三角函数“病”题诊断

• 作 者: 李依贤
• 出 处: 中学生数理化·学研版
• 发表日期: 2016年2期
• 关键词: 三角函数 象限角 防患于未然 学习 概念不清 诊断 解题 解法

　　我们在学习三角函数时，常因概念不清、理解不深，导致解题时会出现一些错误，在此，将自己在学习时所发生的或遇到的“病”题解法收拾一下，并进行诊断，以供同学们防患于未然。
　　一、因混淆角的范围而致“病”
　　例1已知α是第二象限角，则α2是（）。
　　A.第一象限角
　　B.第二象限角
　　C.第一或第三象限角
　　D.第二或第四象限角
　　临床表现：因为α是第二象限的角，所以π2<α<π，所以π4<α2<π2是第一象限的角，故选A。
　　“病”因诊断：错因在于混淆了第二象限角和钝角的概念。第二象限角是终边在第二象限的角，而钝角是只在区间π2，π内的角。钝角一定是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角。
　　治疗措施：因为α是第二象限角，所以2kπ+π2<α<2kπ+π，k∈Z，所以kπ+π4<α2　　预防方法：以前我们研究的角的范围是[0，2π]，而现在已经推广到任意角了，所以，解答有关角的问题时，需要在任意角的范围内思考，对于相近的概念更要仔细分析，以免出错。
　　二、因混淆角度制和弧度制而致“病”
　　例2与角60°终边相同的角的集合为。
　　临床表现：填写{α|α=2kπ+60°，k∈Z}。
　　“病”因诊断：将角度制和弧度制在同一个问题当中混用。
　　治疗措施：应该填写{α|α=k·360°+60°，k∈Z}。
　　预防方法：只要一个问题不是角度和弧度的换算问题，角度和弧度是不能混用的，因为两者的单位不一致，混用后不伦不类，这是绝对不允许的。
　　三、因忽视三角函数值的范围而致“病”
　　例3若sinαcosα=140<α<π4，则sinα-cosα=。
　　临床表现：因为sinαcosα=14，
　　所以（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=1-2×14=12。
　　所以sinα-cosα=±22。
　　“病”因诊断：错因在于忽视了三角函数值的取值范围，因为0<α<π4，所以sinα　　治疗措施：因为0<α<π4，所以sinα　　又（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=1-2×14=12，
　　所以sinα-cosα=-22。
　　预防方法：根据同角三角函数的基本关系式求三角函数值时，一定不要忽视角的范围对三角函数值的影响。对于sinα和cosα的大小，可根据单位圆中的三角函数线来确定，也可以运用以下的结论来判断：在直线y=x的上方sinα>cosα；在直线y=x的下方sinα　　四、因忽视隐含条件而致“病”
　　例4在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边。已知a=1，b=2，cosC=34。
　　（1）求边c的值；
　　（2）求sin（C-A）的值。
　　临床表现：（1）c2=a2+b2-2abcosC=12+22-2×1×2×34=2，所以c=2。
　　（2）因为cosC=34，所以sinC=74。
　　在△ABC中，asinA=csinC。
　　所以sinA=148。
　　由sin2A+cos2A=1，得cosA=±528。
　　所以sin（C-A）=sinCcosA-cosCsinA=74×528-34×148=1416，
　　或sin（C-A）=sinCcosA-cosCsinA=74×-528-34×148=-144。
　　“病”因诊断：此解法第一问没有问题。但第二问在得出sinA=148后，由sin2A+cos2A=1，得cosA=±528时，忽略了第一问的结论c=2和条件a=1，由“大边对大角，小边对小角”知A为锐角，所以cosA=528。
　　治疗措施：（1）c2=a2+b2-2abcosC=12+22-2×1×2×34=2，所以c=2。
　　（2）因为cosC=34，所以sinC=74。
　　在△ABC中，asinA=csinC。
　　所以sinA=148。因为a　　所以sin（C-A）=sinCcosA-cosC·sinA=74×528-34×148=1416。
　　预防方法：像三角形知识中的“大边对大角，小边对小角”，“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，以及内角和为180°等隐含条件是不贴标签的，若忽视它必定出错。所以我们在审题时，一定要注意对隐含条件的挖掘。
　　作者单位：湖南省长沙市雅礼中学高1304班