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在很多柱、锥、台问题的研究中，应用侧面展开图把空间图形展开成平面图形，从而把空间问题归为平面问题. 这种思想方法非常重要，尤其是用于求解柱、锥、台侧面上的最值问题，就显得更为有效.
一、与路径有关的最值问题
例1在圆柱形的玻璃杯外侧面，有一只蚂蚁要从[A]点到杯内侧面的[B]点去吃食物. 已知[A]点沿母线到杯口[C]的距离是5cm，[B]点沿母线到杯口[D]的距离是3cm，而[C、D]两点之间的杯口弧长是6cm，如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎样走？最短路线长是多少？
解析化曲为直，设想把杯子沿侧壁展开，由于蚂蚁得先爬至杯口，再翻过杯沿折向食物[B]，所以问题转化为在线段[CD]上求一点[M]，使[AM+MB]为最小. 可先作[B]关于直线[CD]的对称点[E]，连接[AE]交[CD与M]，这时蚂蚁先沿[AM]爬至杯口[M]点，在翻过杯沿，沿[MB至B]点，路程最短. 显然，[AM+MB=AE]，容易求得[AE=10cm，]即蚂蚁爬行的最短路程是10cm.
点拨 几何体表面行走的最短路径问题，常常通过表面展开图，利用平面内两点之间线段最短求最值.
例2在三棱柱[ABC]—[A1B1C1]中，各个侧面都是矩形，[E]、[F]分别为[AA1]、[C1B1]的中点，[AB=BC=2]，[BB1=2]，[∠ABC=90∘]，沿棱柱的表面从[E]到[F]两点间的最短路径的长度是多少?
解析[∵][AB=BC=2]，[∠ABC=90∘]，
[∴AC=2]，所以侧面展开后如图1所示，
[A1E=12AA1=1]，[A1F=A1B1+B1F=322]，
所以[EF=A1E2+A1F2=222]．
[图1][图2][图3]
若把△[A1B1C1]与面[A1B1BA]展开如图2所示，
连接[EF]，过[E]作[EM⊥B1B]于[M]点，则[EM=AB=2]，[FM=1+22]，所以[EF=72+2.]
若把△[A1B1C1]与面[A1ACC1]展开如图3所示，连接[EF]，过[E]作[EM⊥C1C]于[M]点，作[FD⊥EM]于[D]点，则[ED=32]，[FD=32]，所以[EF=322,]
[∴]从[E]到[F]两点间的最短路径的长度是[322]．
点拨 例2是例1的简单变形题，先需要把每一种展开方式找到，然后再通过表面展开图，利用平面内两点之间线段最短求最值.
二、与线段长有关的最值问题
例3已知三棱锥[V-ABC]的三条侧棱两两成[40°]角，每条侧棱长都为[23]，[E、F]分别为[VB、VC]上的点，求[△AEF]的周长的最小值．
解析 先将三棱锥沿侧棱[VA]剪开，平铺得到侧面展开图，如图，则[AA1]为所求[△AEF]的周长最小值，取[AA1]的中点[D]，连接[VD]，则[VD⊥AA1]，[∠AVD=60°]，在Rt△[VAD]中[AD=VA⋅sin60°][=3]，[∴AA1=2AD=6]，即[△AEF]周长最小值为6.
点拨 将棱锥展成平面图形，是将空间问题化归到平面问题的一种重要思想方法，运用这一方法可以解决截面周长最小问题，棱锥侧面积等与平面图形相关的问题.
变式探索: 如图，在三棱柱[ABC]—[A1B1C1]中，每个侧面都是矩形，底面为直角三角形，[∠ACB=90∘]，[AC=6]，[BC=CC1=2]，[P]是[BC1]上一动点，求[CP+PA1]的最小值.
解析化“折”为直，将△[BCC1]沿[BC1]线折到面[A1C1B]上，连接[A1C]，则此时[A1C]即为[CP+PA1]的最小值，将图形展开后由题意可以得到[∠A1C1B=90∘,][∵∠BC1C=45∘∴∠A1C1C=135∘]，如图，由余弦定理可得[A1C=52]，即[CP+PA1]的最小值为[52].
点拨 求有公共点的线段之和的最小时，可以将这两条线段转化到同一平面，利用三点共线时和最小来解决最值问题.
三、与面积有关的最值问题
例4 用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品完全包住，不得将纸撕开，则所用纸的最小面积是多少?
分析 类比日常生活中的包装盒，可以先把正方体的表面展开成平面图形，再把平面图形尽可能的凑成面积最小的正方形，如图所示，选用一边长为[22]的正方形纸，其面积是8.
点拨本题是在表面积一定的情况下来选择包装纸，既要满足够用，同时也要满足剩余多，所以一定要尽可能的凑成面积最小的正方形.
例5 若一个圆锥的侧面展开图是一个周长为2cm的扇形，则此圆锥侧面积的最大值是多少？
解析 设侧面展开图的半径为[R]，则弧长为[2-2R]，侧面积为[S]，那么
[S=12(2-2R)R]=[(1-R)R]=[-R2+R]
=[-(R2-R+14)]+[14]
=[-(R-12)2+14,]
[∴]当[R]=[12]时，[S]有最大值[14.]
点拨建立函数法是侧面展开图的一种常用方法，很多情况下，我们都是将这类问题转化为目标函数，最终利用代数方法来求目标函数的最值.
四、与体积有关的最值问题
例6 能否将宽为2、长为6.1的长方形钢板中四个角各截去一个边长为[x]的小正方形（如图所示），然后折成一个无盖的长方体盒子使其体积为4？
解析若能符合题意，则可得方程
[x(6.1-2x)(2-2x)=4]，
即[x(3.05-x)(1-x)=1(0＜x＜1).]
令[x=sin2θ]，原式可化为
[sin2θcos2θ(3.05-sin2θ)=1]，
即[(1-cos4θ)(5.1+cos2θ)=16.]
又[∵][0≤1-cos4θ≤2,4.1≤5.1+cos2θ≤6.1,]
所以[0≤(1-cos4θ)(5.1+cos2θ)＜16]，
故方程[4=x(6.1-2x)(2-2x)]无解.
因此，不能将长方形钢板中四个角各截去一个边长为[x]的小正方形，折成一个无盖的盒子使其体积为4.
点拨本题采用的是建立函数法，函数最值问题解题途径很多，这里选用的是换元法，在使用换元法时一定要注意所换元的范围.
例7有一块半径为[a]的圆形铁皮，将它卷成一个无底的圆锥形容器，怎样裁剪，做出的容器容积最大？
解析 圆锥侧面展开图是扇形，因此，需将这块圆形铁皮剪成一个扇形，可以以圆形铁皮的圆心为扇形顶点剪去一个小扇形，接下来的问题可以转化成剪去多大一块小扇形，可以使卷成的圆锥形容器容积最大.
设剪去的小扇形的圆心角为[θ]，卷成的圆锥形容器底面半径为[r]，则高为[a2-r2]，另设容积为[V]，则
[V]=[13πr2a2-r2]=[13πr2⋅r2(a2-r2)]
=[13π12r2⋅r2(2a2-2r2)]
≤[13π12[r2+r2+(2a2-2r2)3]3]=[2327πa3]，
当且仅当[r2=2a2-2r2]，即[r]=[63][a]时取等号，
[∴][Vmax]=[2327πa3]，
此时[2π-θ]=[2πra=263π]，
∴[θ=2π-][263π]≈66°.
即剪去一个圆心角约为66°的扇形后卷成的圆锥形容器容积最大，最大容积为[2327π a3].
点拨解不等式是求最值问题的常用方法，在立体几何中同样也可以利用不等式的性质和一些变量的特殊关系来求解，如[a2+b2]≥[2ab]等，这里所采用的是基本不等式推广形式的变形.
[【练习】]
1. 圆台的上底半径为2cm，下底的半径为4cm，母线长为6cm，求轴截面相对顶点在圆台侧面上的最短距离.
2. 已知三棱锥[S]—[ABC]的侧棱长都为[a]，各侧面的顶角为[30°]，[D]为侧棱[SC]的中点，[E]、[F]分别在侧棱[SA]和[SB]上，当△[DEF]周长最小时，求截得的三棱锥[S]—[DEF]的侧面积
3. 已知三棱柱[ABC-A1B1C1]的各个侧面都是矩形，各棱长均为2，[M]为[AA1]的中点，[N]为[BC]的中点，则在棱柱表面上从点[M]到点[N]的最短距离是多少？
4.圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，母线[AB=18]，从[AB]的中点[M]拉一条绳子绕圆台侧面转到[A]点.
（1）求绳子的最短长度.
（2）求绳子最短时上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
5.一个三棱锥[A-BCD]，底面边长均为[a]，侧棱长均为[2a]，过[B]作一个与侧棱[AC，AD]相交的截面，求截面三角形周长的最小值.
6.圆柱轴截面的周长[L]为定值，求圆柱侧面积的最大值.
[【参考答案】]
1. [63cm]2. [a28]3. [4+3]
4. （1）21（2）[603-427]
5. [114a]6. [πL216]
一、与路径有关的最值问题
例1在圆柱形的玻璃杯外侧面，有一只蚂蚁要从[A]点到杯内侧面的[B]点去吃食物. 已知[A]点沿母线到杯口[C]的距离是5cm，[B]点沿母线到杯口[D]的距离是3cm，而[C、D]两点之间的杯口弧长是6cm，如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎样走？最短路线长是多少？
解析化曲为直，设想把杯子沿侧壁展开，由于蚂蚁得先爬至杯口，再翻过杯沿折向食物[B]，所以问题转化为在线段[CD]上求一点[M]，使[AM+MB]为最小. 可先作[B]关于直线[CD]的对称点[E]，连接[AE]交[CD与M]，这时蚂蚁先沿[AM]爬至杯口[M]点，在翻过杯沿，沿[MB至B]点，路程最短. 显然，[AM+MB=AE]，容易求得[AE=10cm，]即蚂蚁爬行的最短路程是10cm.
点拨 几何体表面行走的最短路径问题，常常通过表面展开图，利用平面内两点之间线段最短求最值.
例2在三棱柱[ABC]—[A1B1C1]中，各个侧面都是矩形，[E]、[F]分别为[AA1]、[C1B1]的中点，[AB=BC=2]，[BB1=2]，[∠ABC=90∘]，沿棱柱的表面从[E]到[F]两点间的最短路径的长度是多少?
解析[∵][AB=BC=2]，[∠ABC=90∘]，
[∴AC=2]，所以侧面展开后如图1所示，
[A1E=12AA1=1]，[A1F=A1B1+B1F=322]，
所以[EF=A1E2+A1F2=222]．
[图1][图2][图3]
若把△[A1B1C1]与面[A1B1BA]展开如图2所示，
连接[EF]，过[E]作[EM⊥B1B]于[M]点，则[EM=AB=2]，[FM=1+22]，所以[EF=72+2.]
若把△[A1B1C1]与面[A1ACC1]展开如图3所示，连接[EF]，过[E]作[EM⊥C1C]于[M]点，作[FD⊥EM]于[D]点，则[ED=32]，[FD=32]，所以[EF=322,]
[∴]从[E]到[F]两点间的最短路径的长度是[322]．
点拨 例2是例1的简单变形题，先需要把每一种展开方式找到，然后再通过表面展开图，利用平面内两点之间线段最短求最值.
二、与线段长有关的最值问题
例3已知三棱锥[V-ABC]的三条侧棱两两成[40°]角，每条侧棱长都为[23]，[E、F]分别为[VB、VC]上的点，求[△AEF]的周长的最小值．
解析 先将三棱锥沿侧棱[VA]剪开，平铺得到侧面展开图，如图，则[AA1]为所求[△AEF]的周长最小值，取[AA1]的中点[D]，连接[VD]，则[VD⊥AA1]，[∠AVD=60°]，在Rt△[VAD]中[AD=VA⋅sin60°][=3]，[∴AA1=2AD=6]，即[△AEF]周长最小值为6.
点拨 将棱锥展成平面图形，是将空间问题化归到平面问题的一种重要思想方法，运用这一方法可以解决截面周长最小问题，棱锥侧面积等与平面图形相关的问题.
变式探索: 如图，在三棱柱[ABC]—[A1B1C1]中，每个侧面都是矩形，底面为直角三角形，[∠ACB=90∘]，[AC=6]，[BC=CC1=2]，[P]是[BC1]上一动点，求[CP+PA1]的最小值.
解析化“折”为直，将△[BCC1]沿[BC1]线折到面[A1C1B]上，连接[A1C]，则此时[A1C]即为[CP+PA1]的最小值，将图形展开后由题意可以得到[∠A1C1B=90∘,][∵∠BC1C=45∘∴∠A1C1C=135∘]，如图，由余弦定理可得[A1C=52]，即[CP+PA1]的最小值为[52].
点拨 求有公共点的线段之和的最小时，可以将这两条线段转化到同一平面，利用三点共线时和最小来解决最值问题.
三、与面积有关的最值问题
例4 用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品完全包住，不得将纸撕开，则所用纸的最小面积是多少?
分析 类比日常生活中的包装盒，可以先把正方体的表面展开成平面图形，再把平面图形尽可能的凑成面积最小的正方形，如图所示，选用一边长为[22]的正方形纸，其面积是8.
点拨本题是在表面积一定的情况下来选择包装纸，既要满足够用，同时也要满足剩余多，所以一定要尽可能的凑成面积最小的正方形.
例5 若一个圆锥的侧面展开图是一个周长为2cm的扇形，则此圆锥侧面积的最大值是多少？
解析 设侧面展开图的半径为[R]，则弧长为[2-2R]，侧面积为[S]，那么
[S=12(2-2R)R]=[(1-R)R]=[-R2+R]
=[-(R2-R+14)]+[14]
=[-(R-12)2+14,]
[∴]当[R]=[12]时，[S]有最大值[14.]
点拨建立函数法是侧面展开图的一种常用方法，很多情况下，我们都是将这类问题转化为目标函数，最终利用代数方法来求目标函数的最值.
四、与体积有关的最值问题
例6 能否将宽为2、长为6.1的长方形钢板中四个角各截去一个边长为[x]的小正方形（如图所示），然后折成一个无盖的长方体盒子使其体积为4？
解析若能符合题意，则可得方程
[x(6.1-2x)(2-2x)=4]，
即[x(3.05-x)(1-x)=1(0＜x＜1).]
令[x=sin2θ]，原式可化为
[sin2θcos2θ(3.05-sin2θ)=1]，
即[(1-cos4θ)(5.1+cos2θ)=16.]
又[∵][0≤1-cos4θ≤2,4.1≤5.1+cos2θ≤6.1,]
所以[0≤(1-cos4θ)(5.1+cos2θ)＜16]，
故方程[4=x(6.1-2x)(2-2x)]无解.
因此，不能将长方形钢板中四个角各截去一个边长为[x]的小正方形，折成一个无盖的盒子使其体积为4.
点拨本题采用的是建立函数法，函数最值问题解题途径很多，这里选用的是换元法，在使用换元法时一定要注意所换元的范围.
例7有一块半径为[a]的圆形铁皮，将它卷成一个无底的圆锥形容器，怎样裁剪，做出的容器容积最大？
解析 圆锥侧面展开图是扇形，因此，需将这块圆形铁皮剪成一个扇形，可以以圆形铁皮的圆心为扇形顶点剪去一个小扇形，接下来的问题可以转化成剪去多大一块小扇形，可以使卷成的圆锥形容器容积最大.
设剪去的小扇形的圆心角为[θ]，卷成的圆锥形容器底面半径为[r]，则高为[a2-r2]，另设容积为[V]，则
[V]=[13πr2a2-r2]=[13πr2⋅r2(a2-r2)]
=[13π12r2⋅r2(2a2-2r2)]
≤[13π12[r2+r2+(2a2-2r2)3]3]=[2327πa3]，
当且仅当[r2=2a2-2r2]，即[r]=[63][a]时取等号，
[∴][Vmax]=[2327πa3]，
此时[2π-θ]=[2πra=263π]，
∴[θ=2π-][263π]≈66°.
即剪去一个圆心角约为66°的扇形后卷成的圆锥形容器容积最大，最大容积为[2327π a3].
点拨解不等式是求最值问题的常用方法，在立体几何中同样也可以利用不等式的性质和一些变量的特殊关系来求解，如[a2+b2]≥[2ab]等，这里所采用的是基本不等式推广形式的变形.
[【练习】]
1. 圆台的上底半径为2cm，下底的半径为4cm，母线长为6cm，求轴截面相对顶点在圆台侧面上的最短距离.
2. 已知三棱锥[S]—[ABC]的侧棱长都为[a]，各侧面的顶角为[30°]，[D]为侧棱[SC]的中点，[E]、[F]分别在侧棱[SA]和[SB]上，当△[DEF]周长最小时，求截得的三棱锥[S]—[DEF]的侧面积
3. 已知三棱柱[ABC-A1B1C1]的各个侧面都是矩形，各棱长均为2，[M]为[AA1]的中点，[N]为[BC]的中点，则在棱柱表面上从点[M]到点[N]的最短距离是多少？
4.圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，母线[AB=18]，从[AB]的中点[M]拉一条绳子绕圆台侧面转到[A]点.
（1）求绳子的最短长度.
（2）求绳子最短时上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
5.一个三棱锥[A-BCD]，底面边长均为[a]，侧棱长均为[2a]，过[B]作一个与侧棱[AC，AD]相交的截面，求截面三角形周长的最小值.
6.圆柱轴截面的周长[L]为定值，求圆柱侧面积的最大值.
[【参考答案】]
1. [63cm]2. [a28]3. [4+3]
4. （1）21（2）[603-427]
5. [114a]6. [πL216]