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在立体几何中，求点到平面的距离、直线与平面的距离、直线与平面所成的角以及用三垂线法作二面角的平面角，都离不开找平面外一点在平面内的射影. 如何找这个射影呢？可考虑以下办法.
一、依平面的垂线找
若PA⊥α交α于点A，则P在平面α内的射影就是A.
例1如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
（1）求证：AB⊥平面VAD；
（2）求二面角A-VD-B的大小.
分析第（1）问中已证AB⊥平面VAD，所以平面VDB内一点B在另一个平面VAD内的射影为A，我们可以用三垂线定理或逆定理作二面角A-VD-B的平面角.下面我仅把第（2）问解题过程写出来.
解（2）取VD的中点E，连接BE.
∵△VAD为正三角形,
∴AE⊥VD.
∵AB⊥平面VAD,
∴BE在平面VAD内射影为AE.
∴VD⊥BE,
∴∠AEB为二面角A-VD-B的平面角.
设AB=1，∵底面ABCD为正方形，△VAD为正三角形,
∴AD=VD=VA=1,
∴[AE=32.]
在Rt[△BAE]中，可得tan[∠AEB=ABAE]=[132]=[233,]
∴∠AEB=arctan[233,]
即所求二面角为arctan[233.]
有时，我们可以借用平面的一条很明显的垂线，找到与它平行的直线上的点在平面内的射影.
例2正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[M]为[C1D1]的中点，求[BM]与平面[A1BD]所成的角.
分析我们对[AC1]⊥平面[A1BD]这个结论非常熟悉（利用三垂线定理极易证明），而设[AD1∩A1D=N]，[N]为[AD1]中点，而[M]是[C1D1]中点，所以[MN∥AC1]，故[MN]⊥平面[A1BD]，且垂足恰好是[N]点，所以∠[MBN]为[BM]与平面[A1BD]所成的角（解略）.
二、依垂面找射影
其实这个方法的原理基础还是第一种方法，只是际很多问题中平面的这条垂线不是现成的，所以我们经常要作出这条垂线，如何作呢？平面与平面垂直的性质定理告诉我们，在平面的垂面中作一条垂直于交线的直线，这条直线便是与该平面垂直的直线. 这种方法使用很频繁，下面还是结合例题来谈.
例3己知[△ABC]中，[∠ABC]=30°，PA⊥平面ABC，PC⊥BC，PB与平面ABC成45°角，求二面角A-PB-C的正弦.
分析因为PA⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PAB，所以我们可借助平面PBC的垂面ABC找到C在平面PBC内的射影.
解过C作CD⊥AB于D，
∵PA⊥平面ABC，CD[⊂]平面ABC，
∴CD⊥PA， ∴CD⊥平面PAB.
作DE⊥PB于E，连结CE，则CE⊥PB，
∴∠DEC为二面角A-PB-C的平面角.
设AC=m，由PC⊥BC，PA⊥平面ABC得
∠ACB=90°.
又∵[∠ABC]=30°，知[BC=3m]，
∴[CD=BC⋅sin30°=32m]，
[AB=ACsin30°=2m，]
[BD=BC⋅cos30°=3m]·[32]=[32m].
∵PA⊥平面ABC，知∠PBA为PB与平面ABC所成的角，∴∠PBA=45°.
在Rt△EDB中
[DE=BD⋅sin45°=32m]·[22]=[324m].
在Rt△CDE中CE=[CD2+DE2]
=[32m2+324m2=304m.]
∴[sin∠DEC=CDCE=3m2⋅•430m=105].
故二面角[A-PB-C]的正弦值为[105.]
注：也许大家注意到了在分析问题时是用平面的垂面找点[C]在平面[PAB]内的射影，可是解题中证明时并未用面面垂直的性质证.所以你完全可以和我一样，但真正分析题目时用面面垂直更好把握.
下面再看一例：
例4PC⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，边长为a，[∠ABC=120°]，且[PC=a，E]为[PA]中点.
（1）求证：平面[EBD]⊥平面[ABCD]；
（2）求点[E]到平面[PBC]的距离；
（3）求二面角[A-BE-D]的大小.
分析第（2）问中由于E在平面PBC的射影不好找，但做第（1）问时我们会连AC、BD，记其交点为O，而EO∥PC，所以EO∥平面PB，所以O、E两点到平面PBC的距离相等，而O所在平面ABCD恰好与平面PBC垂直，故O在平面PBC内射影好找.
第（3）问中由于平面EBD⊥平面ABCD，故A在平面EBD内的射影可借助平面EBD的垂面ABCD找.其实AO是在平面ABCD内垂直于这两个平面交线BD的直线，所以A在平面EBD内的射影就是O.
解（1）连结AC交BD于O，再连结OE，
由于ABCD是菱形，∴O为AC中点，
∴OE为△PAC的中位线，
∴OE∥PC.
又PC⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD.
又∵OE[⊂]平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD.
（2）∵OE∥PC，PC[⊂]平面PBC，
∴OE∥平面PBC.
∴E到平面PBC的距离就等于点O到平面PBC的距离.
又PC⊥平面ABCD，
∴平面PBC⊥平面ABCD.
由于平面PBC∩平面ABCD=BC，
过O作OF⊥BC，则OF⊥平面PBC，
∴OF的长度即为所求.
又∵ABCD为菱形，且∠ABC=120°，
∴△BCD为正三角形，
∴[OF]就是正三角形高的一半，
故[OF=12⋅32a=34a]，
∴[E]到平面距离也为[34a].
（3）在平面EBD中，作OM⊥BE于M，连AM.
∵平面EBD⊥平面ABCD，交线为BD，
又AO⊥BD，∴AO⊥平面EBD，
MO就是AM在平面EBD内的射影，
∴AM⊥BE，
∴∠AMO就是二面角A-BE-D的平面角.
在Rt[△EBO]中，[OE=a2,OB=a2,]
[OM=12][BE=24a]，
又[AO=32a]，
∴tan[∠AMO=32a×42a=6]，
∴[∠AMO]=arctan[6].
三、利用几个常见结论找射影
其实在立体几何中有几个小结论，如果你留心，在有些题目中使用会显得十分俏皮别致.
结论1： 三角形所在平面外一点到三顶点距离相等，则此点在该平面内的射影为三角形的外心.
例5过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠SAB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.
分析此题乍看是证面面垂直，需证线面垂直，当然这样也可证出，但若你从另一角度看，可另辟蹊径，因为△SAB与△SAC是全等正三角形，故AS=AC=AB，所以A在平面SBC内的射影O为△SBC的外心. 由于∠BSC=90°，所以O为BC中点. AO在平面ABC内，这样就证得平面ABC⊥平面BSC，证明如下：
∵SA=SB=SC，
∠SAB=∠ASC=60°，
∴△SAB、△SBC为全等的正三角形，
∴AS=AB=AC.
作AO⊥平面SBC于O点，
则OS=OB=OC，即O为△SBC的外心.
∵∠BSC=90°，
∴O为BC的中点，
AO[⊂]平面ABC. 又AO⊥平面SBC，
∴平面ABC⊥平面SBC.
结论2： 一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，则此点在角所在平面的射影在这个角的平分线上.
推进一下便有：一个三角形所在平面外一点到三角形三边距离相等，则此点在平面内的射影为三角形的内心（或旁心）.
例6正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E、F]分别是[AB、C1D1]的中点.
（1）求证：四边形[A1ECF]为菱形；
（2）求直线[A1B1]与平面[A1ECF]所成角的正切值.
分析第（2）问中求线面角的关键是找到[A1B1]在平面[A1ECF]内的射影，注意到[B1]到[A1F]与[B1E]的距离相等，故[B1]在平面[A1ECF]内的射影为[∠EA1F]的平分线上，而由第（1）问知[A1ECF]为菱形，所以即为[A1C]，这样可知[∠B1A1C]为直线[A1B1]与平面[A1ECF]所成的角.
一、依平面的垂线找
若PA⊥α交α于点A，则P在平面α内的射影就是A.
例1如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
（1）求证：AB⊥平面VAD；
（2）求二面角A-VD-B的大小.
分析第（1）问中已证AB⊥平面VAD，所以平面VDB内一点B在另一个平面VAD内的射影为A，我们可以用三垂线定理或逆定理作二面角A-VD-B的平面角.下面我仅把第（2）问解题过程写出来.
解（2）取VD的中点E，连接BE.
∵△VAD为正三角形,
∴AE⊥VD.
∵AB⊥平面VAD,
∴BE在平面VAD内射影为AE.
∴VD⊥BE,
∴∠AEB为二面角A-VD-B的平面角.
设AB=1，∵底面ABCD为正方形，△VAD为正三角形,
∴AD=VD=VA=1,
∴[AE=32.]
在Rt[△BAE]中，可得tan[∠AEB=ABAE]=[132]=[233,]
∴∠AEB=arctan[233,]
即所求二面角为arctan[233.]
有时，我们可以借用平面的一条很明显的垂线，找到与它平行的直线上的点在平面内的射影.
例2正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[M]为[C1D1]的中点，求[BM]与平面[A1BD]所成的角.
分析我们对[AC1]⊥平面[A1BD]这个结论非常熟悉（利用三垂线定理极易证明），而设[AD1∩A1D=N]，[N]为[AD1]中点，而[M]是[C1D1]中点，所以[MN∥AC1]，故[MN]⊥平面[A1BD]，且垂足恰好是[N]点，所以∠[MBN]为[BM]与平面[A1BD]所成的角（解略）.
二、依垂面找射影
其实这个方法的原理基础还是第一种方法，只是际很多问题中平面的这条垂线不是现成的，所以我们经常要作出这条垂线，如何作呢？平面与平面垂直的性质定理告诉我们，在平面的垂面中作一条垂直于交线的直线，这条直线便是与该平面垂直的直线. 这种方法使用很频繁，下面还是结合例题来谈.
例3己知[△ABC]中，[∠ABC]=30°，PA⊥平面ABC，PC⊥BC，PB与平面ABC成45°角，求二面角A-PB-C的正弦.
分析因为PA⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PAB，所以我们可借助平面PBC的垂面ABC找到C在平面PBC内的射影.
解过C作CD⊥AB于D，
∵PA⊥平面ABC，CD[⊂]平面ABC，
∴CD⊥PA， ∴CD⊥平面PAB.
作DE⊥PB于E，连结CE，则CE⊥PB，
∴∠DEC为二面角A-PB-C的平面角.
设AC=m，由PC⊥BC，PA⊥平面ABC得
∠ACB=90°.
又∵[∠ABC]=30°，知[BC=3m]，
∴[CD=BC⋅sin30°=32m]，
[AB=ACsin30°=2m，]
[BD=BC⋅cos30°=3m]·[32]=[32m].
∵PA⊥平面ABC，知∠PBA为PB与平面ABC所成的角，∴∠PBA=45°.
在Rt△EDB中
[DE=BD⋅sin45°=32m]·[22]=[324m].
在Rt△CDE中CE=[CD2+DE2]
=[32m2+324m2=304m.]
∴[sin∠DEC=CDCE=3m2⋅•430m=105].
故二面角[A-PB-C]的正弦值为[105.]
注：也许大家注意到了在分析问题时是用平面的垂面找点[C]在平面[PAB]内的射影，可是解题中证明时并未用面面垂直的性质证.所以你完全可以和我一样，但真正分析题目时用面面垂直更好把握.
下面再看一例：
例4PC⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，边长为a，[∠ABC=120°]，且[PC=a，E]为[PA]中点.
（1）求证：平面[EBD]⊥平面[ABCD]；
（2）求点[E]到平面[PBC]的距离；
（3）求二面角[A-BE-D]的大小.
分析第（2）问中由于E在平面PBC的射影不好找，但做第（1）问时我们会连AC、BD，记其交点为O，而EO∥PC，所以EO∥平面PB，所以O、E两点到平面PBC的距离相等，而O所在平面ABCD恰好与平面PBC垂直，故O在平面PBC内射影好找.
第（3）问中由于平面EBD⊥平面ABCD，故A在平面EBD内的射影可借助平面EBD的垂面ABCD找.其实AO是在平面ABCD内垂直于这两个平面交线BD的直线，所以A在平面EBD内的射影就是O.
解（1）连结AC交BD于O，再连结OE，
由于ABCD是菱形，∴O为AC中点，
∴OE为△PAC的中位线，
∴OE∥PC.
又PC⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD.
又∵OE[⊂]平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD.
（2）∵OE∥PC，PC[⊂]平面PBC，
∴OE∥平面PBC.
∴E到平面PBC的距离就等于点O到平面PBC的距离.
又PC⊥平面ABCD，
∴平面PBC⊥平面ABCD.
由于平面PBC∩平面ABCD=BC，
过O作OF⊥BC，则OF⊥平面PBC，
∴OF的长度即为所求.
又∵ABCD为菱形，且∠ABC=120°，
∴△BCD为正三角形，
∴[OF]就是正三角形高的一半，
故[OF=12⋅32a=34a]，
∴[E]到平面距离也为[34a].
（3）在平面EBD中，作OM⊥BE于M，连AM.
∵平面EBD⊥平面ABCD，交线为BD，
又AO⊥BD，∴AO⊥平面EBD，
MO就是AM在平面EBD内的射影，
∴AM⊥BE，
∴∠AMO就是二面角A-BE-D的平面角.
在Rt[△EBO]中，[OE=a2,OB=a2,]
[OM=12][BE=24a]，
又[AO=32a]，
∴tan[∠AMO=32a×42a=6]，
∴[∠AMO]=arctan[6].
三、利用几个常见结论找射影
其实在立体几何中有几个小结论，如果你留心，在有些题目中使用会显得十分俏皮别致.
结论1： 三角形所在平面外一点到三顶点距离相等，则此点在该平面内的射影为三角形的外心.
例5过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠SAB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.
分析此题乍看是证面面垂直，需证线面垂直，当然这样也可证出，但若你从另一角度看，可另辟蹊径，因为△SAB与△SAC是全等正三角形，故AS=AC=AB，所以A在平面SBC内的射影O为△SBC的外心. 由于∠BSC=90°，所以O为BC中点. AO在平面ABC内，这样就证得平面ABC⊥平面BSC，证明如下：
∵SA=SB=SC，
∠SAB=∠ASC=60°，
∴△SAB、△SBC为全等的正三角形，
∴AS=AB=AC.
作AO⊥平面SBC于O点，
则OS=OB=OC，即O为△SBC的外心.
∵∠BSC=90°，
∴O为BC的中点，
AO[⊂]平面ABC. 又AO⊥平面SBC，
∴平面ABC⊥平面SBC.
结论2： 一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，则此点在角所在平面的射影在这个角的平分线上.
推进一下便有：一个三角形所在平面外一点到三角形三边距离相等，则此点在平面内的射影为三角形的内心（或旁心）.
例6正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E、F]分别是[AB、C1D1]的中点.
（1）求证：四边形[A1ECF]为菱形；
（2）求直线[A1B1]与平面[A1ECF]所成角的正切值.
分析第（2）问中求线面角的关键是找到[A1B1]在平面[A1ECF]内的射影，注意到[B1]到[A1F]与[B1E]的距离相等，故[B1]在平面[A1ECF]内的射影为[∠EA1F]的平分线上，而由第（1）问知[A1ECF]为菱形，所以即为[A1C]，这样可知[∠B1A1C]为直线[A1B1]与平面[A1ECF]所成的角.