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【摘要】《数学课程标准（2011年版）》中提出“四能”，最终以“解决问题”为教学目标.本文通过调查，获得当下影响学生解决问题能力有哪些因素.在此基础上提出应用图示表征方法的教学策略实践，总结出图示表征的三种方法，即几何图表征、符号表征及算子表征等直观教学策略，对培养学生解决问题能力有重要实践意义.
【关键词】影响解决问题因素;几何图表征;符号表征;算子表征
【基金项目】本文为福建省教育科学“十二五”立项课题《以培养学生解决问题能力为导向的小学数学有效教学研究》结题成果之一.
“问题”是数学教学的起点与终点.哈默斯说：“问题是数学的心脏.”美国著名的数学教育家玻利亚说：“问题意味着要去寻找适当的行动，以达到一个可见而不是可及的目标.”他在《数学的发现》一书中认为，所谓问题就是有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的.《数学课程标准（2011年版）》中提出“四能”，即：发现问题能力、提出问题能力、分析问题能力和解决问题能力.学生在发现问题、提出问题、分析问题的基础上，最终以解决问题为教学目标，培养学生解决问题能力具有重要的实践意义.
什么是解决问题能力？它是指学生应用数学知识成功完成某项活动所必需的数学思维个性心理特征，是学生的数学综合素质在某项活动中表现出来的实际本领大小.
影响学生的解决问题能力有哪些因素呢？为调查学生对数学问题解决能力的影响因素，本人对所在的公办小学五年级学生200名进行问卷调查和测试，在分析原因的基础上，实施图示表征教学对策研究，获以下结论.
一、影响解决问题能力的因素及其分析
（一）问卷调查
问卷调查内容主要有两个方面：一理解题意困难时是否会采用图式表示，二是对抽象数学问题喜欢老师采取什么方式帮助他们.
1.在理解题意困难时，你经常会画一个示意图帮助对问题的理解吗？
A.经常会B.偶尔会C.不会
从调查结果来看，大部分学生在理解题意困难时，自己会选择画示意图来帮助对題意的理解，把抽象的数学问题以直观的图示来帮助理解，为问题解决奠定了基础.
2.你对比较抽象的数学问题不理解时，你喜欢老师采取哪种方式帮助你？
A.单纯讲解问题解决
B.借助多媒体视频演示问题解决
C.实物演示问题解决
从调查结果来看，大部分学生对比较抽象的数学问题不理解时，最喜欢老师采用实物演示来帮助解决.
（二）对比测试
为了调查学生有无“图示表征”和“视图表征”对问题解决能力的影响情况.本人设计了数学本质内容相同，各打印100张.把它分成有无“图示表征”和“视图表征”，共测试了五年级的四个班级.
1.有无图示表征对解决问题的影响：
题1：没有图示表征的数学问题解决情况（试卷1）：
在一个长方体容器中，从里面量长为12 cm，宽为2 dm，高为2 dm，向容器中倒入7.5 L水，再把一个苹果放入水中（完全浸没），这时测得容器内水面的高度是13.4 cm.这个苹果的体积是多少？
题2：有图示表征的数学问题解决情况（试卷2）：
下面是贝贝比较土豆和红薯的体积时做的实验.（单位：cm）
放入土豆接着放入红薯
（1）计算土豆和红薯的体积.
从表中可以看出，学生对有图示表征的数学问题解决情况比没有图示表征的数学问题好一些.
2.有无视觉表征对解决问题能力的影响：
（1）没有视觉表征的数学问题解决情况（试卷1）：
一个长方体，高减少5厘米正好成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，求原长方体的体积.
（2）有视觉表征的数学问题解决情况（实物演示）（试卷2）：
一个长方体，高减少5厘米正好成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，求原长方体的体积.
分两个时间段测试，半班先完成试卷1，另外半班后面完成，老师演示题意（视觉表征）.学生解答情况如下：
从表中可以看出，学生对有视觉表征的数学问题解决情况比没有视觉表征的数学问题解决情况要好些.
二、应用图示表征法提高解决问题能力
基于以上调查及其原因分析，采用图示表征方法培养学生解决问题能力是个较好的教学策略.朱智贤在《儿童心理学》一书中指出：小学生思维发展的基本特点是从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式;但这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大成分的具体形象性.所以，图示表征教学符合小学生年龄特征的思维模式.
著名数学教育家斯托利亚尔指出：“数学教学是数学活动（思维活动）的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学.”而思维活动往往蕴含在问题的解决过程，让学生在图示表征基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等基本方法去推理和判断，进而达到数学问题解题能力的提升.利用图示表征可以直观形象展示数学抽象性.
（一）图示表征，直观教学
1.几何图表征
线段图是个简介的图示表征，它较好地用形象图形构架抽象思维数学思维，把题目信息、数量关系都较好地体现其中，使抽象的文字变为简洁的数学问题，促进学生解决问题能力提高.还可以利用图示表征，理解几何图形公式的推导.
2.符号表征
数学的一个显著特征就是符号化，无论是从心理的角度还是从实践操作的角度来看，符号表征是最好的记载形式.正如数学家怀海特所说，数学的符号化是最经济的方法.既是操作上最经济的，也是记忆上最经济的.因此，符号化表征在学生头脑中储存最具独特性与普遍性.符号表征有两种形式，一种是完全符合表征，如圆周率π;另一种是不完全符合表征，如代数式a b，….
3.算子表征——算理过程
算子是数学中的一个重要概念，它表示的是一种形式化运算，数学中许多运算定律、法则等储存于学生头脑中均是以算子表征.算子表征能够较好地反映表征对象、表征形式与表征内容达到一种很好的匹配.
总之，在数学问题解决教学中，教师要善于利用各种表征手段进行直观教学，符合小学生形象思维特点，充分展示学生思维过程，在解决问题的困惑中找到“通路”，从而提升解决问题的能力.
（二）实施图示表征策略注意事项
1.养成习惯.在运用图示表征策略解决问题的过程中，让学生体会到图示表征具有简化题意、理清数量关系的功能，从而激发学生尝试画图的动机与兴趣，养成利用图示表征解决问题的意识与习惯.
2.鼓励创新.在对学生进行图示表征策略指导的过程中，鼓励他们个性化图示表征，对于学生创造性思维表征予以表扬，展示不同学生对问题解决图示表征方法，形成图示表征方法的多样化.
3.优化方法.通过比较学生不同的图示表征方法，让学生懂得用更加简洁图示表征复杂抽象的问题解决过程，从而优化图示表征方法.
心理学研究表明，整块的系统知识是图式表征的.图式中不仅包含知识的命题表征，而且包含了事物的表象，是信息在空间上的连续性在人脑中的表征.
在培养学生解决问题能力的教学中，用图式（线段图、几何图、结构图等）可以简化结构，分析数量关系，寻找问题解决的路径.这种方法人们习惯上称为数形结合法或画图法，它是个人运用图式表征解决问题的外在表现.研究表明，个人拥有图式数量的多少与品质的优劣，将决定其解决问题能力的强弱.因此，可以通过丰富学生图式数量，完善学生图式品质，来提高学生问题解决的能力.
【关键词】影响解决问题因素;几何图表征;符号表征;算子表征
【基金项目】本文为福建省教育科学“十二五”立项课题《以培养学生解决问题能力为导向的小学数学有效教学研究》结题成果之一.
“问题”是数学教学的起点与终点.哈默斯说：“问题是数学的心脏.”美国著名的数学教育家玻利亚说：“问题意味着要去寻找适当的行动，以达到一个可见而不是可及的目标.”他在《数学的发现》一书中认为，所谓问题就是有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的.《数学课程标准（2011年版）》中提出“四能”，即：发现问题能力、提出问题能力、分析问题能力和解决问题能力.学生在发现问题、提出问题、分析问题的基础上，最终以解决问题为教学目标，培养学生解决问题能力具有重要的实践意义.
什么是解决问题能力？它是指学生应用数学知识成功完成某项活动所必需的数学思维个性心理特征，是学生的数学综合素质在某项活动中表现出来的实际本领大小.
影响学生的解决问题能力有哪些因素呢？为调查学生对数学问题解决能力的影响因素，本人对所在的公办小学五年级学生200名进行问卷调查和测试，在分析原因的基础上，实施图示表征教学对策研究，获以下结论.
一、影响解决问题能力的因素及其分析
（一）问卷调查
问卷调查内容主要有两个方面：一理解题意困难时是否会采用图式表示，二是对抽象数学问题喜欢老师采取什么方式帮助他们.
1.在理解题意困难时，你经常会画一个示意图帮助对问题的理解吗？
A.经常会B.偶尔会C.不会
从调查结果来看，大部分学生在理解题意困难时，自己会选择画示意图来帮助对題意的理解，把抽象的数学问题以直观的图示来帮助理解，为问题解决奠定了基础.
2.你对比较抽象的数学问题不理解时，你喜欢老师采取哪种方式帮助你？
A.单纯讲解问题解决
B.借助多媒体视频演示问题解决
C.实物演示问题解决
从调查结果来看，大部分学生对比较抽象的数学问题不理解时，最喜欢老师采用实物演示来帮助解决.
（二）对比测试
为了调查学生有无“图示表征”和“视图表征”对问题解决能力的影响情况.本人设计了数学本质内容相同，各打印100张.把它分成有无“图示表征”和“视图表征”，共测试了五年级的四个班级.
1.有无图示表征对解决问题的影响：
题1：没有图示表征的数学问题解决情况（试卷1）：
在一个长方体容器中，从里面量长为12 cm，宽为2 dm，高为2 dm，向容器中倒入7.5 L水，再把一个苹果放入水中（完全浸没），这时测得容器内水面的高度是13.4 cm.这个苹果的体积是多少？
题2：有图示表征的数学问题解决情况（试卷2）：
下面是贝贝比较土豆和红薯的体积时做的实验.（单位：cm）
放入土豆接着放入红薯
（1）计算土豆和红薯的体积.
从表中可以看出，学生对有图示表征的数学问题解决情况比没有图示表征的数学问题好一些.
2.有无视觉表征对解决问题能力的影响：
（1）没有视觉表征的数学问题解决情况（试卷1）：
一个长方体，高减少5厘米正好成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，求原长方体的体积.
（2）有视觉表征的数学问题解决情况（实物演示）（试卷2）：
一个长方体，高减少5厘米正好成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，求原长方体的体积.
分两个时间段测试，半班先完成试卷1，另外半班后面完成，老师演示题意（视觉表征）.学生解答情况如下：
从表中可以看出，学生对有视觉表征的数学问题解决情况比没有视觉表征的数学问题解决情况要好些.
二、应用图示表征法提高解决问题能力
基于以上调查及其原因分析，采用图示表征方法培养学生解决问题能力是个较好的教学策略.朱智贤在《儿童心理学》一书中指出：小学生思维发展的基本特点是从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式;但这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大成分的具体形象性.所以，图示表征教学符合小学生年龄特征的思维模式.
著名数学教育家斯托利亚尔指出：“数学教学是数学活动（思维活动）的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学.”而思维活动往往蕴含在问题的解决过程，让学生在图示表征基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等基本方法去推理和判断，进而达到数学问题解题能力的提升.利用图示表征可以直观形象展示数学抽象性.
（一）图示表征，直观教学
1.几何图表征
线段图是个简介的图示表征，它较好地用形象图形构架抽象思维数学思维，把题目信息、数量关系都较好地体现其中，使抽象的文字变为简洁的数学问题，促进学生解决问题能力提高.还可以利用图示表征，理解几何图形公式的推导.
2.符号表征
数学的一个显著特征就是符号化，无论是从心理的角度还是从实践操作的角度来看，符号表征是最好的记载形式.正如数学家怀海特所说，数学的符号化是最经济的方法.既是操作上最经济的，也是记忆上最经济的.因此，符号化表征在学生头脑中储存最具独特性与普遍性.符号表征有两种形式，一种是完全符合表征，如圆周率π;另一种是不完全符合表征，如代数式a b，….
3.算子表征——算理过程
算子是数学中的一个重要概念，它表示的是一种形式化运算，数学中许多运算定律、法则等储存于学生头脑中均是以算子表征.算子表征能够较好地反映表征对象、表征形式与表征内容达到一种很好的匹配.
总之，在数学问题解决教学中，教师要善于利用各种表征手段进行直观教学，符合小学生形象思维特点，充分展示学生思维过程，在解决问题的困惑中找到“通路”，从而提升解决问题的能力.
（二）实施图示表征策略注意事项
1.养成习惯.在运用图示表征策略解决问题的过程中，让学生体会到图示表征具有简化题意、理清数量关系的功能，从而激发学生尝试画图的动机与兴趣，养成利用图示表征解决问题的意识与习惯.
2.鼓励创新.在对学生进行图示表征策略指导的过程中，鼓励他们个性化图示表征，对于学生创造性思维表征予以表扬，展示不同学生对问题解决图示表征方法，形成图示表征方法的多样化.
3.优化方法.通过比较学生不同的图示表征方法，让学生懂得用更加简洁图示表征复杂抽象的问题解决过程，从而优化图示表征方法.
心理学研究表明，整块的系统知识是图式表征的.图式中不仅包含知识的命题表征，而且包含了事物的表象，是信息在空间上的连续性在人脑中的表征.
在培养学生解决问题能力的教学中，用图式（线段图、几何图、结构图等）可以简化结构，分析数量关系，寻找问题解决的路径.这种方法人们习惯上称为数形结合法或画图法，它是个人运用图式表征解决问题的外在表现.研究表明，个人拥有图式数量的多少与品质的优劣，将决定其解决问题能力的强弱.因此，可以通过丰富学生图式数量，完善学生图式品质，来提高学生问题解决的能力.