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新课标实施后，高考越来越注重以向量为背景和载体，与直线、圆、圆锥曲线、三角函数、不等式甚至数列结合命题，因此在高考复习中必须对向量给予高度重视.同时解题时若善用向量为工具可使问题得以简化.本文举例阐述利用向量共线定理和数量积处理共线（平行）与垂直两类动点轨迹问题，供同学们参考.
问题1：平面上求过两点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l方程
这是一个直线的“两点式”方程问题，用解析法处理要讨论过A，B两点的直线斜率存在与不存在，即x1=x2与x1≠x2两种情况.但这一问题如果借助于向量就可避免讨论而得出一般的结论.
简答：设直线l上任一点P(x,y)，∵AP与AB共线，即(x-x1,y-y1)∥(x2-x1,y2-y1)，∴(x-x1)(y2-y1)=(y-y1)(x2-x1)即为直线l方程
说明：实际上有关共线或平行的轨迹问题均可借助向量，利用共线向量定理给出比较简洁的处理.
例1 G为△ABC所在平面上一点，则G为△ABC的重心的充要条件是GA+GB+GC=0
简证:必要性：∵G为△ABC的重心，∴AG=2GD=GB+GC，
即-GA=GB+GC，∴GA+GB+GC=0
充分性：由GA+GB+GC=0得 GB+GC=-GA，取BC中点D,则GB+GC=2GD，∴2GD=-GA即2GD=AG，∴AG=2GD，从而得知G为△ABC的重心.
例２ 已知OA,OB不共线，且OP=xOA+yOB(x,y∈R)，则A,B,P三点共线的充要条件是x+y=1
简证:必要性：∵A,B,P三点共线，∴AP=λAB，∴OP-OA=λ(OB-OA)，∴OP=(1-λ)OA+λOB，又∵OP=xOA+yOB，由平面向量基本定理可知：
x=1-λ,y=λ，∴x+y=1
充分性：∵x+y=1，∴y=1-x，∴OP=xOA+(1-x)OB=x(OA-OB)+OB，
∴OP-OB=x(OA-OB)即BP=xBA，∴BP∥BA，因为BP，BA有公共点B，∴A,B,P三点共线.
例3 （2011年安徽理21）设λ>0，点A的坐标为(1,1)点在抛物线y=x2上运动，点Q满足BQ=λQA经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M点P满足QM=λMP求点P的轨迹方程
解：由QM=λMP知O,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x,y)，Q(x,y0),M(x，x2),则x2-y0=λ(y-x2)，即y0=(1+λ)x2-λy ①
再设B(x1,y1)，由BQ=λQA，即(x-x1,y0-y1)=λ(1-x,1-y0)得
x1=(1+λ)x-λ
y1=(1+λ)y0-λ ②
将①式代入②式消去y0得x1=(1+λ)x-λ
y1=(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ ③
又点B在抛物线y=x2上所以y1=x21再将③代入y1=x21得
(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2
2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0
∵λ>0 ∴2x-y-1=0，故所过点P的轨迹方程为2x-y-1=0
说明：这是一道高考压轴题，难度较大，但若抓住两次共线这一特征，借助于向量共线定理，问题就较易处理.
问题2：平面直角坐标系中，求A(x1,y1),B(x2,y2)以为直径的圆C方程
这是一个圆的“直径式”方程问题，同学们不必强记，借助于向量，则很快可给出结论.
设P(x,y)为圆上任一点，∵AB为直径，
∴PA⊥PB，∴PA⊥PB，即PA·PB=0
∴(x1-x,y1-y)(x2-x,y2-y)=0
即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0为圆C方程（直径式方程）
说明：事实上有关垂直的轨迹问题均可借助向量，利用向量的数量积为零均可给出简捷处理
例4 求过圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程
简解：设Q(x,y)为切线上任一点，连CP，
则CP⊥PQ,∴CP·PQ=0即(x0-a,y0-b)·(x-x0,y-y0)=0∴(x0-a)(x-x0)+(y0-b)(y-y0)=0，即为所求切线方程.
例5 已知P(x0,y0)为圆O：x2+y2=r2外一点，过P分别作圆的两条切线，
切点为A、B，求过A、B的直线方程
简解：连OA,OB,则OA⊥PA，OB⊥PB,设A(x1,y1),B(x2,y2)
由OA·AP=0得(x1,y1)·(x0-x1,y0-y1)=0
即x1x0-x21+y1y0-y21=0
∵x21+y21=r2，∴x0x1+y0y1=r2，
同理x0x2+y0y2=r2
∴A(x1,y1),B(x2,y2)都在直线x0x+y0y=r2上，
∴过切点为A、B的直线方程即为x0x+y0y=r2.
例6 (2011课标全国卷理20) 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上M点满足MB∥OA MA·AB MB·BA M点轨迹为曲线C
（1） 求曲线C的方程 （2）P为C上的动点，G为C在P点处的切线，求O点到G上距离的最小值
解：∵MA·AB=MB·AB ∴(MA+MB)·AB=0
又MB∥OA ∴MB与OA共线，M点又在线段AB的中垂线上
设M(x,y)由已知得B(x,-3)又A(0,-1)
∴MA=(-x,-1-y) MB=(0,-3-y),AB=(x,-2),MA+MB=(-x,-4-2y)，
∴(-x,-4-2y)·(x,-2)=0得曲线C的方程为y=14x2-2
（2） 设P(x0,y0)为曲线C：y=14x2-2上一点 ∵y′=12x
∴G的斜率为12x0 ∴G方程为y-y0=12x0(x-x0)
即x0x-2y-2y0-x20=0
∴d=|2y0-x20|x20+4=12x20+4x20+4=
12x20+4+4x20+4≥2
当且仅当x0=0时取“=” ∴O到G距离的最小值为2
综上可知，在研究轨迹的共线（平行）与垂直（数量积）问题中向量很给力.
问题1：平面上求过两点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l方程
这是一个直线的“两点式”方程问题，用解析法处理要讨论过A，B两点的直线斜率存在与不存在，即x1=x2与x1≠x2两种情况.但这一问题如果借助于向量就可避免讨论而得出一般的结论.
简答：设直线l上任一点P(x,y)，∵AP与AB共线，即(x-x1,y-y1)∥(x2-x1,y2-y1)，∴(x-x1)(y2-y1)=(y-y1)(x2-x1)即为直线l方程
说明：实际上有关共线或平行的轨迹问题均可借助向量，利用共线向量定理给出比较简洁的处理.
例1 G为△ABC所在平面上一点，则G为△ABC的重心的充要条件是GA+GB+GC=0
简证:必要性：∵G为△ABC的重心，∴AG=2GD=GB+GC，
即-GA=GB+GC，∴GA+GB+GC=0
充分性：由GA+GB+GC=0得 GB+GC=-GA，取BC中点D,则GB+GC=2GD，∴2GD=-GA即2GD=AG，∴AG=2GD，从而得知G为△ABC的重心.
例２ 已知OA,OB不共线，且OP=xOA+yOB(x,y∈R)，则A,B,P三点共线的充要条件是x+y=1
简证:必要性：∵A,B,P三点共线，∴AP=λAB，∴OP-OA=λ(OB-OA)，∴OP=(1-λ)OA+λOB，又∵OP=xOA+yOB，由平面向量基本定理可知：
x=1-λ,y=λ，∴x+y=1
充分性：∵x+y=1，∴y=1-x，∴OP=xOA+(1-x)OB=x(OA-OB)+OB，
∴OP-OB=x(OA-OB)即BP=xBA，∴BP∥BA，因为BP，BA有公共点B，∴A,B,P三点共线.
例3 （2011年安徽理21）设λ>0，点A的坐标为(1,1)点在抛物线y=x2上运动，点Q满足BQ=λQA经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M点P满足QM=λMP求点P的轨迹方程
解：由QM=λMP知O,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x,y)，Q(x,y0),M(x，x2),则x2-y0=λ(y-x2)，即y0=(1+λ)x2-λy ①
再设B(x1,y1)，由BQ=λQA，即(x-x1,y0-y1)=λ(1-x,1-y0)得
x1=(1+λ)x-λ
y1=(1+λ)y0-λ ②
将①式代入②式消去y0得x1=(1+λ)x-λ
y1=(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ ③
又点B在抛物线y=x2上所以y1=x21再将③代入y1=x21得
(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2
2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0
∵λ>0 ∴2x-y-1=0，故所过点P的轨迹方程为2x-y-1=0
说明：这是一道高考压轴题，难度较大，但若抓住两次共线这一特征，借助于向量共线定理，问题就较易处理.
问题2：平面直角坐标系中，求A(x1,y1),B(x2,y2)以为直径的圆C方程
这是一个圆的“直径式”方程问题，同学们不必强记，借助于向量，则很快可给出结论.
设P(x,y)为圆上任一点，∵AB为直径，
∴PA⊥PB，∴PA⊥PB，即PA·PB=0
∴(x1-x,y1-y)(x2-x,y2-y)=0
即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0为圆C方程（直径式方程）
说明：事实上有关垂直的轨迹问题均可借助向量，利用向量的数量积为零均可给出简捷处理
例4 求过圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程
简解：设Q(x,y)为切线上任一点，连CP，
则CP⊥PQ,∴CP·PQ=0即(x0-a,y0-b)·(x-x0,y-y0)=0∴(x0-a)(x-x0)+(y0-b)(y-y0)=0，即为所求切线方程.
例5 已知P(x0,y0)为圆O：x2+y2=r2外一点，过P分别作圆的两条切线，
切点为A、B，求过A、B的直线方程
简解：连OA,OB,则OA⊥PA，OB⊥PB,设A(x1,y1),B(x2,y2)
由OA·AP=0得(x1,y1)·(x0-x1,y0-y1)=0
即x1x0-x21+y1y0-y21=0
∵x21+y21=r2，∴x0x1+y0y1=r2，
同理x0x2+y0y2=r2
∴A(x1,y1),B(x2,y2)都在直线x0x+y0y=r2上，
∴过切点为A、B的直线方程即为x0x+y0y=r2.
例6 (2011课标全国卷理20) 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上M点满足MB∥OA MA·AB MB·BA M点轨迹为曲线C
（1） 求曲线C的方程 （2）P为C上的动点，G为C在P点处的切线，求O点到G上距离的最小值
解：∵MA·AB=MB·AB ∴(MA+MB)·AB=0
又MB∥OA ∴MB与OA共线，M点又在线段AB的中垂线上
设M(x,y)由已知得B(x,-3)又A(0,-1)
∴MA=(-x,-1-y) MB=(0,-3-y),AB=(x,-2),MA+MB=(-x,-4-2y)，
∴(-x,-4-2y)·(x,-2)=0得曲线C的方程为y=14x2-2
（2） 设P(x0,y0)为曲线C：y=14x2-2上一点 ∵y′=12x
∴G的斜率为12x0 ∴G方程为y-y0=12x0(x-x0)
即x0x-2y-2y0-x20=0
∴d=|2y0-x20|x20+4=12x20+4x20+4=
12x20+4+4x20+4≥2
当且仅当x0=0时取“=” ∴O到G距离的最小值为2
综上可知，在研究轨迹的共线（平行）与垂直（数量积）问题中向量很给力.