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摘 要:根据数学与应用数学专业和信息与计算科学专业学生的特点,结合教学实际,主要从教学目标、教学内容、课堂教学以及实践动手能力的培养等方面,对两专业学生的常微分方程课程教学作了比较研究。
关键词:数学与应用数学 信计与计算科学 常微分方程 教学
中图分类号:G424 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)02(b)-0136-01
《常微分方程》在大学数学学科课程设置中是《数学分析》的后续课程,又是《数理方程》、《数值计算》的先修课程。因此,在数学类本科生的教学体系中它有着特定的重要位置。《常微分方程》是数学与应用数学专业的一门基础课,是信息与计算科学专业的专业必修课。但是在实际的教学中,不管是从体系到内容,从讲授方法到教学要求,以及使用的教材,一直都是两专业一样或是稍加区别。笔者结合几年来常微分方程课程的教学实际,针对这两专业的教学目标、教学内容、课堂教学、以及实践动手能力的培养等方面做一些探讨。
1 教学目标
微分方程理论是一门综合性很强的知识体系。从知识结构来讲,它是以数学分析、高等代数作为基础。因此基础知识多及应用范围广是它的两个显著特点。大学生仅有常微分方程的基本理论是不够的,还需要应用的能力,即解决实际问题的能力。前者在学习常微分的过程中基本可具备,后者则需要在学习的过程中不断实践而学习到。数学与应用数学专业的学生要求掌握数学科学的基本理论与基本方法,注重学生逻辑思维能力,创新能力的培养。
信息与计算科学专业是以信息领域为背景数学与信息,管理相结合的交叉学科专业。该专业培养的学生具有良好的数学基础,能熟练地使用计算机,初步具备在信息与计算科学领域的某个方向上从事科学研究,解决实际问题,设计开发有关软件的能力。因此,在信息与计算科学专业学生的教学中突出其实践性是重点。
2 教学内容
常微分方程课程具有两个特点。第一,所需的基础知识较多,涉及到数学分析、高等代数和解析几何等课程。第二,运用范围很广,在物理学、化学、生物学以及社会经济、人文科学中都有应用常微分方程的方法和理论建立起来的数学模型。在教学内容上体现了多课程、多学科知识的交叉和渗透。对于数应专业的学生,这就要求教师在教学过程中要不断深化学生原有的知识,帮助学生建立起新的知识体系。不仅要使学生弄清楚常微分方程的一些基本理论和掌握各种类型方程的求解方法,同时介绍常微分方程发展过程中的新进展和新成果,让学生了解学科发展的现状,培养其具有一定的科研素质和能力。
而对于信计专业的学生则不需要重视学术,不需要过难过深的知识,只需要在学生掌握这门课程的基本概念,基本方法和基本思想的基础上,了解一些把实际问题归结为适当的数学模型的途径和方法,为他们今后运用数学知识解决实际问题(如数学建模)提供必要的训练和准备。比如延展定理和解对初值连续依赖性定理,我们只做非常直观的几何解释,略去了繁杂的证明,不但没有降低大纲要求,反而使学生对本内容理解得更为深刻。另外,还可适当增加方程建模内容,比如捕鱼模型、技术革新模型等,以展示数学技术的功能。
3 课堂教学
在常微分课程的教学中,多年采用的“教师+黑板”、“我讲你听”的填鸭式单向教学模式,以教师为中心,注重理论知识的传授,忽视学生学习能力、研究能力和实践能力的培养。另外,教学手段落后、教学模式与扩大招生的矛盾等问题也日益暴露出来。
根据数应专业学生的基础和特点,笔者认为在教学过程中应加大研究性教学的力度,在课堂教学中采取“启发式”、“讨论式”的教学方法。启发式教学是相对于注入式教学而言的。在现代教学中,启发式教学已不再是一种具体的教学方式或教学技巧,而是运用任何一种教学方法的总的指导思想,即在学生学习的关键环节或遇到问题时不直接告诉他们答案,而是给予点拨和诱导。启发式有利于发挥学生学习的主观能动性,开发其分析思维能力。“问题教学法”是实现这一教学目标的有效手段。在课堂教学中,提出一些问题供大家积极讨论,共同探索解决问题的途径,引导他们自己得出某些重要的结论,将讲授与讨论有机地溶为一体,活跃课堂气氛,培养学习兴趣,提高学生分析问题和解决问题的能力。
例如:n阶常系数线性齐次方程
求通解。教师可由一阶齐次线性方程的通解为,引导学生联想到n阶方程也有类似的解,其中为待定系数,将其代入原方程得
即,则得到该方程的特征方程。还可进一步地提出问题,当特征方程的根都是单根,如何得到原方程的通解;当特征方程的根有复根,如何得到原方程的通解;当特征方程的根有重根,如何得到原方程的通解。
对于信计专业的学生,在讲解中,着重介绍问题的背景,影响问题的主要因素及根据这些主要因素做出简化假设,建立方程,并利用所得的数学结果解释问题的现象。例如放射性元素的衰变模型、人口乃至生态系统模型、医学方面的传染模型、气象学中的模型、军事中的模型和作战模型等,对这些例子在课堂教学上要在常规的教学过程中把数学建模的思想方法贯穿在其中,使枯燥的数学课变得生动有趣,提高了学生的学习兴趣,同时也培养了学生的创新能力。
4 实践能力的培养
为了贯穿数学建模的思想和方法,体现该课程在理论方法、建模应用、计算机软件上互相渗透与补充,提高学生数学知识的应用能力,可在教学过程中增加实验课的课时。
对于数应专业的学生,可对课本内容作如下调整和补充:在第一章后面增加一节“微分方程建模”,介绍建立数学模型的一般方法及微分方程建模具体例子。
结合信计专业学生的基础以及数学软件Matlab的教学,在数应专业学生的基础上,训练学生在自己会手动解方程(组)的同时,也能用Matlab求解微分方程。同时,可以鼓励和指导学生编程,仿真微分方程中的实际问题,加强与学习计算机相关知识和掌握计算机操作技能的联系力度,既使学生深刻理解了基本概念,又培养了他们实际应用知识和解决问题的能力。
参考文献
[1] 王高雄,周之铭,朱思铭,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2003.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
关键词:数学与应用数学 信计与计算科学 常微分方程 教学
中图分类号:G424 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)02(b)-0136-01
《常微分方程》在大学数学学科课程设置中是《数学分析》的后续课程,又是《数理方程》、《数值计算》的先修课程。因此,在数学类本科生的教学体系中它有着特定的重要位置。《常微分方程》是数学与应用数学专业的一门基础课,是信息与计算科学专业的专业必修课。但是在实际的教学中,不管是从体系到内容,从讲授方法到教学要求,以及使用的教材,一直都是两专业一样或是稍加区别。笔者结合几年来常微分方程课程的教学实际,针对这两专业的教学目标、教学内容、课堂教学、以及实践动手能力的培养等方面做一些探讨。
1 教学目标
微分方程理论是一门综合性很强的知识体系。从知识结构来讲,它是以数学分析、高等代数作为基础。因此基础知识多及应用范围广是它的两个显著特点。大学生仅有常微分方程的基本理论是不够的,还需要应用的能力,即解决实际问题的能力。前者在学习常微分的过程中基本可具备,后者则需要在学习的过程中不断实践而学习到。数学与应用数学专业的学生要求掌握数学科学的基本理论与基本方法,注重学生逻辑思维能力,创新能力的培养。
信息与计算科学专业是以信息领域为背景数学与信息,管理相结合的交叉学科专业。该专业培养的学生具有良好的数学基础,能熟练地使用计算机,初步具备在信息与计算科学领域的某个方向上从事科学研究,解决实际问题,设计开发有关软件的能力。因此,在信息与计算科学专业学生的教学中突出其实践性是重点。
2 教学内容
常微分方程课程具有两个特点。第一,所需的基础知识较多,涉及到数学分析、高等代数和解析几何等课程。第二,运用范围很广,在物理学、化学、生物学以及社会经济、人文科学中都有应用常微分方程的方法和理论建立起来的数学模型。在教学内容上体现了多课程、多学科知识的交叉和渗透。对于数应专业的学生,这就要求教师在教学过程中要不断深化学生原有的知识,帮助学生建立起新的知识体系。不仅要使学生弄清楚常微分方程的一些基本理论和掌握各种类型方程的求解方法,同时介绍常微分方程发展过程中的新进展和新成果,让学生了解学科发展的现状,培养其具有一定的科研素质和能力。
而对于信计专业的学生则不需要重视学术,不需要过难过深的知识,只需要在学生掌握这门课程的基本概念,基本方法和基本思想的基础上,了解一些把实际问题归结为适当的数学模型的途径和方法,为他们今后运用数学知识解决实际问题(如数学建模)提供必要的训练和准备。比如延展定理和解对初值连续依赖性定理,我们只做非常直观的几何解释,略去了繁杂的证明,不但没有降低大纲要求,反而使学生对本内容理解得更为深刻。另外,还可适当增加方程建模内容,比如捕鱼模型、技术革新模型等,以展示数学技术的功能。
3 课堂教学
在常微分课程的教学中,多年采用的“教师+黑板”、“我讲你听”的填鸭式单向教学模式,以教师为中心,注重理论知识的传授,忽视学生学习能力、研究能力和实践能力的培养。另外,教学手段落后、教学模式与扩大招生的矛盾等问题也日益暴露出来。
根据数应专业学生的基础和特点,笔者认为在教学过程中应加大研究性教学的力度,在课堂教学中采取“启发式”、“讨论式”的教学方法。启发式教学是相对于注入式教学而言的。在现代教学中,启发式教学已不再是一种具体的教学方式或教学技巧,而是运用任何一种教学方法的总的指导思想,即在学生学习的关键环节或遇到问题时不直接告诉他们答案,而是给予点拨和诱导。启发式有利于发挥学生学习的主观能动性,开发其分析思维能力。“问题教学法”是实现这一教学目标的有效手段。在课堂教学中,提出一些问题供大家积极讨论,共同探索解决问题的途径,引导他们自己得出某些重要的结论,将讲授与讨论有机地溶为一体,活跃课堂气氛,培养学习兴趣,提高学生分析问题和解决问题的能力。
例如:n阶常系数线性齐次方程
求通解。教师可由一阶齐次线性方程的通解为,引导学生联想到n阶方程也有类似的解,其中为待定系数,将其代入原方程得
即,则得到该方程的特征方程。还可进一步地提出问题,当特征方程的根都是单根,如何得到原方程的通解;当特征方程的根有复根,如何得到原方程的通解;当特征方程的根有重根,如何得到原方程的通解。
对于信计专业的学生,在讲解中,着重介绍问题的背景,影响问题的主要因素及根据这些主要因素做出简化假设,建立方程,并利用所得的数学结果解释问题的现象。例如放射性元素的衰变模型、人口乃至生态系统模型、医学方面的传染模型、气象学中的模型、军事中的模型和作战模型等,对这些例子在课堂教学上要在常规的教学过程中把数学建模的思想方法贯穿在其中,使枯燥的数学课变得生动有趣,提高了学生的学习兴趣,同时也培养了学生的创新能力。
4 实践能力的培养
为了贯穿数学建模的思想和方法,体现该课程在理论方法、建模应用、计算机软件上互相渗透与补充,提高学生数学知识的应用能力,可在教学过程中增加实验课的课时。
对于数应专业的学生,可对课本内容作如下调整和补充:在第一章后面增加一节“微分方程建模”,介绍建立数学模型的一般方法及微分方程建模具体例子。
结合信计专业学生的基础以及数学软件Matlab的教学,在数应专业学生的基础上,训练学生在自己会手动解方程(组)的同时,也能用Matlab求解微分方程。同时,可以鼓励和指导学生编程,仿真微分方程中的实际问题,加强与学习计算机相关知识和掌握计算机操作技能的联系力度,既使学生深刻理解了基本概念,又培养了他们实际应用知识和解决问题的能力。
参考文献
[1] 王高雄,周之铭,朱思铭,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2003.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文