核心地位的《微分方程数值解法》是一门具有较强的实际背景、专门研究科学计算的课程，广泛应用于计算物理学、计算流体力学、计算化学、计算生物学、金融预测、图像处理和计算经济学等各种领域，具有日益重要的应用价值。目前，在我国高校，《微分方程数值解法》作为对数学基础知识要求较高且应用非常广泛的一门课程，不仅在数学专业，同时在其他的理工科专业的本科及研究生教育中都开设这门课程。《微分方程数值解法》最早是仅面向数学专业高年级本科生的进阶课程，后来才随着其他工科专业的需求，逐渐开始给工科专业的研究生开设此门课程。在现有的工科研究生课程教学中面对的实际问题是，它的理论分析部分比较多，课本内容侧重的是理论推导、分析和证明，对于问题的实际应用背景的介绍都一笔带过，从而使得知识点变得异常的抽象。对于工科专业的学生来说，这种教学模式会导致学生的兴趣被严重地扼杀。部分对数学兴趣较高的学生也会因周围同学的影响，因缺少和同学一起交流讨论的机会，从而兴趣逐渐降低。到教学结束时，还对该课程有兴趣的学生更是寥寥无几。
近些年来，关于研究生课程的教学改革在如火如荼的开展，尤其是在2014年教育部专门下发了《关于改进和加强研究生课程建设的意见》的文件之后，越来越多的教师将注意力放在了研究生课程的教学改革上，作为公共课的数学类课程更是引起了众多的关注。目前，已有一些高校教师在《微分方程数值解法》这门课的教学改革上做了很多努力。邓斌等人[1]基于数学学院信息与计算科学专业《微分方程数值解》课程的教学实践，对该课程的教学内容、教学方法和手段以及以科研促教学等方面进行了探讨；杨韧[2，3]针对信息与计算科学专业的教学实际，在《微分方程数值解》课程教学改革方面作了一些尝试和探讨，主要包括选择适当教学定位，精选课程内容，合理选取理论体系，注重理论联系实际，重视教学方法的改革和教学模式的更新，加强实践能力培养等；黄鹏展[4]通过在《偏微分方程数值解》课程教学中对“教学与科研相结合”原则进行教学实践，发现这条原则的应用，不仅可以开拓老师的科研视野，扩大科研资源和思路，而且可以增强学生的学习兴趣，发展其创造性思维；曾闽丽和林智期[3]从应用型本科院校培养人才的目标出发，并结合具体教学实践，探讨了提高《微分方程数值解法》课程教学效果的一种新的教学理念、教学方法和教学内容改革措施；曹富军和刘鹤[4]提出注重方程的背景和建模思想，科研与教学相结合，开展多元化的数学实验等教学改革措施；王保军等人[5]对于《微分方程数值解法》在一般本科院校的开设情况，基于多年的教学经验从教材选择、实验课开设等方面进行了详细的探讨。但基本上都是针对于数学系本科生的，面向研究生尤其是工科研究生的教学改革至今还未见相关报道。 本文作者在所大学是一所以工科为主的大学，作为一门公共数学课的《微分方程数值解》的选课学生，大多是来自于工科专业，如：机械工程、土木工程、材料科学以及电子信息等。在过去几年的教学过程中发现：这些专业的学生由于自身的专业特点，会更加关注微分方程的求解方法和软件实现，以及怎样才能将所学的方法应用于自己以后的课题中。他们需要的是简单易懂、直观的求解微分方程的方法，而不是高深的数学理论及证明技巧。因此，我开始在《微分方程数值解法》这门课程的教学中，加入一些新的元素，更改了一些教学方法。
一、教改目的及教改内容
本人所进行的教学改革的目的主要在于四个方面：1.使学生能够顺利的阐述自己所理解的求解方法；2.要求学生能够拓展课上所学的计算方法；3.使学生能够将所学方法应用于自己的专业课题；4.在学生完成项目的同时降低学生对于成绩分数的担心。
为了能够实现这些目标，我设计了一系列的项目课题及完成后的相应得分，并把这些一次性给予学生。这样，学生就可以根据自己的情况来选择需要完成的项目。对于教师来说，这些课下完成的项目可以作为课程的内置模块；对于学生来说，也可以作为一个提高成绩或者为自己的努力争取额外奖励的机会。
同时，考虑到学生的需求和能力也是不尽相同的，因此，我所设计的课下项目大体分为三个层次：基础阶段、提高阶段和拓展阶段。基础层次的项目主要面向那些需要大量时间来复习和消化课程内容以应对考试的学生。项目内容主要包括：1.有助于理解课程内容的主题。如：学生被要求解释为什么所采用的公式可以使用以及他们是如何推导的，这将有利于学生的理解；2.和课后作业以及考试内容比较接近的问题。对于这层次的学生来说，他们不会做课堂布置的作业以外的题目，甚至对于作业也很难完成。因此，我们通過类似的题目可以使这些学生得到分数，并可以鼓励他们做一些他们能做的额外工作。提高层次面向掌握了课程核心内容，但无法将所学内容顺利应用的学生。这时，我们的项目主要包括应用导向性问题，要求学生首先能够详细准确阐述所掌握的方法，并在教师的引导下完成项目。通过项目的完成，学生能够对所学内容有完整的理解，并能够有所延拓。拓展层次主要面向班级里成绩最好的学生。这部分学生学有余力，课程的内容太过简单。如果我们只是照顾其他大多数学生，那么这部分学生就会对这门课程失去兴趣。因此，我们设计了深度项目，主要包括：1.课程核心内容的高级应用；2.课程内容的深度挖掘。
二、教学改革如何实施
在本门课程的第一节课，和学生沟通交流将在本门课程中加入需要课下完成项目的这个要求。对于所有的课下题目，给定总得分及截止时间。截止时间一般为学期末，但对于基础层级的项目可以考虑安排在考试前。这些课下项目中最好还要包含一部分的最重要的课程内容，大概在10%-15%。每个项目有得分说明，允许学生自主选择，并可以累积以达到最高得分。我们规定所有题目完成后可以得到100分，占最后期末总成绩的30%。
课下项目的设计可以说是这次教学改革的一个重点，我们所设计的题目必须精确区分不同的层次，避免同一个项目中包括多个层次的内容，从而使得不同需求的学生可以准确选择合适的项目。在基础层次的项目中，也要准确标出是课程中哪部分章节的内容。另外，对于项目的评分应该包括结果和展示阐述两部分。这样可以使学生明白，能够将所得到的结果完整清晰的展示出来也是非常重要的。因此，在本次教学改革中，写作能力和表达能力也是非常重要的一方面。
采用这种模式的好处在于：1.通过项目的实施，学生可以加深课程内容的理解，并获得自信；2.可以减轻学生期末考试来临前的紧张情绪；3.可以使学生挑选感兴趣的问题以增加完成度，而不是单纯满足于学分；4.学生有更高的自主权，没有强制完成的作业。
三、分层次项目举例
在本节中，我们将以本门课程的第一章《常微分方程的数值解法》中欧拉方法为例，给出具体的课下项目。
例：考虑如下的常微分方程初值问题，并采用欧拉公式求解。
对于上述问题，不同层次的课下题目如下：
题目1 （基础层次）给出求解上述题目的欧拉方法的公式，并给出欧拉方法的局部截断误差主部及方法阶数。
题目2 （提高层次）针对上述题目，如果我们分别采用步长h=0.025和h=0.01计算y（0.1），结果如何？为什么？
题目3 （拓展层次） 针对上述题目，完成如下问题
1. 给出上述问题的解析解，并求出x=0.1上的函数值
2. 基于Matlab，以步长h=0.01，h=0.02和h=0.05分别采用欧拉方法求解x=0.1的函数值，求出绝对误差及相对误差。以表格或图形的方式对比所得结果，并分析原因。
针对这样一道常微分方程初值问题的求解，我们要求学生采用欧拉方法来解决。题目1是针对基础层次学生的，只是要求其掌握课堂上所讲授的内容，能够给出欧拉公式、会求局部截断误差，并能够基于局部截断误差给出方法的阶数；题目2考察的是欧拉方法稳定性的知识点，通过不同步长的计算，学生会发现结果完全不同，而要分析出为什么，则需要学生对于数值方法稳定性有着较为深刻的理解；题目3则是针对学有余力的同学，要求这部分同学不仅掌握和能够灵活运用课堂上所讲的知识点，还要能够以较为系统的方式阐述和分析所得结果。
四、结束语
在此次教改的实施过程中，大多数的学生选择了基础层次的项目，提高层级以及拓展层次的题目，选择的学生很少。这是一个遗憾，我想主要原因可能还是学生的自信心不足或者在拓展题目的选择上有些难度较大，使学生有点畏惧。这一部分，在以后的授课过程中可以进一步改善。虽然存在着一些不足，但基础题目的选择也使得学生们对课堂上讲授的知识掌握得更扎实，对进阶层次的题目也加强了了解。总体上来说，本次的教学改革还是成功的。最后，需要强调是项目灵活性的重要性，我们必须尽可能多地添加新的合适的项目，以满足今后教学过程中不同层次学生的需求。
参考文献：
[1]邓斌，朱晓临，张瑞丰，等.《微分方程数值解》课程教学改革的探索和实践[J].大学数学，2014，30（Sup1）：56-58.
[2]黄鹏展.教学与科研相结合原则在偏微分方程数值解教学中的实践[J].数学教育学报，2015，24（4）：48-50.
[3]曾闽丽，林智期.《微分方程数值解法》的实践教学改革与思考[J].兰州文理学院学报（自然科学版），2014，28（6）：101-103.
[4]曹富军，刘鹤.教学、科研与实践有效结合的偏微分方程数值解课程教学[J].高师理科学刊，2014，36（6）：84-87.
[5]王保军，王景泉，徐国东.微分方程数值解教学实践的探究[J]. 南阳师范学院学报，2010，9（12）：90-92.
[6]孙美玲.常微分方程数值解法的Matlab计算与可视比较[J].高教学刊，2016（19）：60-61.
[7]孔胜利.工科研究生数值分析课程教学改革[J].高教学刊，2017（22）：145-147.
关键词：微分方程数值解；工科研究生；分层次项目驱动
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2018）03-0136-03
Abstract： In the Numerical Solution of Differential Equations for engineering graduate students， a multilevel project-driven teaching reform for individual student is designed. Through the design and implementation of the program under different levels （basic level， improvement level and extension level）， students can choose the appropriate project based on their specific situations to break the traditional teaching mode， adjusting education to talent， classifying education and embracing inclusiveness. The practice indicates that the teaching effect is good.
Keywords： Numerical Solution to the Differential Equation； engineering graduates； hierarchical project-driven
引言
面向工程專业的数学课的任课教师通常都会面临着一个相似的问题：上课的学生对于数学课上所学的知识缺乏兴趣且很容易遗忘，尤其对于工科专业的研究生更是如此。究其原因，主要有两点：一、课程内容过于注重数学理论，忽视了学生数学基础及个人兴趣的不同，一视同仁“吃大锅饭”；二、学生无法将所学的知识和他们的专业课程联系起来。因此，上完课应付完考试后，在很短的时间内，就会把所学的内容还给老师。这种情况的产生，已经引起了越来越多教师的关注。大部分的教师都认为可以通过教学改革，改进以前“菜谱”式的授课方法来改善这个问题，但我们到底应该怎么做？应该如何改变现有的教学方法？至今仍没有一致的理论。
随着计算机软件硬件的不断更新和计算方法的迅速发展，科学计算与实验以及理论研究成为现代科学研究的三大主要手段。作为三种科学研究手段之一的科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的新学科，发展迅速，其理论基础主要是计算数学。作为科学计算中核心地位的《微分方程数值解法》是一门具有较强的实际背景、专门研究科学计算的课程，广泛应用于计算物理学、计算流体力学、计算化学、计算生物学、金融预测、图像处理和计算经济学等各种领域，具有日益重要的应用价值。目前，在我国高校，《微分方程数值解法》作为对数学基础知识要求较高且应用非常广泛的一门课程，不仅在数学专业，同时在其他的理工科专业的本科及研究生教育中都开设这门课程。《微分方程数值解法》最早是仅面向数学专业高年级本科生的进阶课程，后来才随着其他工科专业的需求，逐渐开始给工科专业的研究生开设此门课程。在现有的工科研究生课程教学中面对的实际问题是，它的理论分析部分比较多，课本内容侧重的是理论推导、分析和证明，对于问题的实际应用背景的介绍都一笔带过，从而使得知识点变得异常的抽象。对于工科专业的学生来说，这种教学模式会导致学生的兴趣被严重地扼杀。部分对数学兴趣较高的学生也会因周围同学的影响，因缺少和同学一起交流讨论的机会，从而兴趣逐渐降低。到教学结束时，还对该课程有兴趣的学生更是寥寥无几。
近些年来，关于研究生课程的教学改革在如火如荼的开展，尤其是在2014年教育部专门下发了《关于改进和加强研究生课程建设的意见》的文件之后，越来越多的教师将注意力放在了研究生课程的教学改革上，作为公共课的数学类课程更是引起了众多的关注。目前，已有一些高校教师在《微分方程数值解法》这门课的教学改革上做了很多努力。邓斌等人[1]基于数学学院信息与计算科学专业《微分方程数值解》课程的教学实践，对该课程的教学内容、教学方法和手段以及以科研促教学等方面进行了探讨；杨韧[2，3]针对信息与计算科学专业的教学实际，在《微分方程数值解》课程教学改革方面作了一些尝试和探讨，主要包括选择适当教学定位，精选课程内容，合理选取理论体系，注重理论联系实际，重视教学方法的改革和教学模式的更新，加强实践能力培养等；黄鹏展[4]通过在《偏微分方程数值解》课程教学中对“教学与科研相结合”原则进行教学实践，发现这条原则的应用，不仅可以开拓老师的科研视野，扩大科研资源和思路，而且可以增强学生的学习兴趣，发展其创造性思维；曾闽丽和林智期[3]从应用型本科院校培养人才的目标出发，并结合具体教学实践，探讨了提高《微分方程数值解法》课程教学效果的一种新的教学理念、教学方法和教学内容改革措施；曹富军和刘鹤[4]提出注重方程的背景和建模思想，科研与教学相结合，开展多元化的数学实验等教学改革措施；王保军等人[5]对于《微分方程数值解法》在一般本科院校的开设情况，基于多年的教学经验从教材选择、实验课开设等方面进行了详细的探讨。但基本上都是针对于数学系本科生的，面向研究生尤其是工科研究生的教学改革至今还未见相关报道。 本文作者在所大学是一所以工科为主的大学，作为一门公共数学课的《微分方程数值解》的选课学生，大多是来自于工科专业，如：机械工程、土木工程、材料科学以及电子信息等。在过去几年的教学过程中发现：这些专业的学生由于自身的专业特点，会更加关注微分方程的求解方法和软件实现，以及怎样才能将所学的方法应用于自己以后的课题中。他们需要的是简单易懂、直观的求解微分方程的方法，而不是高深的数学理论及证明技巧。因此，我开始在《微分方程数值解法》这门课程的教学中，加入一些新的元素，更改了一些教学方法。
一、教改目的及教改内容
本人所进行的教学改革的目的主要在于四个方面：1.使学生能够顺利的阐述自己所理解的求解方法；2.要求学生能够拓展课上所学的计算方法；3.使学生能够将所学方法应用于自己的专业课题；4.在学生完成项目的同时降低学生对于成绩分数的担心。
为了能够实现这些目标，我设计了一系列的项目课题及完成后的相应得分，并把这些一次性给予学生。这样，学生就可以根据自己的情况来选择需要完成的项目。对于教师来说，这些课下完成的项目可以作为课程的内置模块；对于学生来说，也可以作为一个提高成绩或者为自己的努力争取额外奖励的机会。
同时，考虑到学生的需求和能力也是不尽相同的，因此，我所设计的课下项目大体分为三个层次：基础阶段、提高阶段和拓展阶段。基础层次的项目主要面向那些需要大量时间来复习和消化课程内容以应对考试的学生。项目内容主要包括：1.有助于理解课程内容的主题。如：学生被要求解释为什么所采用的公式可以使用以及他们是如何推导的，这将有利于学生的理解；2.和课后作业以及考试内容比较接近的问题。对于这层次的学生来说，他们不会做课堂布置的作业以外的题目，甚至对于作业也很难完成。因此，我们通過类似的题目可以使这些学生得到分数，并可以鼓励他们做一些他们能做的额外工作。提高层次面向掌握了课程核心内容，但无法将所学内容顺利应用的学生。这时，我们的项目主要包括应用导向性问题，要求学生首先能够详细准确阐述所掌握的方法，并在教师的引导下完成项目。通过项目的完成，学生能够对所学内容有完整的理解，并能够有所延拓。拓展层次主要面向班级里成绩最好的学生。这部分学生学有余力，课程的内容太过简单。如果我们只是照顾其他大多数学生，那么这部分学生就会对这门课程失去兴趣。因此，我们设计了深度项目，主要包括：1.课程核心内容的高级应用；2.课程内容的深度挖掘。
二、教学改革如何实施
在本门课程的第一节课，和学生沟通交流将在本门课程中加入需要课下完成项目的这个要求。对于所有的课下题目，给定总得分及截止时间。截止时间一般为学期末，但对于基础层级的项目可以考虑安排在考试前。这些课下项目中最好还要包含一部分的最重要的课程内容，大概在10%-15%。每个项目有得分说明，允许学生自主选择，并可以累积以达到最高得分。我们规定所有题目完成后可以得到100分，占最后期末总成绩的30%。
课下项目的设计可以说是这次教学改革的一个重点，我们所设计的题目必须精确区分不同的层次，避免同一个项目中包括多个层次的内容，从而使得不同需求的学生可以准确选择合适的项目。在基础层次的项目中，也要准确标出是课程中哪部分章节的内容。另外，对于项目的评分应该包括结果和展示阐述两部分。这样可以使学生明白，能够将所得到的结果完整清晰的展示出来也是非常重要的。因此，在本次教学改革中，写作能力和表达能力也是非常重要的一方面。
采用这种模式的好处在于：1.通过项目的实施，学生可以加深课程内容的理解，并获得自信；2.可以减轻学生期末考试来临前的紧张情绪；3.可以使学生挑选感兴趣的问题以增加完成度，而不是单纯满足于学分；4.学生有更高的自主权，没有强制完成的作业。
三、分层次项目举例
在本节中，我们将以本门课程的第一章《常微分方程的数值解法》中欧拉方法为例，给出具体的课下项目。
例：考虑如下的常微分方程初值问题，并采用欧拉公式求解。
对于上述问题，不同层次的课下题目如下：
题目1 （基础层次）给出求解上述题目的欧拉方法的公式，并给出欧拉方法的局部截断误差主部及方法阶数。
题目2 （提高层次）针对上述题目，如果我们分别采用步长h=0.025和h=0.01计算y（0.1），结果如何？为什么？
题目3 （拓展层次） 针对上述题目，完成如下问题
1. 给出上述问题的解析解，并求出x=0.1上的函数值
2. 基于Matlab，以步长h=0.01，h=0.02和h=0.05分别采用欧拉方法求解x=0.1的函数值，求出绝对误差及相对误差。以表格或图形的方式对比所得结果，并分析原因。
针对这样一道常微分方程初值问题的求解，我们要求学生采用欧拉方法来解决。题目1是针对基础层次学生的，只是要求其掌握课堂上所讲授的内容，能够给出欧拉公式、会求局部截断误差，并能够基于局部截断误差给出方法的阶数；题目2考察的是欧拉方法稳定性的知识点，通过不同步长的计算，学生会发现结果完全不同，而要分析出为什么，则需要学生对于数值方法稳定性有着较为深刻的理解；题目3则是针对学有余力的同学，要求这部分同学不仅掌握和能够灵活运用课堂上所讲的知识点，还要能够以较为系统的方式阐述和分析所得结果。
四、结束语
在此次教改的实施过程中，大多数的学生选择了基础层次的项目，提高层级以及拓展层次的题目，选择的学生很少。这是一个遗憾，我想主要原因可能还是学生的自信心不足或者在拓展题目的选择上有些难度较大，使学生有点畏惧。这一部分，在以后的授课过程中可以进一步改善。虽然存在着一些不足，但基础题目的选择也使得学生们对课堂上讲授的知识掌握得更扎实，对进阶层次的题目也加强了了解。总体上来说，本次的教学改革还是成功的。最后，需要强调是项目灵活性的重要性，我们必须尽可能多地添加新的合适的项目，以满足今后教学过程中不同层次学生的需求。
参考文献：
[1]邓斌，朱晓临，张瑞丰，等.《微分方程数值解》课程教学改革的探索和实践[J].大学数学，2014，30（Sup1）：56-58.
[2]黄鹏展.教学与科研相结合原则在偏微分方程数值解教学中的实践[J].数学教育学报，2015，24（4）：48-50.
[3]曾闽丽，林智期.《微分方程数值解法》的实践教学改革与思考[J].兰州文理学院学报（自然科学版），2014，28（6）：101-103.
[4]曹富军，刘鹤.教学、科研与实践有效结合的偏微分方程数值解课程教学[J].高师理科学刊，2014，36（6）：84-87.
[5]王保军，王景泉，徐国东.微分方程数值解教学实践的探究[J]. 南阳师范学院学报，2010，9（12）：90-92.
[6]孙美玲.常微分方程数值解法的Matlab计算与可视比较[J].高教学刊，2016（19）：60-61.
[7]孔胜利.工科研究生数值分析课程教学改革[J].高教学刊，2017（22）：145-147.