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解直角三角形为近年来中考命题的热点,特别是与实际问题相结合的应用题。有一类特殊的直角三角形的应用问题需要引起大家的注意,若能灵活运用可以起到事半功倍的效果。
例1:(仙桃市潜江市江汉油田)在数学活动课上,九年级(1)班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度,设计的方案及测量数据如下:
(1)在大树前的平地上选择一点A,测得由点A看大树顶端的仰角为35°。
(2)在点A和大树之间选择一点B(A、B、D在同一直线上),测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°。
(3)量出A、B两点间的距离为4.5米。请你根据以上数据求出大树CD的高度。
(可能用到的参考数据:sin35°≈0.57、cos35°≈0.82、tan35°≈0.70。)
分析:这是一道典型的利用三角函数知识测量物体高度的问题,可利用两个直角三角形的公共边,建立等量关系,关键是未知数的设法,合理的未知数可以使运算简便。本题主要考察解直角三角形。已知直角三角形的一边和一锐角或两边,则此直角三角形可解。本题中由AB的长和∠ABC=45°、∠DAC=30°,可根据正切用CD分别表示出BC和AC,建立等量关系求出CD的长,计算出D点距离地面的高度。解直角三角形时可以利用锐角三角函数以及勾股定理和三角形内角和等知识来解。
解:在Rt△ACD中,AD=;在Rt△BCD中,BD=。
而AD-BD=4.5,即-=4.5,得:CD=10.5。
所以大树的高为10.5米。
规律总结:本题是解直角三角形的应用,解答时常用的技巧有:(1)通过作辅助线,把非直角三角形问题转化为直角三角形,再利用锐角三角函数和解直角三角形的有关知识解决;(2)注意基本图形的应用,在本题中出现了一个基本图形,在解直角三角形时经常用到,如右图:
tanβ=,tanα=;
∴a=-,b=;
h=。
小测验:
1、(芜湖市)在我市迎接奥运圣火的活动中,某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC。小丽同学在点A处,测得条幅顶端D的仰角为30°,再向条幅方向前进10米后,又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°。已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米,求条幅顶端D点距离地面的高度。(计算结果精确到0.1米,参考数据:2≈1.414,3≈1.732。)
2、(南宁市)某数学课外小组测量金湖广场的五象泉雕塑CD的高度。他们在地面A处测得雕塑顶部D的仰角为30°,再往雕塑底部C的方向前进18米至B处,测得仰角为45°(如图所示),请求出五象泉雕塑CD的高度(精确到0.01米)。
3、(威海市)如图,小明同学在东西方向的环海路A处,测得海中灯塔P在北偏东60°方向上,在A处东500米的B处,测得海中灯塔P在北偏东30°方向上,则灯塔P到环海路的距离PC=______米(用根号表示)。
答案:1、在Rt△BCD中,tan45°==1,∴CD=BC。
在Rt△ACD中,tan30°=
53+5≈13.66(米)
∴条幅顶端D点距离地面的高度为:13.66+1.44=15.1(米)。
2、设五象泉雕塑CD的高度为x米,则:
在Rt△BCD中,因为∠C=90°,∠CBD=45°,所以BC=CD=x。
在Rt△ACD中,因为AB=18,所以AC=x+18。
又因为∠C=90°,∠A=30°,
所以 x=(x+18)tan30°,所以x=24.59。
即五象泉雕塑CD的高度为24.59米。
3、2503。
例1:(仙桃市潜江市江汉油田)在数学活动课上,九年级(1)班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度,设计的方案及测量数据如下:
(1)在大树前的平地上选择一点A,测得由点A看大树顶端的仰角为35°。
(2)在点A和大树之间选择一点B(A、B、D在同一直线上),测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°。
(3)量出A、B两点间的距离为4.5米。请你根据以上数据求出大树CD的高度。
(可能用到的参考数据:sin35°≈0.57、cos35°≈0.82、tan35°≈0.70。)
分析:这是一道典型的利用三角函数知识测量物体高度的问题,可利用两个直角三角形的公共边,建立等量关系,关键是未知数的设法,合理的未知数可以使运算简便。本题主要考察解直角三角形。已知直角三角形的一边和一锐角或两边,则此直角三角形可解。本题中由AB的长和∠ABC=45°、∠DAC=30°,可根据正切用CD分别表示出BC和AC,建立等量关系求出CD的长,计算出D点距离地面的高度。解直角三角形时可以利用锐角三角函数以及勾股定理和三角形内角和等知识来解。
解:在Rt△ACD中,AD=;在Rt△BCD中,BD=。
而AD-BD=4.5,即-=4.5,得:CD=10.5。
所以大树的高为10.5米。
规律总结:本题是解直角三角形的应用,解答时常用的技巧有:(1)通过作辅助线,把非直角三角形问题转化为直角三角形,再利用锐角三角函数和解直角三角形的有关知识解决;(2)注意基本图形的应用,在本题中出现了一个基本图形,在解直角三角形时经常用到,如右图:
tanβ=,tanα=;
∴a=-,b=;
h=。
小测验:
1、(芜湖市)在我市迎接奥运圣火的活动中,某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC。小丽同学在点A处,测得条幅顶端D的仰角为30°,再向条幅方向前进10米后,又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°。已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米,求条幅顶端D点距离地面的高度。(计算结果精确到0.1米,参考数据:2≈1.414,3≈1.732。)
2、(南宁市)某数学课外小组测量金湖广场的五象泉雕塑CD的高度。他们在地面A处测得雕塑顶部D的仰角为30°,再往雕塑底部C的方向前进18米至B处,测得仰角为45°(如图所示),请求出五象泉雕塑CD的高度(精确到0.01米)。
3、(威海市)如图,小明同学在东西方向的环海路A处,测得海中灯塔P在北偏东60°方向上,在A处东500米的B处,测得海中灯塔P在北偏东30°方向上,则灯塔P到环海路的距离PC=______米(用根号表示)。
答案:1、在Rt△BCD中,tan45°==1,∴CD=BC。
在Rt△ACD中,tan30°=
53+5≈13.66(米)
∴条幅顶端D点距离地面的高度为:13.66+1.44=15.1(米)。
2、设五象泉雕塑CD的高度为x米,则:
在Rt△BCD中,因为∠C=90°,∠CBD=45°,所以BC=CD=x。
在Rt△ACD中,因为AB=18,所以AC=x+18。
又因为∠C=90°,∠A=30°,
所以 x=(x+18)tan30°,所以x=24.59。
即五象泉雕塑CD的高度为24.59米。
3、2503。