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【摘 要】本文以数学应用题教学为例，谈即时性评价同课程知识结构、学生的认知结构、教师的课堂教学结构三者之间的关系，提出促进学生深度学习的策略：通过即时性评价，促进学生深度阅读和深度理解；促进学生深度体验数学化的过程；促进学生深度学习建模的思想和方法；促进学生深度理解还原实际的决策过程。
【关键词】课堂即时性评价 数学应用题教学 深度学习
新课程背景下的课堂，倡导即时性评价，但是，当前不少课堂上即时性的评价出现严重的“泛化”，即使学生错了，教师也会言不由衷地表扬几句，这样的教育缺乏理性的力量。笔者倡导，教师应站在协同课程知识结构、学生的认知结构、教师的课堂教学结构三者之间关系的高度，通过即时性评价引导学生自我领悟、反省，调控，形成深度学习过程。下面基于数学应用题的课堂教学谈数学课堂教学的即时性评价。
1.即时性评价的涵义。
即时性评价是教师对学生的学习态度、方法、效果等进行即兴点评的过程，是一种起着反馈、激励、调控和引导等作用的定性分析，具有低起点、小目标、快反馈、易接受的特点。
即时评价要关注两个方面：其一，从学生回答问题、学生练习、学生板演、学生相互检查、学生自主检查与评价等方面，关注知识形成与思维过程的评价；其二，从主动参与意识、独立思考、合作意识、学习态度、学习兴趣等方面，关注学生的学习情绪的即时评价。
2.深度学习的界定。
深度学习（deep learning）是指在理解学习的基础上，学习者能够批判地学习新思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，并能够将已有的知识迁移到新的情境中，做出决策和解决问题。深度本意是指学习认知触及事物本质的程度或事物向更高阶段发展的程度。
3.数学应用问题的教学行为。
树立正确的即时性评价数学课堂教学行为的价值取向，对于促进学生深度学习，实现课堂教学目标，具有重要作用。
（1）数学应用题课堂教学行为的教学性。
数学应用题的教学行为可按框图所示的程序呈现如下：
以上教学行为具有目的性、规范性、互动性、能动性、创造性等特征。具体表现在识图、用图、计算操作、质疑问难、思考探索、讨论交流、口头表达等数学学习与应用过程中，这些课堂教学行为都具有很强的教学性。
（2）数学应用问题解决的认知模式。
基克（M. L. Gick）等人提出了解决问题的认知模式。该模式分四个阶段，其流程如下图所示：
（3）数学应用教学行为即时性评价的多样化取向。
在评价内容上，有对阅读理解实际问题的评价；对实际问题数学化过程的评价；对数学技能形成与运用的评价，包括评价学生的学习状态和处理数学问题信息的能力；对数学科学方法掌握及探究活动质量的评价；对情感、态度与价值观形成的评价等。
在评价主体方面，要建构起平等的互信关系，体现师生民主，构建深度参与、相互协同、相互理解的互动氛围，教师能尊重学生差异，允许价值多元。
在评价方式上，课堂学习评价应以即时表现性评价为主，既要有即时性的肯定性评价，也要有具有积极意义的否定性评价，既要关注过程又要关注结果。
4.数学应用问题教学的即时性评价的策略。
例1 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。
（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）。
（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）
解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
f（t）=300-t，0≤t≤2002t-300，200 （评价数学思想方法的选择与应用）。
由图二可得种植成本与时间的函数关系为g（t）=（t-150）2 100，0≤t≤300（评价对抛物线段的理解）。
（Ⅱ）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得
h（t）=-t2 t ，0≤t≤200-t2 t ，200 （评价算理、算法、运算能力与意志力）。
当0≤t≤200时，配方整理得h（t）=-（t-50）2 100（评价“建模”过程），所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；当200 综上，由100>87.5可知，h（t）在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50。
答：从二月一日开始的第50天，上市的西红柿纯收益最大（评价“还原”过程）。
观察学生面对该问题的全过程，我们发现学生解决该问题的困难主要表现为三个方面：一为进不去，即审题有畏难心理或理解题意不到位，找不到切入口；二为出不来，即数学工具选用不当或运算不到位，得不到结果；三为回不去，即缺乏回到实际问题的意识，不回答实际问题解决的方案或结果。
（1）即时评价审题过程，促进学生深度阅读和深度理解实际问题。
即时评价审题的各个环节，使学生学会审题的套路，深度理解实际问题。我们要通过即时评价引领学生体验“粗读—细研”数学问题的过程。由于数学应用的广泛性及实际问题非数学情景的多样性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题，因此，我们应首先引导学生边阅读，边思考：题目告诉你什么？要你做什么？哪些是重要的信息？哪些是次要信息？有哪些数据？有哪些关键词、关键句？如：例1中我们可引导学生通过评价提炼出有着重符号的关键词、关键句。然后，通过学生回答问题，学生互评，教师评价，让学生学会运用由问题引发缜密阅读的方法，引导学生舍弃与数学无关的因素，理顺数量关系，用自己的语言简缩问题，进而将实际问题抽象转化成数学问题。 同时，对学生审题的自我调控过程作即时评价，调动学生深度理解实际问题的积极“心理倾向”，克服畏难情绪，产生持久、稳定的学习兴趣，提高审题能力。
（2）通过即时性评价，促进学生深度体验数学化的过程。
即时评价“建模”的各个环节，合理选择数学工具，将实际问题数学化。在细研的基础上，引导学生通过评价的视角再进一步思考以下问题：题目中各量有何特点？哪些是已知的，哪些是未知的？是否可用字母或字母的代数式表示？它们之间存在着怎样的联系？
通过学生回答问题，学生互评，教师评价，让学生将自然语言转化成数学语言（符号语言）或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建成数学模型。如：例1中，我们可以从意识、方法、过程、质量几个方面，对选用待定系数法分段将折线数学化、将抛物线段数学化、将“纯效益”数学化的过程，进行有积极意义的肯定与否定的评价，引导学生将实际问题转化为求函数最值问题，从将实际问题数学化的过程中成功地走出来。
（3）通过即时性评价，促进学生深度学习解模的思想和方法。
即时评价“求模”的各个环节，合理选择算理、算法，求解数学问题，得出数学结论。要让学生暴露求模用的数学方法、数学知识的选择过程，在过程中要即时评价选择的合理性。
例2 （苏教版必修5§3.1.P67问题改编）某博物馆的门票每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠。若你代表一个团队去购买门票，应该选择怎样的购票策略？
有学生给出思路1：设购票人数为x人，购票费用y元，则y=10x（1 围绕以上求解，请学生进行评价。若没有人找到“局限性”，可作如下提示：是不是人数少于20都要买普通票呢？针对这一问题，让学生分组讨论，然后各组派一人发言。
思路2：20人团体票是10×0.8×20=160元，=16，所以不少于16人时买团体票，少于16人时买普通票划算。
首先肯定其正确性，再用代数思想分析这种算术解法的局限性，引导学生。
思路3：设购票人数为x人，则当10x>20×10×0.8时买团体票划算，所以x>16。
答：x>16时买团体票划算；x<16时买普通票划算；x=16时两种价格一样。
事实上，将思路1改进一下，可用分段函数表示如下：y=10x（1≤x<16）160（16≤x<20）。8x（x≥20）
在例1中，面对分段函数h（t）学生会产生怕运算、怕复杂、怕繁琐的心态，我们要即时通过实际示范给予具有积极意义的肯定和否定的评价，发挥评价的导向功能、诊断功能、调节功能、激励功能。
值得指出的是，在应用题教学中，碰到运算就直截了当地给出答案，是造成学生运算能力差的根源之一，这样的做法直接助长了学生的懒惰心理，造成了学生思维的断层，教师在教学中应当关注运算的全过程，在过程中评价算法、算理，以此来不断地提高学生合理运用运算技巧、运算方法的能力，使学生的运算、思维达到一个高境界的层面，从而练就学生顽强的运算毅力，提高解模能力。
（4）通过即时性评价，促进学生深度理解，还原实际的决策过程。
解应用题的最后环节就是“还原”，也就是将得到的数学结论，根据实际意义适当增删，将数学的解还原为实际问题的解决方案。我们要站在决策的高度对这一过程进行即时性评价，提高学生的决策意识、决策水平，优化决策习惯。
5.结束语。
应用题的教学过程中，我们要通过即时性评价来揭示问题中丰富的社会信息，通过多视角的横向联系，多层次的能力要求，体现应用题多功能的教育价值，在评价的过程中引导学生观察了解社会、认识评价社会，使学生能够运用所学数学知识去解决一些实际问题，克服对数学的厌学、怕学现象，激发他们学好数学的动机，提升学生知识应用素质，提高数学教育水平和效率。
（作者单位：江苏省扬州大学附属中学）
【关键词】课堂即时性评价 数学应用题教学 深度学习
新课程背景下的课堂，倡导即时性评价，但是，当前不少课堂上即时性的评价出现严重的“泛化”，即使学生错了，教师也会言不由衷地表扬几句，这样的教育缺乏理性的力量。笔者倡导，教师应站在协同课程知识结构、学生的认知结构、教师的课堂教学结构三者之间关系的高度，通过即时性评价引导学生自我领悟、反省，调控，形成深度学习过程。下面基于数学应用题的课堂教学谈数学课堂教学的即时性评价。
1.即时性评价的涵义。
即时性评价是教师对学生的学习态度、方法、效果等进行即兴点评的过程，是一种起着反馈、激励、调控和引导等作用的定性分析，具有低起点、小目标、快反馈、易接受的特点。
即时评价要关注两个方面：其一，从学生回答问题、学生练习、学生板演、学生相互检查、学生自主检查与评价等方面，关注知识形成与思维过程的评价；其二，从主动参与意识、独立思考、合作意识、学习态度、学习兴趣等方面，关注学生的学习情绪的即时评价。
2.深度学习的界定。
深度学习（deep learning）是指在理解学习的基础上，学习者能够批判地学习新思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，并能够将已有的知识迁移到新的情境中，做出决策和解决问题。深度本意是指学习认知触及事物本质的程度或事物向更高阶段发展的程度。
3.数学应用问题的教学行为。
树立正确的即时性评价数学课堂教学行为的价值取向，对于促进学生深度学习，实现课堂教学目标，具有重要作用。
（1）数学应用题课堂教学行为的教学性。
数学应用题的教学行为可按框图所示的程序呈现如下：
以上教学行为具有目的性、规范性、互动性、能动性、创造性等特征。具体表现在识图、用图、计算操作、质疑问难、思考探索、讨论交流、口头表达等数学学习与应用过程中，这些课堂教学行为都具有很强的教学性。
（2）数学应用问题解决的认知模式。
基克（M. L. Gick）等人提出了解决问题的认知模式。该模式分四个阶段，其流程如下图所示：
（3）数学应用教学行为即时性评价的多样化取向。
在评价内容上，有对阅读理解实际问题的评价；对实际问题数学化过程的评价；对数学技能形成与运用的评价，包括评价学生的学习状态和处理数学问题信息的能力；对数学科学方法掌握及探究活动质量的评价；对情感、态度与价值观形成的评价等。
在评价主体方面，要建构起平等的互信关系，体现师生民主，构建深度参与、相互协同、相互理解的互动氛围，教师能尊重学生差异，允许价值多元。
在评价方式上，课堂学习评价应以即时表现性评价为主，既要有即时性的肯定性评价，也要有具有积极意义的否定性评价，既要关注过程又要关注结果。
4.数学应用问题教学的即时性评价的策略。
例1 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。
（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）。
（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）
解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
f（t）=300-t，0≤t≤2002t-300，200
由图二可得种植成本与时间的函数关系为g（t）=（t-150）2 100，0≤t≤300（评价对抛物线段的理解）。
（Ⅱ）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得
h（t）=-t2 t ，0≤t≤200-t2 t ，200
当0≤t≤200时，配方整理得h（t）=-（t-50）2 100（评价“建模”过程），所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；当200
答：从二月一日开始的第50天，上市的西红柿纯收益最大（评价“还原”过程）。
观察学生面对该问题的全过程，我们发现学生解决该问题的困难主要表现为三个方面：一为进不去，即审题有畏难心理或理解题意不到位，找不到切入口；二为出不来，即数学工具选用不当或运算不到位，得不到结果；三为回不去，即缺乏回到实际问题的意识，不回答实际问题解决的方案或结果。
（1）即时评价审题过程，促进学生深度阅读和深度理解实际问题。
即时评价审题的各个环节，使学生学会审题的套路，深度理解实际问题。我们要通过即时评价引领学生体验“粗读—细研”数学问题的过程。由于数学应用的广泛性及实际问题非数学情景的多样性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题，因此，我们应首先引导学生边阅读，边思考：题目告诉你什么？要你做什么？哪些是重要的信息？哪些是次要信息？有哪些数据？有哪些关键词、关键句？如：例1中我们可引导学生通过评价提炼出有着重符号的关键词、关键句。然后，通过学生回答问题，学生互评，教师评价，让学生学会运用由问题引发缜密阅读的方法，引导学生舍弃与数学无关的因素，理顺数量关系，用自己的语言简缩问题，进而将实际问题抽象转化成数学问题。 同时，对学生审题的自我调控过程作即时评价，调动学生深度理解实际问题的积极“心理倾向”，克服畏难情绪，产生持久、稳定的学习兴趣，提高审题能力。
（2）通过即时性评价，促进学生深度体验数学化的过程。
即时评价“建模”的各个环节，合理选择数学工具，将实际问题数学化。在细研的基础上，引导学生通过评价的视角再进一步思考以下问题：题目中各量有何特点？哪些是已知的，哪些是未知的？是否可用字母或字母的代数式表示？它们之间存在着怎样的联系？
通过学生回答问题，学生互评，教师评价，让学生将自然语言转化成数学语言（符号语言）或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建成数学模型。如：例1中，我们可以从意识、方法、过程、质量几个方面，对选用待定系数法分段将折线数学化、将抛物线段数学化、将“纯效益”数学化的过程，进行有积极意义的肯定与否定的评价，引导学生将实际问题转化为求函数最值问题，从将实际问题数学化的过程中成功地走出来。
（3）通过即时性评价，促进学生深度学习解模的思想和方法。
即时评价“求模”的各个环节，合理选择算理、算法，求解数学问题，得出数学结论。要让学生暴露求模用的数学方法、数学知识的选择过程，在过程中要即时评价选择的合理性。
例2 （苏教版必修5§3.1.P67问题改编）某博物馆的门票每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠。若你代表一个团队去购买门票，应该选择怎样的购票策略？
有学生给出思路1：设购票人数为x人，购票费用y元，则y=10x（1
思路2：20人团体票是10×0.8×20=160元，=16，所以不少于16人时买团体票，少于16人时买普通票划算。
首先肯定其正确性，再用代数思想分析这种算术解法的局限性，引导学生。
思路3：设购票人数为x人，则当10x>20×10×0.8时买团体票划算，所以x>16。
答：x>16时买团体票划算；x<16时买普通票划算；x=16时两种价格一样。
事实上，将思路1改进一下，可用分段函数表示如下：y=10x（1≤x<16）160（16≤x<20）。8x（x≥20）
在例1中，面对分段函数h（t）学生会产生怕运算、怕复杂、怕繁琐的心态，我们要即时通过实际示范给予具有积极意义的肯定和否定的评价，发挥评价的导向功能、诊断功能、调节功能、激励功能。
值得指出的是，在应用题教学中，碰到运算就直截了当地给出答案，是造成学生运算能力差的根源之一，这样的做法直接助长了学生的懒惰心理，造成了学生思维的断层，教师在教学中应当关注运算的全过程，在过程中评价算法、算理，以此来不断地提高学生合理运用运算技巧、运算方法的能力，使学生的运算、思维达到一个高境界的层面，从而练就学生顽强的运算毅力，提高解模能力。
（4）通过即时性评价，促进学生深度理解，还原实际的决策过程。
解应用题的最后环节就是“还原”，也就是将得到的数学结论，根据实际意义适当增删，将数学的解还原为实际问题的解决方案。我们要站在决策的高度对这一过程进行即时性评价，提高学生的决策意识、决策水平，优化决策习惯。
5.结束语。
应用题的教学过程中，我们要通过即时性评价来揭示问题中丰富的社会信息，通过多视角的横向联系，多层次的能力要求，体现应用题多功能的教育价值，在评价的过程中引导学生观察了解社会、认识评价社会，使学生能够运用所学数学知识去解决一些实际问题，克服对数学的厌学、怕学现象，激发他们学好数学的动机，提升学生知识应用素质，提高数学教育水平和效率。
（作者单位：江苏省扬州大学附属中学）