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【研究缘起】
新学期将始，打开浙教版新思维小学《数学》课本，第一课就是“生活中的比”。不由得想起三年多前在张奠宙先生家里为撰写《小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现》一书中的“数方夜谈”而与先生促膝长谈的情景，于是又翻出先生《返璞归真 正本清源——“比”不能等同于除法》一文细细研读，反复参详先生的基本观点。
（一）“比”是一种数量关系。“比”不是除法运算，只是在求比值时才要用除法。（二）“比”是为比例做准备，并可以扩展为一种变量之间的正比例函数关系。这种比例关系，其含义远超“除法”。（三）“比”原本是同类量的比较关系，但是也可以推广到不是“同类量”的情形。不过，同类量之比是“源”，不同类量之比只是“流”。（四）不同类量的比，不宜作为“比”的主要情境引入。（五）同类量的比值没有量纲，不同类量的比值一定会有量纲。（六）把“两个数相除，又叫作两个数的比”作为“比”的定义，乃是舍本逐末。
我们做了课前调查，调查题目是：在现实生活中，你在哪里见到过（或听到过）“比”？写出这些“比”。结果表明：有42%的学生知道配方中的比;有90%以上的学生提及球赛中的比分;没有人提及不同类量的比。
【研究内容】
聚焦下面四个问题做进一步的研究。
其一，如先生所言，“两个数相除，又叫作两个数的比”不能体现比的意义的本质，学生难以从中体会学习的意义和价值。那么，我们能不能用含义远超“除法”的“比例关系”来引入“比的意义”，确立“比”作为数学核心概念的地位？如能，必将更有利于学生体会学习“比”的必要性。已有的研究是这样从比例关系的角度定义比的意义的：两个相依变化的量X、Y，当X取值为a时，Y有唯一确定的值b与之对应，当X取ka时，Y有唯一确定的值kb与之对应，我们把X、Y之间的这种关系称为比，用a∶b表示，读作a比b。这显然是一个函数化了的定义，蕴含了比的基本性质。关于这一定义的可接受性，下文将给出实践验证。
其二，同类量之比是“源”，不同类量之比只是“流”。如何利用“42%的学生知道配方中的比”这一学习资源教学同类量之比？“没有人提及不同类量的比”，这给我们提出了一个问题，即如何自然地把源于两个“同类量”的比推广到“不同类量”的情形，使教学能免于机械的“告知—接受”模式。
其三，比可以表示成分数的形式，其合理性何在？这涉及如何引导学生深刻理解比与分数的关系的问题。既然“只是在求比值时才要用除法”，是否可以由求比值的需求，引出比与除法的关系？这涉及如何引导学生准确理解比与除法的关系的问题。
其四，“90%以上的学生提及球赛中的比分”，如何处理“比分”问题？教学时，教师通常会让学生辨析下列哪个是今天所研究的比：“甲乙两支足球队的比分是3∶2”“男女生的人数比是3∶2”。学生通常认为前者是“差比”，不是今天研究的比，后者是“倍比”，是今天研究的比。前者就不能是“倍比”？当然能：甲队进球数是乙队的[32]倍，乙队进球数是甲队的[23]。如何作出合理的解释？
【研究实践】
下面结合教学实践来具体谈谈这些问题。教学分为两课时：第一课时教学同类量之比——“源”，建立比与分数的联系;第二课时引入不同类量之比——“流”，定义比值，建立比与除法的联系。
第一课时
1.感悟共变规律，探索配方表示
（1）创设问题情境，激发主动探究
王师傅用一种浓缩果汁和水配制饮料，他配了三份饮料：
第一份用了200mL果汁和800mL水;
第二份用了400mL果汁和1600mL水;
第三份用了300mL果汁和1200mL水。
想一想：王师傅三次配的饮料味道一样吗？ 你能用不同的方法来说明吗？
（2）探索变中不变，初识比的意义
生：第二份饮料中果汁的量是第一份饮料中果汁量的2倍，水也是2倍，这就相当于把第一份飲料同样的配2份，然后倒在一起，所以两份味道一样;第三份饮料中果汁和水的量都是第一份的1.5倍，味道也一样。
生：每一份饮料中果汁的量都是水量的[14]，水量是果汁量的4倍，它们的配制方法是一样的，所以味道一样。
生：每一份饮料中都是果汁1份，水4份，果汁与水的比是1∶4，水与果汁的比是4∶1，三次的配方是一样的，所以味道也一样。
小结：这就是我们今天学的新知识——比，有了比，我们可以把“几倍”和“几分之几”统一成一种说法——比。
（3）经历量性抽象，引入字母代数
教师提问：你还能配出味道相同的饮料吗？学生进一步举例。如：果汁150mL，水600mL，等等。教师继续提问：能不能举一个例子包括所有可能的情形？学生答：果汁是kmL，水是4kmL。
小结：果汁和水的数量在变化，但它们之间的关系保持不变。它们的关系可以用比来表示——果汁与水的比是1∶4，水与果汁的比是4∶1，表示果汁是1份，水是4份，若果汁的量为k，那么水的量就是4k， k是每份数。
（解析：充分利用学生已有的关于配方及其表示的知识经验，用三份饮料口味是否相同的问题引发思考，体会蕴含其中不变的比例关系，引入用比表示配方的方法，通过举例和量性抽象，为后续进一步学习数学抽象做好铺垫。把“几倍”和“几分之几”统一成一种说法——比，为今后研究和表达“比”的这种关系带来很大便利。）
2.丰富关系例证，积累活动经验
（1）独立学习
请学生填表，并说说表中什么在变，什么不变。想一想：如何表示表中两个相依变化的量之间的关系？
①某商品成本与利润关系如下：
[成本/元 10 100 150 600 利润/元 3 30 45 60 3m ] 成本与利润之间的关系是：
②某一时刻测得树高与影长的关系如下：
[树高/米 50 15 1.5 影长/米 30 9 3 0.3 ]
树高与影长之间的关系是：
（2）合作交流，校对讲评（过程略）
3.经历逐级抽象，形成概念表征
（1）经历质性抽象，形成变量表征
用X、Y分别表示果汁和水：
[X 200 400 300 150 1 k Y 800 1600 1200 600 4 4k ]
两个相依变化的量X与Y的比是1∶4，Y与X的比是4∶1。
同样，我们也可以用X、Y分别表示成本和利润、树高和影长：
[X 10 100 150 200 600 10m Y 3 30 45 60 180 3m ]
两个相依变化的量X与Y的比是10∶3， Y与X的比是3∶10。
[X 50 15 5 0.5 1.5 5n Y 30 9 3 0.3 0.9 3n ]
两个相依变化的量X与Y的比是5∶3， Y与X的比是3∶5。
（2）再次量性抽象，形成概念表征
我们可以用a、b来表示上述各比中的具体数，得到：两个相依变化的量X与Y的比是a∶b， Y与X的比是b∶a。
师生讨论且填写下表（开始呈现时仅出示第一列）。
[X a 2a 50a [a2] [35a] ak Y b 2b 50b [b2] [35b] bk ]
想一想：表中最重要的是哪几列？学生认为是第2列和最后一列。想一想：能否据此来说一说什么叫作比？
呈现定义：两个相依变化的量X、Y，当X取值为a时，Y有唯一确定的值b与之对应，当X取ka时，Y有唯一確定的值kb与之对应，我们把X、Y之间的这种关系称为比，用a∶b表示，读作a比b。
在上面的三个例子中，两个相依变化量的单位相同，称为同类量。同类量X、Y的比是a∶b，表示X有a份，Y有b份，k是每份数。
（解析：质性抽象舍弃了具体的问题情境，从一般意义上给出了两个同类量X和Y，经过第二次量性抽象，给出了关系的一般表示a∶b或b∶a，这样，就从一般意义上定义了同类量的比。抽象是数学最本质的特征，正是因为抽象，才使源于同类量的“比”推广到不同类量的情形有了逻辑的可能性。）
4.体会取值范围，展开反例辨析
（1）任选一题，用多种方法解释比的意义
①新生儿头长与身高的比是1∶4。
[头长/cm 身高/cm ]
新学期将始，打开浙教版新思维小学《数学》课本，第一课就是“生活中的比”。不由得想起三年多前在张奠宙先生家里为撰写《小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现》一书中的“数方夜谈”而与先生促膝长谈的情景，于是又翻出先生《返璞归真 正本清源——“比”不能等同于除法》一文细细研读，反复参详先生的基本观点。
（一）“比”是一种数量关系。“比”不是除法运算，只是在求比值时才要用除法。（二）“比”是为比例做准备，并可以扩展为一种变量之间的正比例函数关系。这种比例关系，其含义远超“除法”。（三）“比”原本是同类量的比较关系，但是也可以推广到不是“同类量”的情形。不过，同类量之比是“源”，不同类量之比只是“流”。（四）不同类量的比，不宜作为“比”的主要情境引入。（五）同类量的比值没有量纲，不同类量的比值一定会有量纲。（六）把“两个数相除，又叫作两个数的比”作为“比”的定义，乃是舍本逐末。
我们做了课前调查，调查题目是：在现实生活中，你在哪里见到过（或听到过）“比”？写出这些“比”。结果表明：有42%的学生知道配方中的比;有90%以上的学生提及球赛中的比分;没有人提及不同类量的比。
【研究内容】
聚焦下面四个问题做进一步的研究。
其一，如先生所言，“两个数相除，又叫作两个数的比”不能体现比的意义的本质，学生难以从中体会学习的意义和价值。那么，我们能不能用含义远超“除法”的“比例关系”来引入“比的意义”，确立“比”作为数学核心概念的地位？如能，必将更有利于学生体会学习“比”的必要性。已有的研究是这样从比例关系的角度定义比的意义的：两个相依变化的量X、Y，当X取值为a时，Y有唯一确定的值b与之对应，当X取ka时，Y有唯一确定的值kb与之对应，我们把X、Y之间的这种关系称为比，用a∶b表示，读作a比b。这显然是一个函数化了的定义，蕴含了比的基本性质。关于这一定义的可接受性，下文将给出实践验证。
其二，同类量之比是“源”，不同类量之比只是“流”。如何利用“42%的学生知道配方中的比”这一学习资源教学同类量之比？“没有人提及不同类量的比”，这给我们提出了一个问题，即如何自然地把源于两个“同类量”的比推广到“不同类量”的情形，使教学能免于机械的“告知—接受”模式。
其三，比可以表示成分数的形式，其合理性何在？这涉及如何引导学生深刻理解比与分数的关系的问题。既然“只是在求比值时才要用除法”，是否可以由求比值的需求，引出比与除法的关系？这涉及如何引导学生准确理解比与除法的关系的问题。
其四，“90%以上的学生提及球赛中的比分”，如何处理“比分”问题？教学时，教师通常会让学生辨析下列哪个是今天所研究的比：“甲乙两支足球队的比分是3∶2”“男女生的人数比是3∶2”。学生通常认为前者是“差比”，不是今天研究的比，后者是“倍比”，是今天研究的比。前者就不能是“倍比”？当然能：甲队进球数是乙队的[32]倍，乙队进球数是甲队的[23]。如何作出合理的解释？
【研究实践】
下面结合教学实践来具体谈谈这些问题。教学分为两课时：第一课时教学同类量之比——“源”，建立比与分数的联系;第二课时引入不同类量之比——“流”，定义比值，建立比与除法的联系。
第一课时
1.感悟共变规律，探索配方表示
（1）创设问题情境，激发主动探究
王师傅用一种浓缩果汁和水配制饮料，他配了三份饮料：
第一份用了200mL果汁和800mL水;
第二份用了400mL果汁和1600mL水;
第三份用了300mL果汁和1200mL水。
想一想：王师傅三次配的饮料味道一样吗？ 你能用不同的方法来说明吗？
（2）探索变中不变，初识比的意义
生：第二份饮料中果汁的量是第一份饮料中果汁量的2倍，水也是2倍，这就相当于把第一份飲料同样的配2份，然后倒在一起，所以两份味道一样;第三份饮料中果汁和水的量都是第一份的1.5倍，味道也一样。
生：每一份饮料中果汁的量都是水量的[14]，水量是果汁量的4倍，它们的配制方法是一样的，所以味道一样。
生：每一份饮料中都是果汁1份，水4份，果汁与水的比是1∶4，水与果汁的比是4∶1，三次的配方是一样的，所以味道也一样。
小结：这就是我们今天学的新知识——比，有了比，我们可以把“几倍”和“几分之几”统一成一种说法——比。
（3）经历量性抽象，引入字母代数
教师提问：你还能配出味道相同的饮料吗？学生进一步举例。如：果汁150mL，水600mL，等等。教师继续提问：能不能举一个例子包括所有可能的情形？学生答：果汁是kmL，水是4kmL。
小结：果汁和水的数量在变化，但它们之间的关系保持不变。它们的关系可以用比来表示——果汁与水的比是1∶4，水与果汁的比是4∶1，表示果汁是1份，水是4份，若果汁的量为k，那么水的量就是4k， k是每份数。
（解析：充分利用学生已有的关于配方及其表示的知识经验，用三份饮料口味是否相同的问题引发思考，体会蕴含其中不变的比例关系，引入用比表示配方的方法，通过举例和量性抽象，为后续进一步学习数学抽象做好铺垫。把“几倍”和“几分之几”统一成一种说法——比，为今后研究和表达“比”的这种关系带来很大便利。）
2.丰富关系例证，积累活动经验
（1）独立学习
请学生填表，并说说表中什么在变，什么不变。想一想：如何表示表中两个相依变化的量之间的关系？
①某商品成本与利润关系如下：
[成本/元 10 100 150 600 利润/元 3 30 45 60 3m ] 成本与利润之间的关系是：
②某一时刻测得树高与影长的关系如下：
[树高/米 50 15 1.5 影长/米 30 9 3 0.3 ]
树高与影长之间的关系是：
（2）合作交流，校对讲评（过程略）
3.经历逐级抽象，形成概念表征
（1）经历质性抽象，形成变量表征
用X、Y分别表示果汁和水：
[X 200 400 300 150 1 k Y 800 1600 1200 600 4 4k ]
两个相依变化的量X与Y的比是1∶4，Y与X的比是4∶1。
同样，我们也可以用X、Y分别表示成本和利润、树高和影长：
[X 10 100 150 200 600 10m Y 3 30 45 60 180 3m ]
两个相依变化的量X与Y的比是10∶3， Y与X的比是3∶10。
[X 50 15 5 0.5 1.5 5n Y 30 9 3 0.3 0.9 3n ]
两个相依变化的量X与Y的比是5∶3， Y与X的比是3∶5。
（2）再次量性抽象，形成概念表征
我们可以用a、b来表示上述各比中的具体数，得到：两个相依变化的量X与Y的比是a∶b， Y与X的比是b∶a。
师生讨论且填写下表（开始呈现时仅出示第一列）。
[X a 2a 50a [a2] [35a] ak Y b 2b 50b [b2] [35b] bk ]
想一想：表中最重要的是哪几列？学生认为是第2列和最后一列。想一想：能否据此来说一说什么叫作比？
呈现定义：两个相依变化的量X、Y，当X取值为a时，Y有唯一确定的值b与之对应，当X取ka时，Y有唯一確定的值kb与之对应，我们把X、Y之间的这种关系称为比，用a∶b表示，读作a比b。
在上面的三个例子中，两个相依变化量的单位相同，称为同类量。同类量X、Y的比是a∶b，表示X有a份，Y有b份，k是每份数。
（解析：质性抽象舍弃了具体的问题情境，从一般意义上给出了两个同类量X和Y，经过第二次量性抽象，给出了关系的一般表示a∶b或b∶a，这样，就从一般意义上定义了同类量的比。抽象是数学最本质的特征，正是因为抽象，才使源于同类量的“比”推广到不同类量的情形有了逻辑的可能性。）
4.体会取值范围，展开反例辨析
（1）任选一题，用多种方法解释比的意义
①新生儿头长与身高的比是1∶4。
[头长/cm 身高/cm ]