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《数学课程标准（2011年版）》倡导要让学生经历知识的形成过程.学生的学习过程是一个再创造的过程，有些知识模型是可以由学生进行再创造的，这就要求学生要清楚知识发生、发展的过程.因此，教学中教师要让学生通过“做”数学、“玩”数学经历数学知识的形成过程.数学思想也必须通过“再发现”的方式让学生习得，将教学活动中蕴含的数学思想方法充分“释放”.下面以“两位数乘一位数的笔算”为例，谈一谈如何在探究过程中培养运算能力、感悟数学思想，从而提升核心素养.
一、在探究过程中培养运算能力
运算能力是小学数学能力的核心，是小学数学的基本能力，同时也是数学综合能力的体现.运算不等同于计算，它是“算”与“思”的结合、操作与思辨的结合.小学数学中计算所占的比重很大，学生运算能力的高低直接影响着学生后续的学习.
例如，在教学“两位数乘一位数的笔算”时，要让学生经历知识的形成过程，逐步培养运算能力，同时提高学生的推理能力和思维能力.
课一开始，教师创设有趣的游览动物城情境，引入新课，激发学生的学习兴趣，为新知的探究做好充分准备.学生在列出算式12+12+12=36（时），教师追问：还有不同的算式吗？学生列出：12×3.教师提出要求：“先独立思考，借助点子图，尝试计算12×3，并试着写出你的计算过程.”学生汇报展示探究过程.
有把12分成6和6，先圈3个6是18，再圈3个6是18，18和18合起来是36;有把12分成8和4，先圈3个8是24，再圈3个4是12，24和12合起来是36;也有把12分成10和2，先圈3个2是6，再圈3个10是30，30和6合起来是36;还有把12分成5和7，先圈3个5是15，再圈3个7是21，15和21合起是36.最后我们将这些所有的算法进行比较，找到它们之间的相同点和不同点，再来归纳提升，把12分成10和2计算起来最为简单.也就是说，把这个两位数分成一个整十数和一个一位数，计算简便.
在整个学生探究笔算算理的过程中，教师不断追问，学生不断思考，从而完成了算理探究的学习.在这个过程中，点子图起到了很大的作用.
（一）“点子图”是呈现算法多样化的“桥”
本节课借助点子图，让学生在点子图上圈一圈，表示出自己计算12×3的思考过程.由于点子图方便操作，在拆分、圈画中还能清晰简洁地反映不同的算法，学生很快探索出不同的表示方法.
不同的方法呈现出了不同的思考路径，但都能很好地让学生在解释的过程中有理有据.
（二）“点子图”是理解乘法算理的“桥”
结合上面学生探究出的不同的方法，顺势引导学生思考：“仔细观察，他们在算法上有什么相同和不同的地方？你更喜欢哪种方法？”学生讨论之后，纷纷发言.
相对情境中的实物模型来说，点子图的表现形式直观简单，更利于学生理解算法的意义和算理.
（三）“点子图”是从直观运算到算法运算的“桥”
之前，学生借助点子图用表内乘法和加法算出“12×3”的结果，就是把新知识转化为旧知识的过程.学生提到的“把12分成10和2”，分别与3相乘后，再把乘积相加的方法，让学生观察并解读其中的思路.学生很容易就看懂了其中蕴含的道理，这为以后学习笔算乘法打下坚实的基础.
总之，点子图把教材静态的知识激活了，使学生知其然更知其所以然.作为乘法教学中的“桥”，点子图让学习的过程充盈着智慧和乐趣，在算法理解的过程中它功不可没！
二、在探究过程中感悟数学思想
数学知识的发生、发展过程，也是数学思想发生和凸显的过程.数学思想的形成需要在过程中实现，只有经历问题解决的过程，才能体会到数学思想的作用，才能理解数学思想的精髓，才能进行知识的有效迁移.
例如，在教学“两位数乘一位数的笔算”时，要理解其中蕴含的数学思想方法.在学生的探究活动中，首先，学生想到要12分成两个数分别和3相乘.学生在前面已经学习了表内乘法以及整十数乘一位数，利用转化的数学学习活动经验解决了12×3的问题.其次，学生用点子图理解算理和算法，采用圈点子图的方法，学生能比价直观地感受到12×3的积就是把左、右两部分合起来.结合点子图，学生直观理解12×3的算理和算法，感悟数形结合思想便于理解抽象的数学，找到解决问题的方法.最后，学生根据前面的知识进行竖式计算，体现了运算的有据、正确、简洁.在竖式计算的创编过程中，我们经历了将由三个小竖式到一个长竖式，并简化的过程.
这样学生就思路清晰地掌握了两位数乘一位数的运算方法和算理.这其中进行了三次对比.
（一）表面的对比
根据前面对算法的探究，学生写出了3种不同的竖式计算方法，其中3个小竖式的，就是将口算的过程分别用竖式表示了出来，可以直接排除掉.对剩下的两种竖式，第一次进行表面的对比，就是6，30，36以及后一种的36分别是怎样得来的，这一次对比加深了对算理的理解.
（二）深一层次的对比
在此基础上，再将3和“30”进行第二次对比，3是一位数写在十位，表示的是3个十，30是两位数，表示的是30个一，3个十和30个一虽然写法不一样，表示的结果却相同，只是3个十写起来更简便.
（三）隐藏的对比
最后一次对比，将算理更加地清晰化.第一种写法中6和30合起来是36，非常明显，学生一下子就能找到.而第二种是将6和3直接写在了相对应的数位上.这里对学生来说有些难度，但是教师有必要引导学生去发现.
三次不同深度的对比，加深了学生对算理的理解，同时对竖式计算也更加清楚明白.
学生經历知识的形成过程，自己探究出两位数乘一位数的计算方法，解决问题的策略更加合理与简洁，并感悟了数学思想方法，使学生的思维更加深刻和灵活，让数学思想在学生的数学学习活动中伴随左右，使学生成为具有“数学头脑”的人，从而提高数学核心素养.
一、在探究过程中培养运算能力
运算能力是小学数学能力的核心，是小学数学的基本能力，同时也是数学综合能力的体现.运算不等同于计算，它是“算”与“思”的结合、操作与思辨的结合.小学数学中计算所占的比重很大，学生运算能力的高低直接影响着学生后续的学习.
例如，在教学“两位数乘一位数的笔算”时，要让学生经历知识的形成过程，逐步培养运算能力，同时提高学生的推理能力和思维能力.
课一开始，教师创设有趣的游览动物城情境，引入新课，激发学生的学习兴趣，为新知的探究做好充分准备.学生在列出算式12+12+12=36（时），教师追问：还有不同的算式吗？学生列出：12×3.教师提出要求：“先独立思考，借助点子图，尝试计算12×3，并试着写出你的计算过程.”学生汇报展示探究过程.
有把12分成6和6，先圈3个6是18，再圈3个6是18，18和18合起来是36;有把12分成8和4，先圈3个8是24，再圈3个4是12，24和12合起来是36;也有把12分成10和2，先圈3个2是6，再圈3个10是30，30和6合起来是36;还有把12分成5和7，先圈3个5是15，再圈3个7是21，15和21合起是36.最后我们将这些所有的算法进行比较，找到它们之间的相同点和不同点，再来归纳提升，把12分成10和2计算起来最为简单.也就是说，把这个两位数分成一个整十数和一个一位数，计算简便.
在整个学生探究笔算算理的过程中，教师不断追问，学生不断思考，从而完成了算理探究的学习.在这个过程中，点子图起到了很大的作用.
（一）“点子图”是呈现算法多样化的“桥”
本节课借助点子图，让学生在点子图上圈一圈，表示出自己计算12×3的思考过程.由于点子图方便操作，在拆分、圈画中还能清晰简洁地反映不同的算法，学生很快探索出不同的表示方法.
不同的方法呈现出了不同的思考路径，但都能很好地让学生在解释的过程中有理有据.
（二）“点子图”是理解乘法算理的“桥”
结合上面学生探究出的不同的方法，顺势引导学生思考：“仔细观察，他们在算法上有什么相同和不同的地方？你更喜欢哪种方法？”学生讨论之后，纷纷发言.
相对情境中的实物模型来说，点子图的表现形式直观简单，更利于学生理解算法的意义和算理.
（三）“点子图”是从直观运算到算法运算的“桥”
之前，学生借助点子图用表内乘法和加法算出“12×3”的结果，就是把新知识转化为旧知识的过程.学生提到的“把12分成10和2”，分别与3相乘后，再把乘积相加的方法，让学生观察并解读其中的思路.学生很容易就看懂了其中蕴含的道理，这为以后学习笔算乘法打下坚实的基础.
总之，点子图把教材静态的知识激活了，使学生知其然更知其所以然.作为乘法教学中的“桥”，点子图让学习的过程充盈着智慧和乐趣，在算法理解的过程中它功不可没！
二、在探究过程中感悟数学思想
数学知识的发生、发展过程，也是数学思想发生和凸显的过程.数学思想的形成需要在过程中实现，只有经历问题解决的过程，才能体会到数学思想的作用，才能理解数学思想的精髓，才能进行知识的有效迁移.
例如，在教学“两位数乘一位数的笔算”时，要理解其中蕴含的数学思想方法.在学生的探究活动中，首先，学生想到要12分成两个数分别和3相乘.学生在前面已经学习了表内乘法以及整十数乘一位数，利用转化的数学学习活动经验解决了12×3的问题.其次，学生用点子图理解算理和算法，采用圈点子图的方法，学生能比价直观地感受到12×3的积就是把左、右两部分合起来.结合点子图，学生直观理解12×3的算理和算法，感悟数形结合思想便于理解抽象的数学，找到解决问题的方法.最后，学生根据前面的知识进行竖式计算，体现了运算的有据、正确、简洁.在竖式计算的创编过程中，我们经历了将由三个小竖式到一个长竖式，并简化的过程.
这样学生就思路清晰地掌握了两位数乘一位数的运算方法和算理.这其中进行了三次对比.
（一）表面的对比
根据前面对算法的探究，学生写出了3种不同的竖式计算方法，其中3个小竖式的，就是将口算的过程分别用竖式表示了出来，可以直接排除掉.对剩下的两种竖式，第一次进行表面的对比，就是6，30，36以及后一种的36分别是怎样得来的，这一次对比加深了对算理的理解.
（二）深一层次的对比
在此基础上，再将3和“30”进行第二次对比，3是一位数写在十位，表示的是3个十，30是两位数，表示的是30个一，3个十和30个一虽然写法不一样，表示的结果却相同，只是3个十写起来更简便.
（三）隐藏的对比
最后一次对比，将算理更加地清晰化.第一种写法中6和30合起来是36，非常明显，学生一下子就能找到.而第二种是将6和3直接写在了相对应的数位上.这里对学生来说有些难度，但是教师有必要引导学生去发现.
三次不同深度的对比，加深了学生对算理的理解，同时对竖式计算也更加清楚明白.
学生經历知识的形成过程，自己探究出两位数乘一位数的计算方法，解决问题的策略更加合理与简洁，并感悟了数学思想方法，使学生的思维更加深刻和灵活，让数学思想在学生的数学学习活动中伴随左右，使学生成为具有“数学头脑”的人，从而提高数学核心素养.