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【摘 要】数学思想是数学学科发展的根本，是探索研究数学的基础，是数学课程教学的精髓。重视数学思想的渗透，能够发展学生的数学思维。本文以“列方程解决百分数实际问题”为例，从教材分析与学情分析入手，谈一谈教学设想与设计意图，力求通过数学思想助力学生学会“数学地思维”。
【关键词】数学思想;小学数学;教学设计
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）16-0220-02
《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“双基”提升到“四基”，把“数学基本思想方法”列入其中。其实，小学数学每一个知识点，或每一种解题方法，都隐藏着一定的数学思想，如何在教学中体现这些数学思想是一线教师迫切要研究的[1]。以苏教版六年级数学上册“列方程解决稍复杂的百分数实际问题”这一课为例，这一类问题之所以稍显复杂，就在于其包含的数量关系错综复杂。为了更好地帮助学生理清复杂数量关系、需要通过更好的教学设计与学生进行数量关系方面沟通，数学教学不能只停留在让学生解决问题这一层面，还应着眼于让学生学会用数学思想分析、解决问题，使学生在更高水平上认识数学和学习数学，进而学会“数学地思维”。
1 教材分析与学情分析
本节课在学生已经学会解决简单的分数和百分数乘、除法问题，以及稍复杂的分数乘法实际问题的基础上，教学列方程解决稍复杂的百分数除法实际问题。
笔者在前期的调研走访中发现，学生不愿意画图、懒于画图的占60%，主动画图的占40%;不会画图的占20%，会画图的占80%。学生不会分析数量关系，既没有养成抓单位“1”分析数量关系的习惯，也没有形成解决分数或百分数应用题的解题思路。同时既有学生不能正确地说出数量之间的关系，也有学生列方程时的思路和数量关系式不对应。
2 教学构想与设计意图
本节课是在让学生通过数学思想学会“数学地思维”的理念下设计的。先画线段图分析数量关系，体现数形结合思想，使思维具像化，使数量关系清晰明了;再依据数量关系列方程，体现方程思想，使稍复杂的问题变得简单;通过四次对比问题的设计，让学生学会建立形如的数学模型，使学生通过学习完全掌握新知识，体会到模型思想，从而达到预定的教学目标和教学效果。
2.1 画图，传递数形结合思想
2.1.1 复习导入
先找出单位“1”的量，再说出数量关系式。
（1）钱大伯原计划培育400棵松树苗，实际比原计划多20%。实际比原计划多培育松树苗多少棵？
（2）钱大伯原计划培育400棵松树苗，实际比原计划多20%。实际培育松树苗多少棵？
问题：你是怎样解决这两个问题的？
复习本身就是巩固学生已有的知识经验，为学习新知作好铺垫，因此在解答后，师生共同梳理总结解题步骤：找单位“1”的量→画线段图→确定数量关系→列式解答→检验。这样从一开始就明确画线段图，会很容易突破新授部分的教学重点。
2.1.2 自主探索
例1：钱大伯培育了480棵松树苗，比原计划多20%。原计划培育松树苗多少棵？
引导学生理解“比原计划多20%”这个条件的含义，让学生在小组内完成线段图（如下图），并找到已知数量和未知数量，写出数量关系式。
这里通过设计自主学习单、小组合作让学生探索新知，而其中的“画一画”第二次明确要画线段图帮助分析。
在平时的教学中，学生常常把画线段图或示意图看成是老师强加的负担，体会不到画图对于解数量关系问题的重要作用。学生在本环节通过“画一画”能清楚地理解到题目中一共有两个未知量、一个已知量，它们之间的关系是：原计划的棵数+多的棵数=实际的棵数。此时，教师应该抓住契机，传递数形结合思想，将抽象的数学思维与形象、直观的图形结合起来，使抽象的数学问题直观化、复杂的问题简单化。
2.2 理顺题意，渗透方程思想
（1）理出数量关系式。
（2）启发学生根据上面的数量关系，结合已有的知识列方程解决问题。
（3）检验与反思，不仅是让学生检验答案是否准确，更重要的是引导他们理解百分数实际问题之间的联系。
（4）回顾解题过程，谈体会，找其他解题方法。
此环节的设计说明：使每个学生都参与其中，深刻感受解决问题的过程，激发学生的求知欲，既突出教学的重点，同时也培养学生综合归纳及口头表达的能力。
在这个环节中怎样处理用方程解决问题和用除法解决问题的关系非常关键。在解决分数或百分数的实际问题时，只要是单位“1”未知，就可以用方程或除法解决。方程是顺向思维，除法是逆向思维，在小学阶段渗透方程思想，可化难为易，开拓学生的解题思路，发展学生的思维能力。从分析问题的数量关系入手，根据问题中的已知量和未知量的联系，理出数量关系式。然后通过列方程使问题得到解决。用方程思想解题的关键是利用已知条件构造方程，这种思想会在后续的代数、几何的学习及实际生活中有着广泛的应用，其目的就是让学生面对一个从未见过的新问题或者是百思不得其解的问题时能够想到用方程思想解决。
2.3 构建模型，树立模型思想
2.3.1 对比发现
复习题：钱大伯原计划培育400棵松树苗，实际比原计划多20%。实际培育松树苗多少棵？
例1：钱大伯培育了480棵松樹苗，比原计划多20%。原计划培育松树苗多少棵？
比较复习题与例1，思考它们的解题过程有什么相同和不同的地方？ 复习题是单位“1”已知的稍复杂的百分数乘法问题，例1是单位“1”未知的列方程稍复杂的百分数实际问题，它们的数量关系式是相同的。对比这两道题是让学生明确稍复杂的百分数实际问题与乘法与除法两类问题之间的联系与区别，从而深入理解列方程解决实际问题的解题思路，突显方程的优势。
2.3.2 尝试练习
练一练：钱大伯培育了480棵松树苗，比原计划少20%，原计划培育松树苗多少棵？
对比问题3：例1和练一练这一题有什么相同点？有什么不同点？
这里采用的是逐步过渡的方法，运用有梯度的拔高练习和难点分散，形成知识的迁移运用，目的是让学生明确列方程解决两种类型题之间的联系与区别，从而深入理解这两种类型题的解题思路，便于建模，即建立形如的数学模型。
2.3.3 巩固练习
（1）东方村今年水稻产量是38.5吨，比去年增产10%，去年水稻产量是多少吨？
（2）一件毛衣现在售价是51元，比原来降价15%，原来售价为多少元？
（3）华光玩具商店上个月售出电动轮船240艘。售出的电动轮船比电动汽车少20%，售出电动汽车多少辆？售出的电动轮船比电动飞机多20%，售出电动飞机多少架？
（4）建造一座污水处理池的实际投资比计划节约10%。
a.节约了4.8万元，原计划投资多少万元？
b.实际投资43.2万元，原计划投资多少万元？
比较：这些题有什么相同点？有什么不同点？
以上练习层层推进、逐步深入，最后的比较正好和第一次的比较呼应，是简单的与复杂的百分数除法问题的比较。这里基于“大单元设计”的理念，从分数乘法的一步、两步问题到分数除法的一步、两步问题，让学生明确，分数乘法也好，除法也罢，其数量关系式是相同的，重要的是把握数学本质;通过4次比较，引导学生观察、思考，发现其中的规律，再有效构建稍复杂百分数实际问题的数学模型，让学生再次理清两种不同的百分数除法问题的解题思路，掌握常规的数学模型，并且能够在情境中建构数学模型，突破难点，形成对新知的认知。
实践证明，关注数学思想、挖掘数学思想、灵活运用数学思想为解决稍复杂的百分数实际问题提供了更多的帮助。让学生在数学知识的学习中领悟数学思想，能够使学生学会“数学地思维”，能促进学生数学思维的发展。
总之，在教学中，教师的教学思路要清晰，教学过程要流畅，要注重发挥学生的主体地位，引领学生逐步思考，在观察、对比中自主发现、理解并掌握新知识或解决新问题。同时，学生数学思维的培养不是“一蹴而就”的，而是要“潜移默化”地渗透。因此，教师要从长远角度规划数学思想的渗透教学，发展学生的思维，提升学生的数学素养。
【参考文献】
[1]王永春.小学数学思想方法解读及教学案例[M].上海：华东师范大学出版社，2017.
【作者简介】
李雪（1983～），女，漢族，江苏睢宁人，本科，中小学一级教师。研究方向：数学。
【关键词】数学思想;小学数学;教学设计
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）16-0220-02
《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“双基”提升到“四基”，把“数学基本思想方法”列入其中。其实，小学数学每一个知识点，或每一种解题方法，都隐藏着一定的数学思想，如何在教学中体现这些数学思想是一线教师迫切要研究的[1]。以苏教版六年级数学上册“列方程解决稍复杂的百分数实际问题”这一课为例，这一类问题之所以稍显复杂，就在于其包含的数量关系错综复杂。为了更好地帮助学生理清复杂数量关系、需要通过更好的教学设计与学生进行数量关系方面沟通，数学教学不能只停留在让学生解决问题这一层面，还应着眼于让学生学会用数学思想分析、解决问题，使学生在更高水平上认识数学和学习数学，进而学会“数学地思维”。
1 教材分析与学情分析
本节课在学生已经学会解决简单的分数和百分数乘、除法问题，以及稍复杂的分数乘法实际问题的基础上，教学列方程解决稍复杂的百分数除法实际问题。
笔者在前期的调研走访中发现，学生不愿意画图、懒于画图的占60%，主动画图的占40%;不会画图的占20%，会画图的占80%。学生不会分析数量关系，既没有养成抓单位“1”分析数量关系的习惯，也没有形成解决分数或百分数应用题的解题思路。同时既有学生不能正确地说出数量之间的关系，也有学生列方程时的思路和数量关系式不对应。
2 教学构想与设计意图
本节课是在让学生通过数学思想学会“数学地思维”的理念下设计的。先画线段图分析数量关系，体现数形结合思想，使思维具像化，使数量关系清晰明了;再依据数量关系列方程，体现方程思想，使稍复杂的问题变得简单;通过四次对比问题的设计，让学生学会建立形如的数学模型，使学生通过学习完全掌握新知识，体会到模型思想，从而达到预定的教学目标和教学效果。
2.1 画图，传递数形结合思想
2.1.1 复习导入
先找出单位“1”的量，再说出数量关系式。
（1）钱大伯原计划培育400棵松树苗，实际比原计划多20%。实际比原计划多培育松树苗多少棵？
（2）钱大伯原计划培育400棵松树苗，实际比原计划多20%。实际培育松树苗多少棵？
问题：你是怎样解决这两个问题的？
复习本身就是巩固学生已有的知识经验，为学习新知作好铺垫，因此在解答后，师生共同梳理总结解题步骤：找单位“1”的量→画线段图→确定数量关系→列式解答→检验。这样从一开始就明确画线段图，会很容易突破新授部分的教学重点。
2.1.2 自主探索
例1：钱大伯培育了480棵松树苗，比原计划多20%。原计划培育松树苗多少棵？
引导学生理解“比原计划多20%”这个条件的含义，让学生在小组内完成线段图（如下图），并找到已知数量和未知数量，写出数量关系式。
这里通过设计自主学习单、小组合作让学生探索新知，而其中的“画一画”第二次明确要画线段图帮助分析。
在平时的教学中，学生常常把画线段图或示意图看成是老师强加的负担，体会不到画图对于解数量关系问题的重要作用。学生在本环节通过“画一画”能清楚地理解到题目中一共有两个未知量、一个已知量，它们之间的关系是：原计划的棵数+多的棵数=实际的棵数。此时，教师应该抓住契机，传递数形结合思想，将抽象的数学思维与形象、直观的图形结合起来，使抽象的数学问题直观化、复杂的问题简单化。
2.2 理顺题意，渗透方程思想
（1）理出数量关系式。
（2）启发学生根据上面的数量关系，结合已有的知识列方程解决问题。
（3）检验与反思，不仅是让学生检验答案是否准确，更重要的是引导他们理解百分数实际问题之间的联系。
（4）回顾解题过程，谈体会，找其他解题方法。
此环节的设计说明：使每个学生都参与其中，深刻感受解决问题的过程，激发学生的求知欲，既突出教学的重点，同时也培养学生综合归纳及口头表达的能力。
在这个环节中怎样处理用方程解决问题和用除法解决问题的关系非常关键。在解决分数或百分数的实际问题时，只要是单位“1”未知，就可以用方程或除法解决。方程是顺向思维，除法是逆向思维，在小学阶段渗透方程思想，可化难为易，开拓学生的解题思路，发展学生的思维能力。从分析问题的数量关系入手，根据问题中的已知量和未知量的联系，理出数量关系式。然后通过列方程使问题得到解决。用方程思想解题的关键是利用已知条件构造方程，这种思想会在后续的代数、几何的学习及实际生活中有着广泛的应用，其目的就是让学生面对一个从未见过的新问题或者是百思不得其解的问题时能够想到用方程思想解决。
2.3 构建模型，树立模型思想
2.3.1 对比发现
复习题：钱大伯原计划培育400棵松树苗，实际比原计划多20%。实际培育松树苗多少棵？
例1：钱大伯培育了480棵松樹苗，比原计划多20%。原计划培育松树苗多少棵？
比较复习题与例1，思考它们的解题过程有什么相同和不同的地方？ 复习题是单位“1”已知的稍复杂的百分数乘法问题，例1是单位“1”未知的列方程稍复杂的百分数实际问题，它们的数量关系式是相同的。对比这两道题是让学生明确稍复杂的百分数实际问题与乘法与除法两类问题之间的联系与区别，从而深入理解列方程解决实际问题的解题思路，突显方程的优势。
2.3.2 尝试练习
练一练：钱大伯培育了480棵松树苗，比原计划少20%，原计划培育松树苗多少棵？
对比问题3：例1和练一练这一题有什么相同点？有什么不同点？
这里采用的是逐步过渡的方法，运用有梯度的拔高练习和难点分散，形成知识的迁移运用，目的是让学生明确列方程解决两种类型题之间的联系与区别，从而深入理解这两种类型题的解题思路，便于建模，即建立形如的数学模型。
2.3.3 巩固练习
（1）东方村今年水稻产量是38.5吨，比去年增产10%，去年水稻产量是多少吨？
（2）一件毛衣现在售价是51元，比原来降价15%，原来售价为多少元？
（3）华光玩具商店上个月售出电动轮船240艘。售出的电动轮船比电动汽车少20%，售出电动汽车多少辆？售出的电动轮船比电动飞机多20%，售出电动飞机多少架？
（4）建造一座污水处理池的实际投资比计划节约10%。
a.节约了4.8万元，原计划投资多少万元？
b.实际投资43.2万元，原计划投资多少万元？
比较：这些题有什么相同点？有什么不同点？
以上练习层层推进、逐步深入，最后的比较正好和第一次的比较呼应，是简单的与复杂的百分数除法问题的比较。这里基于“大单元设计”的理念，从分数乘法的一步、两步问题到分数除法的一步、两步问题，让学生明确，分数乘法也好，除法也罢，其数量关系式是相同的，重要的是把握数学本质;通过4次比较，引导学生观察、思考，发现其中的规律，再有效构建稍复杂百分数实际问题的数学模型，让学生再次理清两种不同的百分数除法问题的解题思路，掌握常规的数学模型，并且能够在情境中建构数学模型，突破难点，形成对新知的认知。
实践证明，关注数学思想、挖掘数学思想、灵活运用数学思想为解决稍复杂的百分数实际问题提供了更多的帮助。让学生在数学知识的学习中领悟数学思想，能够使学生学会“数学地思维”，能促进学生数学思维的发展。
总之，在教学中，教师的教学思路要清晰，教学过程要流畅，要注重发挥学生的主体地位，引领学生逐步思考，在观察、对比中自主发现、理解并掌握新知识或解决新问题。同时，学生数学思维的培养不是“一蹴而就”的，而是要“潜移默化”地渗透。因此，教师要从长远角度规划数学思想的渗透教学，发展学生的思维，提升学生的数学素养。
【参考文献】
[1]王永春.小学数学思想方法解读及教学案例[M].上海：华东师范大学出版社，2017.
【作者简介】
李雪（1983～），女，漢族，江苏睢宁人，本科，中小学一级教师。研究方向：数学。