论文部分内容阅读
众所周知，几何辅助线对于解几何题起着非常重要的作用。关于这方面的理论和实践，已有许多专家及广大数学工作者的研究成果为我们所用。但从我们多年的教学实践中发现，对于某些特殊的几何题的辅助线的作法，适当地添加辅助线把图形变成另一个“完整”的图形后，利用“完整”图形的性质来解，能起着使学生易于接受、掌握等作用。
例1：如图1从等腰直角三角形的直角顶点C向中线BD引垂线CE，E是垂足，并延长CE交斜边AB于F，求证：∠BDC=∠ADF
分析：因为正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰三角形。用一个与△ABC全等的△ABM和△ABC拼成一个正方形ACBM。延长CEF交AM于G。易证∠1=∠2，进而得△BCD≌△CAG，故G为AM的中点，连接CM交AB于O，F是△ACM的中线AO与CG的交点，即F为△ACM的重心，故D、F、M三点共线。再证△BCD≌△MAD或利用OD所在直线为对称轴都可
证得题目的结论。
另外，本题根据CE⊥BD，可利用正方形性质CG=BD，亦可证得F为△ACM的重心。
例2：如图2在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，求证：
分析：梯形的对角线把梯形分成四个三角形，并且题目的结论，形似梯形的性质，故可造就一个梯形来解决。分别以AB、AC为边向形外作等边三角形ABE和ACF。易证EB//FC//AD，A又是梯形BCFE的对角线的交点。∴ 从而可证得题断。
例3：如图3，在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB。垂足是E、F、G，求证DE+DF=CG。
分析，平行四边形的一条对角线，把平行四边形分成两个全等的三角形，菱形是平行四边形，更是如此。以AB、AC为边作菱形ABHC，延长ED交GH于E`，延长FD交BH于F`，显然，EE`⊥CH，FF`⊥BH，GC⊥CH，易证DE=DF`，DE`=DF，由平行线间的距离相等和菱形的两条高相等，得出题断。
例4：如图4，AD//BC，AD=a，BC=b，AB=CD=C，对角线为m，求证：m2=c2+ab
分析：两个全等的等腰梯形可组成平行四边形，故作辅助线使之完成平行四边形ABFE（即延长AD到E，使DE=BC，延长BC到F，使CF=AD，这样四边形ACFD，BDEC，都是平行四边形，由平行四边形性质：两条对角线的平方和等于四边的平方和，由AF2=2AD2+2AC22-CD2）
即AF2=2a+2m2-c2
同理BE2=2m2+2b2-C2
在平行四边形ABFE中，由
AF2+BE2=2AB+2BF2
即（2a2+2m2-c2）+（2m2+2b2-c2）=2c2+2（a+b）2
化简得证。
另外，本例是等腰梯形，它有外接圆，用圆内接四边形性质：“两条对角线的乘积等于两组边乘积的和”来证更易，但超出初中范围。当然例子还可再举一些，这里不罗嗦了，上述四例的辅助线作法及与之配套的解法，有些病不是最简便明了，但在我们从教多年实践中感到：某些特殊图形的上述作法，能开拓学生思路，提高学生分析问题和解决问题的能力。
例1：如图1从等腰直角三角形的直角顶点C向中线BD引垂线CE，E是垂足，并延长CE交斜边AB于F，求证：∠BDC=∠ADF
分析：因为正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰三角形。用一个与△ABC全等的△ABM和△ABC拼成一个正方形ACBM。延长CEF交AM于G。易证∠1=∠2，进而得△BCD≌△CAG，故G为AM的中点，连接CM交AB于O，F是△ACM的中线AO与CG的交点，即F为△ACM的重心，故D、F、M三点共线。再证△BCD≌△MAD或利用OD所在直线为对称轴都可
证得题目的结论。
另外，本题根据CE⊥BD，可利用正方形性质CG=BD，亦可证得F为△ACM的重心。
例2：如图2在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，求证：
分析：梯形的对角线把梯形分成四个三角形，并且题目的结论，形似梯形的性质，故可造就一个梯形来解决。分别以AB、AC为边向形外作等边三角形ABE和ACF。易证EB//FC//AD，A又是梯形BCFE的对角线的交点。∴ 从而可证得题断。
例3：如图3，在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB。垂足是E、F、G，求证DE+DF=CG。
分析，平行四边形的一条对角线，把平行四边形分成两个全等的三角形，菱形是平行四边形，更是如此。以AB、AC为边作菱形ABHC，延长ED交GH于E`，延长FD交BH于F`，显然，EE`⊥CH，FF`⊥BH，GC⊥CH，易证DE=DF`，DE`=DF，由平行线间的距离相等和菱形的两条高相等，得出题断。
例4：如图4，AD//BC，AD=a，BC=b，AB=CD=C，对角线为m，求证：m2=c2+ab
分析：两个全等的等腰梯形可组成平行四边形，故作辅助线使之完成平行四边形ABFE（即延长AD到E，使DE=BC，延长BC到F，使CF=AD，这样四边形ACFD，BDEC，都是平行四边形，由平行四边形性质：两条对角线的平方和等于四边的平方和，由AF2=2AD2+2AC22-CD2）
即AF2=2a+2m2-c2
同理BE2=2m2+2b2-C2
在平行四边形ABFE中，由
AF2+BE2=2AB+2BF2
即（2a2+2m2-c2）+（2m2+2b2-c2）=2c2+2（a+b）2
化简得证。
另外，本例是等腰梯形，它有外接圆，用圆内接四边形性质：“两条对角线的乘积等于两组边乘积的和”来证更易，但超出初中范围。当然例子还可再举一些，这里不罗嗦了，上述四例的辅助线作法及与之配套的解法，有些病不是最简便明了，但在我们从教多年实践中感到：某些特殊图形的上述作法，能开拓学生思路，提高学生分析问题和解决问题的能力。