椭圆双曲线离心率的取值范围的解析

• 作 者: 李锦彤
• 出 处: 数学学习与研究
• 发表日期: 2011年15期
• 关键词: 椭圆 双曲线 离心率

　　【摘要】求椭圆、双曲线离心率的范围，相对难度就要大些，如果已知条件没有直接给出不等关系，就要从条件中挖掘出来，这除了要求学生对以上知识和能力熟悉以外，还要求对性质理解要深刻，如焦半径的范围要熟悉，曲线上任一点的横坐标的范围要熟悉，通径与曲线的交点要熟悉.本文就具体试题进行分析.
　　【关键词】椭圆；双曲线；离心率
　　例1 （2008年福建卷11)双曲线x2a2+y2b2=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（）.
　　A（1，3）
　　B（1，3］
　　C（3，+∞）
　　D［3，+∞）
　　解析 设P为第一象限上的点，
　　由|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a.
　　又 ∵|PF2|≥c-a，
　　∴2a≥c-a，∴3a≥c，∴1　　例2 （2010年高考四川卷理科9）椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）.
　　A0,22
　　B0,12
　　C［2-1，1）
　　D12，1
　　解析 由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等.
　　而|FA|=a2c-c=b2c，|PF|∈［a-c,a+c］，
　　于是b2c∈［a-c,a+c］，即ac-c2≤b2≤ac+c2.
　　∴ac-c2≤a2-c2，a2-c2≤ac+c2，∴ca≤1，ca≤-1或ca≥12.
　　又 e∈(0,1)，故e∈12，1.
　　评注 利用圆锥曲线相关性质“双曲线焦半径|PF2|≥c-a，椭圆焦半径|PF|∈［a-c,a+c］”建立a,c不等关系求解.
　　例3 （2008年湖南卷理8）若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上横坐标为3a2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（）.
　　A(1,2)
　　B(2,+∞)
　　C(1,5)
　　D(5,+∞)
　　解析 设该点为P，左右焦点分别为F1，F2，则有
　　|PF2|>3a2--a2c.
　　由焦半径公式，得|PF2|=e•3a2-a.
　　∴e•3a2-a>3a2+a2c，∴3c2-a>3a2+a2c，
　　∴3c2-5ac-2a2>0，∴3e2-5e-2>0，
　　∴e>2.故选B.
　　评注 利用已知条件的不等关系和焦半径公式找到a,c的关系不等式.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文