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二次函数在高中阶段的地位很重要，尤其是高三复习阶段，要他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性），对二次函数还需再深入的学习。
一、深入理解函数概念
高中阶段函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，可以用学生已经有一定了解的函数，特别是以二次函数为例来更深的认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射ƒ：A→B，使得集合B中的元素y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为ƒ（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），这里ax2＋bx＋c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
类型I：已知ƒ（x）＝2x2＋x＋2，求ƒ（x＋1）。
这里不能把ƒ（x＋1）理解为x＝x＋1时的函数值，只能理解为自变量为x＋1的函数值。
类型Ⅱ：设ƒ（x＋1）＝x2－4x＋1，求ƒ（x）。
这个问题理解为，已知对应法则ƒ下，定义域中的元素x＋1的象是x2－4x＋1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：
（1）把所给表达式表示成x＋1的多项式。
ƒ（x＋1）＝x2－4x＋1＝（x＋1）2－6（x＋1）＋6，再用x代x＋1得ƒ（x）＝x2－6x＋6。
（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令t＝x＋1，则x＝t－1，∴（t）＝（t－1）2－4（t－1）＋1＝t2－6t＋6，从而ƒ（x）＝x2－6x＋6。
二、二次函数的单调性，最值与图象。
在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y＝ax2
＋bx＋c在区间（－∞， ］及［ ，+∞）上的单调性的结
论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
（1）y＝x2＋2|x－1|－1 （2）y＝|x2－1| （3）y＝x2＋2|x|－1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
类型Ⅳ：设ƒ（x）＝x2－2x－1在区间［t，t＋1］上的最小值是g（t），求g（t）并画出y＝g（t）的图象。
解：ƒ（x）＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，在x＝1时取最小值－2。
当1∈［t，t＋1］时，即0≤t≤1，g（t）＝－2。
当t＞1时，g（t）＝ƒ（t）＝t2－2t－1，当t＜0时，g（t）＝ƒ（t＋1）＝t2－2。
t2－2（t＜0）
g（t）＝ －2 （0≤t≤1）
t2－2t－1（t＞1）
首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
如：y＝3x2－5x＋6（－3≤x≤－1），求该函数的值域。
三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维。
类型Ⅴ：设二次函数ƒ（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）方程ƒ（x）
－x＝0的两个根x1，x2满足0 1．当X∈（0，x1）时，证明X＜ƒ（x）＜x1。
2．设函数ƒ（x）的图象关于直线x＝x0对称，证明x0＜ 。
解题思路：
本题要证明的是x＜ƒ（x），ƒ（x）＜x1和x0＜ ，由题中所
提供的信息可以联想到：①ƒ（x）＝x，说明抛物线与直线y＝x在第一象限内有两个不同的交点；②方程ƒ（x）－x＝0可变为ax2＋（b－1）x＋1＝0，它的两根为x1，x2，可得到x1，x2与a、b、c之间的关系式，因此解题思路明显有三条：①图象法；②利用一元二次方程根与系数关系；③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。現以思路②为例解这道题：
（1）先证明x<ƒ（x），令ƒ（x）＝ƒ（x）－x，因为x1，x2是方程ƒ（x）－x＝0的根，ƒ（x）＝ax2＋bx＋c，所以ƒ（x）＝a（x－x1）（x－x2）。
因为0＜x1＜x2，所以，当x∈（0，x1）时，x－x1<0，x－x2＜0得（x－x1）（x－x2）>0，又a＞0，因此ƒ（x）＞0，即ƒ（x）－x＞0。至此，证得x＜ƒ（x）。
根据韦达定理，有x1x2＝ ，∵0＜x1＜x2< ，c＝ax1x2＜x
＝ƒ（x1），又c＝ƒ（0），∴ƒ（0）<ƒ（x1），根据二次函数的性质，曲线y＝ƒ（x）是开口向上的抛物线，因此，函数y＝ƒ（x）在闭区间［0，x1］上的最大值在边界点x＝0或x＝x1处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于ƒ（x1）>ƒ（0），所以当x∈（0，x1）时，ƒ（x）<ƒ（x1）＝x1，即x <ƒ（x）< x1。
（2）∵ƒ（x）＝ax2＋bx＋c＝a（x＋ ）2＋（c ）（a＞
0）。
函数ƒ（x）的图象的对称轴为直线x＝ ，且是唯一的一
条对称轴，因此，依题意，得x0＝ ，因为x1，x2是二次方程
ax2＋（b－1）x＋c＝0的根，根据违达定理得x1＋x2＝ 。
∵ x2－ <0；
∴ x0＝ ＝ （x1+x2－ ）< ，即x0＝ 。
二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
一、深入理解函数概念
高中阶段函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，可以用学生已经有一定了解的函数，特别是以二次函数为例来更深的认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射ƒ：A→B，使得集合B中的元素y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为ƒ（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），这里ax2＋bx＋c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
类型I：已知ƒ（x）＝2x2＋x＋2，求ƒ（x＋1）。
这里不能把ƒ（x＋1）理解为x＝x＋1时的函数值，只能理解为自变量为x＋1的函数值。
类型Ⅱ：设ƒ（x＋1）＝x2－4x＋1，求ƒ（x）。
这个问题理解为，已知对应法则ƒ下，定义域中的元素x＋1的象是x2－4x＋1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：
（1）把所给表达式表示成x＋1的多项式。
ƒ（x＋1）＝x2－4x＋1＝（x＋1）2－6（x＋1）＋6，再用x代x＋1得ƒ（x）＝x2－6x＋6。
（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令t＝x＋1，则x＝t－1，∴（t）＝（t－1）2－4（t－1）＋1＝t2－6t＋6，从而ƒ（x）＝x2－6x＋6。
二、二次函数的单调性，最值与图象。
在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y＝ax2
＋bx＋c在区间（－∞， ］及［ ，+∞）上的单调性的结
论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
（1）y＝x2＋2|x－1|－1 （2）y＝|x2－1| （3）y＝x2＋2|x|－1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
类型Ⅳ：设ƒ（x）＝x2－2x－1在区间［t，t＋1］上的最小值是g（t），求g（t）并画出y＝g（t）的图象。
解：ƒ（x）＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，在x＝1时取最小值－2。
当1∈［t，t＋1］时，即0≤t≤1，g（t）＝－2。
当t＞1时，g（t）＝ƒ（t）＝t2－2t－1，当t＜0时，g（t）＝ƒ（t＋1）＝t2－2。
t2－2（t＜0）
g（t）＝ －2 （0≤t≤1）
t2－2t－1（t＞1）
首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
如：y＝3x2－5x＋6（－3≤x≤－1），求该函数的值域。
三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维。
类型Ⅴ：设二次函数ƒ（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）方程ƒ（x）
－x＝0的两个根x1，x2满足0
2．设函数ƒ（x）的图象关于直线x＝x0对称，证明x0＜ 。
解题思路：
本题要证明的是x＜ƒ（x），ƒ（x）＜x1和x0＜ ，由题中所
提供的信息可以联想到：①ƒ（x）＝x，说明抛物线与直线y＝x在第一象限内有两个不同的交点；②方程ƒ（x）－x＝0可变为ax2＋（b－1）x＋1＝0，它的两根为x1，x2，可得到x1，x2与a、b、c之间的关系式，因此解题思路明显有三条：①图象法；②利用一元二次方程根与系数关系；③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。現以思路②为例解这道题：
（1）先证明x<ƒ（x），令ƒ（x）＝ƒ（x）－x，因为x1，x2是方程ƒ（x）－x＝0的根，ƒ（x）＝ax2＋bx＋c，所以ƒ（x）＝a（x－x1）（x－x2）。
因为0＜x1＜x2，所以，当x∈（0，x1）时，x－x1<0，x－x2＜0得（x－x1）（x－x2）>0，又a＞0，因此ƒ（x）＞0，即ƒ（x）－x＞0。至此，证得x＜ƒ（x）。
根据韦达定理，有x1x2＝ ，∵0＜x1＜x2< ，c＝ax1x2＜x
＝ƒ（x1），又c＝ƒ（0），∴ƒ（0）<ƒ（x1），根据二次函数的性质，曲线y＝ƒ（x）是开口向上的抛物线，因此，函数y＝ƒ（x）在闭区间［0，x1］上的最大值在边界点x＝0或x＝x1处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于ƒ（x1）>ƒ（0），所以当x∈（0，x1）时，ƒ（x）<ƒ（x1）＝x1，即x <ƒ（x）< x1。
（2）∵ƒ（x）＝ax2＋bx＋c＝a（x＋ ）2＋（c ）（a＞
0）。
函数ƒ（x）的图象的对称轴为直线x＝ ，且是唯一的一
条对称轴，因此，依题意，得x0＝ ，因为x1，x2是二次方程
ax2＋（b－1）x＋c＝0的根，根据违达定理得x1＋x2＝ 。
∵ x2－ <0；
∴ x0＝ ＝ （x1+x2－ ）< ，即x0＝ 。
二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”