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摘 要：徐斌老师把无痕教育定义为：把教育意图和目的隐藏起来，通过间接、暗示或迂回的方式给学生以教育的一种教育方式。无痕教育以儿童为教学的起点，充分考虑儿童心理和自尊，用潜移默化来达到教育的目的。本文以小学数学为例，思考如何优化教材组织策略，更好地践行无痕教育。
关键词：无痕教育;解读教材;打通教材;信息技术
【中图分类号】G622.0 【文献标识码】A 【文章编号】1005-8877（2020）32-0028-02
【Abstract】Teacher Xu Bin defines the education without marks as： hiding the educational intention and purpose，and giving students an education way by indirect，implied or circuitous way.Non-mark education takes children as the starting point of teaching，fully considers children's psychology and self-esteem，and uses imperceptibly to achieve the purpose of education.This article takes elementary school mathematics as an example，thinks how to optimize the teaching material organization strategy，practices the mark-free education better.
【Keywords】Education without marks;Interpretation of teaching materials;Access to teaching materials;Information technology
叶圣陶曾说过：“教育像农业”。在教育者“润物细无声”的培育下，学生知识的“麦穗”才能长得更为丰满。这和徐斌老师倡导的“无痕教育”不谋而合。无痕教育是让学生在不知不觉中体验快乐的学习过程，在循序渐进中完成知识的积累、思维的提升。它以学生的自然成长为目标，但落地的关键是教师，教师对教材意图的把握，对教材组织的优化，是实现数学课堂无痕教育的基础。本文就小学数学教材的组织策略作一些自己的思考，与大家分享，让我们一起更好地践行无痕教育。
1.深度解读教材，让教材“透”起来
无痕教育讲究的是教育的方式，如何把知识通过和谐自然的方式一步步往深度学习推进，两者需要兼顾，这就要求教师对教材进行深度解读。
（1）站在教师角度研读教材
教师对教材内容要有整体的逻辑关系的把握，了解该内容处在同一系列知识串的哪个位置，注意知识的前后关联。教师要仔细品读每一个例题、每一幅插图、每一道练习的意图，力求把教材读深、读透。
（2）站在学生角度研读教材
教材最终面向的是学生，而无痕教育关注的是如何让学生在没有太多压力和心理負担的状态下轻松自然地获取知识、提升能力，所以我们研读教材更多的要从学生角度出发。研读他们已有的知识经验，关注学生对新知的理解与接受度，尽量做到学习内容与儿童生活经验能对接起来，把知识的重难点站在学生的角度化解为一步步的小台阶。
（3）创造性地组织教材
有了以上两个不同角度的解读，接下来要思考的是如何把对教材的解读落地，这就需要创造性地组织教材。如何顺利搭建知识间的桥梁，让学生在不知不觉中过渡到新知的学习，在新知的探索中，如何让学生在轻松的氛围、老师潜移默化地引导下一步步推进知识的深度，如何有技巧地提问，如何组织学生讨论……这些都是需要深思的问题。
下面就以笔者的五年级下册《单式折线统计图》的教材解读为例：
折线统计图是学生在学习了统计表以及条形统计图的基础上学习的。它与条形统计图有相通之处，即都能直观表示数据的多少，而折线统计图更强调整体性，通过相邻两个数据间的一段小线段的走向，能直观反映数据的变化趋势，因此，折线统计图的数据是一个整体，还能对数据的未来趋势加以预估。
认识折线统计图时，通过条形统计图来过渡，先让学生说说条形统计图是如何表达数据多少的（看条形的高度），再把条形变细，再逐渐变成一条线段（高度不变），让学生再次判断是否能用线段表示数据，学生发现这些线段仍然能表达数据的多少。此时，让学生思考，能否再简化一些，通过讨论后使学生感悟：只要保留条形的最高点就能表达数据的多少，从而引出折线统计图的点。而折线统计图还缺线，怎么加？示范加上一条线段，让学生交流这条线段所传达的信息（数据的变化），接着，把所有的点全都依次连接，从而呈现一张完整的折线统计图。通过从条形到折线的变化，学生很清楚地看出两者的相同和不同之处，最大的不同就是折线把所有的数据连接起来，变成了数据组，呈现了数据的变化趋势，这是折线统计图最大的特点，也是条形统计图所不具备的。
在解读《单式折线统计图》时，笔者试着站在教师和学生的不同角度解读教材，思考如果悄无声息地把折线统计图的难点破解。最终，用了旧知—条形统计图，通过沟通两者的异同点，给学生搭建了一个知识间的桥梁，轻松理解了折线统计图的本质特征。这段教材组织也是受到徐斌老师《倍的认识》一课的启发。
2.打通教材脉络，让教材“串”起来
倡导自然主义教育思想的卢梭强调：“要按你的学生的年龄去对待他”，他还提出，教学必须启发学生思考，引导他们自觉地去获取知识，教师要引导学生去观察、分析、比较和概括，这与徐斌老师倡导的无痕教育的思想不谋而合。 小学数学是一门逻辑性特别强的学科，时间跨度比较长，在此过程中，不同年段儿童思维也在不断成熟发展。因此，数学教材的内容在编排时，会把一个版块的知识分成若干份，根据儿童年龄的接受水平安排在不同的年段，呈螺旋上升的安排。有些知识在高段学得更深入后，前后的知识就可以串起来一起研究。
例如，学生学习了商不变规律和小数除法后，笔者和学生研究了这个问题《17÷2和170÷20相等吗？》。
【教材分析】
二年级下册第一次认识有余数的除法，通过具体的分一分活动，直观了解了余数的含义。四年级上册学习了商不变规律，知道了余数并不在商不变规律的范畴里，商不变仅限于商，而余数还是要变的。17÷2和170÷20都是有余数的除法，很显然商是不变的，但余数要变，那结论是否相等呢，可能会有分歧，所以这个问题还是很有讨论价值的。
【片段呈现】
师：17÷2和170÷20相等吗？不急着下结论，请你先独立思考，再和同桌交流一下你的想法。
生1：17÷2和170÷20不相等。因为根据商不变而余数要变的规律，17÷2=8……1，而170÷20=8……10。
生2：我觉得这两题是相等的。因为17÷2和170÷20用小数表示，结果都是8.5。
师：他们说得有没有道理？（都挺有道理的）用小数表示商都是8.5，那肯定是相等的，这是否就说明“8……1=8……10”呢？我们来结合实际问题研究一下。
情境：17个 ，平均分给2人，每人分得多少个？ 17÷2=8（个）……1（个）
170个 ，平均分给20人，每人分得多少个？ 170÷20=8（个）……10（个）
师：结合分苹果，你有什么想表达的？
生：第1题剩余1个，第2题剩余10个，感觉是第2题结果更大。
师：如果把剩余的“1个”和“10个”继续平均分，每人还会分得多少？
生：第1题剩余的1个，如果继续平均分给2人，每人还能分得半个;第2题剩余的10个，如果继续平均分给20人，每人也还能分得半个。最终每人都分得8个半苹果，所以结果是相等的。
师：你说得很有道理，余数和除数是密不可分的，余数的1个和10个其实不是单独存在的，它要结合与除数的关系来看，因此用“8（个）……1（个）”和“8（个）……10（个）”来比较大小没有用小数表示更清晰。
比如，25个 ，平均分给3人，每人分得多少个？（口答：25÷3=8（个）……1（个））师：这题和17÷2用商和余数的形式来表示，结果都是“8……1”，那是否就可以说明25÷3=17÷2呢？
生1：25÷3≈8.3，17÷2=8.5，这两题肯定是不相等的。
生2：25÷3=8（个）……1（个）的余数“1”是相对除数“3”而言的，相当于多了个，而17÷2=8（个）……1（个）的余数“1”是相对除数“2”而言的，相当于多了个。
师：说得太好了。用商和余数的形式来表示除法的结果，是实际生活的需要，余数并不能单纯独立开来，它既是被除数的一部分，也和除数有着密切的联系。当然，更多的时候是用小数或分数来表示不能整除的除法的商，这样更便于比较。
通过纵向串联教材，不仅打通了知识脉络，也让学生思维得到了提升，不仅建构了完善的数学认知结构，也发展了学生的数学综合素养。愉悦的讨论交流，思维的不断碰撞，无不彰显了无痕教育的魅力。
3.借助信息手段，让教材“活”起来
无痕的课堂是灵动的，看不出刻意雕琢的痕迹。因此，教师在组织教材、构思教学设计时，要思考如何借助信息技术来优化教学设计、沟通知识间的联系。小学生处在具体形象思维为主的阶段，他们对算理、规律的理解和推理要充分借助形象直观的教学手段，而信息技术为突破教学重难点提供了更便利的手段。信息技术可以构建积极、适宜、和谐的师生关系，在课堂上形成多层次、多通道、多方位的互动交流，并形成一定的互动教学模式。无痕的数学学习不仅注重结果，更重视有效和谐的探究过程，而信息技术为师生和谐有效的课堂沟通助力。
下面就以五年级下册《圆的认识》一个片段为例。在进行“同一个圆内所有半径都相等”这一规律的教学设计时，教材提示的是折一折、画一画、比一比的方法，学生还会想到的是量一量。但仅仅考虑这些是不够的，思维敏捷的孩子可能不需要这些操作就能证明“同一个圆内所有半径都相等”这一结论，因为在学习用圆规画圆时，学生已知道圆规两脚间的距离是不变的。基于以上思考，笔者在教学设计中加了一个预设，将这个探究放到交互白板中呈现，当有学生说到根据圆规两脚间距离不变来证明这个结论时，就用白板“圆规画圆”的功能进行演示。果不其然，在教学中，就有学生提出了这个方法验证，通过学生上台操作圆规画圆的过程，更清晰地呈现了圆规两脚间距离不变，即“同一个圆内所有半径都相等”的结论。这一方法比“折一折、量一量”更进了一步，因为它验证了“所有半径”的规律。
白板上“变”出一个大圆规，还能靈活地画一个大圆，把学生的理解变成了直观的演示，使更多的学生理解了这一简单有效的验证方法，信息技术瞬间把教材激活了，把语言的描述变成了清晰的操作，在潜移默化中理解了知识的本质，这正是无痕教育所倡导的。
数学无痕教育是和谐愉悦的教育，是以人为本的教育，为了实现这一美好的教育方式，教师们更应把握好教材组织这个落脚点。让我们立足教材，在无痕教育的寻梦之路上不断耕耘！
关键词：无痕教育;解读教材;打通教材;信息技术
【中图分类号】G622.0 【文献标识码】A 【文章编号】1005-8877（2020）32-0028-02
【Abstract】Teacher Xu Bin defines the education without marks as： hiding the educational intention and purpose，and giving students an education way by indirect，implied or circuitous way.Non-mark education takes children as the starting point of teaching，fully considers children's psychology and self-esteem，and uses imperceptibly to achieve the purpose of education.This article takes elementary school mathematics as an example，thinks how to optimize the teaching material organization strategy，practices the mark-free education better.
【Keywords】Education without marks;Interpretation of teaching materials;Access to teaching materials;Information technology
叶圣陶曾说过：“教育像农业”。在教育者“润物细无声”的培育下，学生知识的“麦穗”才能长得更为丰满。这和徐斌老师倡导的“无痕教育”不谋而合。无痕教育是让学生在不知不觉中体验快乐的学习过程，在循序渐进中完成知识的积累、思维的提升。它以学生的自然成长为目标，但落地的关键是教师，教师对教材意图的把握，对教材组织的优化，是实现数学课堂无痕教育的基础。本文就小学数学教材的组织策略作一些自己的思考，与大家分享，让我们一起更好地践行无痕教育。
1.深度解读教材，让教材“透”起来
无痕教育讲究的是教育的方式，如何把知识通过和谐自然的方式一步步往深度学习推进，两者需要兼顾，这就要求教师对教材进行深度解读。
（1）站在教师角度研读教材
教师对教材内容要有整体的逻辑关系的把握，了解该内容处在同一系列知识串的哪个位置，注意知识的前后关联。教师要仔细品读每一个例题、每一幅插图、每一道练习的意图，力求把教材读深、读透。
（2）站在学生角度研读教材
教材最终面向的是学生，而无痕教育关注的是如何让学生在没有太多压力和心理負担的状态下轻松自然地获取知识、提升能力，所以我们研读教材更多的要从学生角度出发。研读他们已有的知识经验，关注学生对新知的理解与接受度，尽量做到学习内容与儿童生活经验能对接起来，把知识的重难点站在学生的角度化解为一步步的小台阶。
（3）创造性地组织教材
有了以上两个不同角度的解读，接下来要思考的是如何把对教材的解读落地，这就需要创造性地组织教材。如何顺利搭建知识间的桥梁，让学生在不知不觉中过渡到新知的学习，在新知的探索中，如何让学生在轻松的氛围、老师潜移默化地引导下一步步推进知识的深度，如何有技巧地提问，如何组织学生讨论……这些都是需要深思的问题。
下面就以笔者的五年级下册《单式折线统计图》的教材解读为例：
折线统计图是学生在学习了统计表以及条形统计图的基础上学习的。它与条形统计图有相通之处，即都能直观表示数据的多少，而折线统计图更强调整体性，通过相邻两个数据间的一段小线段的走向，能直观反映数据的变化趋势，因此，折线统计图的数据是一个整体，还能对数据的未来趋势加以预估。
认识折线统计图时，通过条形统计图来过渡，先让学生说说条形统计图是如何表达数据多少的（看条形的高度），再把条形变细，再逐渐变成一条线段（高度不变），让学生再次判断是否能用线段表示数据，学生发现这些线段仍然能表达数据的多少。此时，让学生思考，能否再简化一些，通过讨论后使学生感悟：只要保留条形的最高点就能表达数据的多少，从而引出折线统计图的点。而折线统计图还缺线，怎么加？示范加上一条线段，让学生交流这条线段所传达的信息（数据的变化），接着，把所有的点全都依次连接，从而呈现一张完整的折线统计图。通过从条形到折线的变化，学生很清楚地看出两者的相同和不同之处，最大的不同就是折线把所有的数据连接起来，变成了数据组，呈现了数据的变化趋势，这是折线统计图最大的特点，也是条形统计图所不具备的。
在解读《单式折线统计图》时，笔者试着站在教师和学生的不同角度解读教材，思考如果悄无声息地把折线统计图的难点破解。最终，用了旧知—条形统计图，通过沟通两者的异同点，给学生搭建了一个知识间的桥梁，轻松理解了折线统计图的本质特征。这段教材组织也是受到徐斌老师《倍的认识》一课的启发。
2.打通教材脉络，让教材“串”起来
倡导自然主义教育思想的卢梭强调：“要按你的学生的年龄去对待他”，他还提出，教学必须启发学生思考，引导他们自觉地去获取知识，教师要引导学生去观察、分析、比较和概括，这与徐斌老师倡导的无痕教育的思想不谋而合。 小学数学是一门逻辑性特别强的学科，时间跨度比较长，在此过程中，不同年段儿童思维也在不断成熟发展。因此，数学教材的内容在编排时，会把一个版块的知识分成若干份，根据儿童年龄的接受水平安排在不同的年段，呈螺旋上升的安排。有些知识在高段学得更深入后，前后的知识就可以串起来一起研究。
例如，学生学习了商不变规律和小数除法后，笔者和学生研究了这个问题《17÷2和170÷20相等吗？》。
【教材分析】
二年级下册第一次认识有余数的除法，通过具体的分一分活动，直观了解了余数的含义。四年级上册学习了商不变规律，知道了余数并不在商不变规律的范畴里，商不变仅限于商，而余数还是要变的。17÷2和170÷20都是有余数的除法，很显然商是不变的，但余数要变，那结论是否相等呢，可能会有分歧，所以这个问题还是很有讨论价值的。
【片段呈现】
师：17÷2和170÷20相等吗？不急着下结论，请你先独立思考，再和同桌交流一下你的想法。
生1：17÷2和170÷20不相等。因为根据商不变而余数要变的规律，17÷2=8……1，而170÷20=8……10。
生2：我觉得这两题是相等的。因为17÷2和170÷20用小数表示，结果都是8.5。
师：他们说得有没有道理？（都挺有道理的）用小数表示商都是8.5，那肯定是相等的，这是否就说明“8……1=8……10”呢？我们来结合实际问题研究一下。
情境：17个 ，平均分给2人，每人分得多少个？ 17÷2=8（个）……1（个）
170个 ，平均分给20人，每人分得多少个？ 170÷20=8（个）……10（个）
师：结合分苹果，你有什么想表达的？
生：第1题剩余1个，第2题剩余10个，感觉是第2题结果更大。
师：如果把剩余的“1个”和“10个”继续平均分，每人还会分得多少？
生：第1题剩余的1个，如果继续平均分给2人，每人还能分得半个;第2题剩余的10个，如果继续平均分给20人，每人也还能分得半个。最终每人都分得8个半苹果，所以结果是相等的。
师：你说得很有道理，余数和除数是密不可分的，余数的1个和10个其实不是单独存在的，它要结合与除数的关系来看，因此用“8（个）……1（个）”和“8（个）……10（个）”来比较大小没有用小数表示更清晰。
比如，25个 ，平均分给3人，每人分得多少个？（口答：25÷3=8（个）……1（个））师：这题和17÷2用商和余数的形式来表示，结果都是“8……1”，那是否就可以说明25÷3=17÷2呢？
生1：25÷3≈8.3，17÷2=8.5，这两题肯定是不相等的。
生2：25÷3=8（个）……1（个）的余数“1”是相对除数“3”而言的，相当于多了个，而17÷2=8（个）……1（个）的余数“1”是相对除数“2”而言的，相当于多了个。
师：说得太好了。用商和余数的形式来表示除法的结果，是实际生活的需要，余数并不能单纯独立开来，它既是被除数的一部分，也和除数有着密切的联系。当然，更多的时候是用小数或分数来表示不能整除的除法的商，这样更便于比较。
通过纵向串联教材，不仅打通了知识脉络，也让学生思维得到了提升，不仅建构了完善的数学认知结构，也发展了学生的数学综合素养。愉悦的讨论交流，思维的不断碰撞，无不彰显了无痕教育的魅力。
3.借助信息手段，让教材“活”起来
无痕的课堂是灵动的，看不出刻意雕琢的痕迹。因此，教师在组织教材、构思教学设计时，要思考如何借助信息技术来优化教学设计、沟通知识间的联系。小学生处在具体形象思维为主的阶段，他们对算理、规律的理解和推理要充分借助形象直观的教学手段，而信息技术为突破教学重难点提供了更便利的手段。信息技术可以构建积极、适宜、和谐的师生关系，在课堂上形成多层次、多通道、多方位的互动交流，并形成一定的互动教学模式。无痕的数学学习不仅注重结果，更重视有效和谐的探究过程，而信息技术为师生和谐有效的课堂沟通助力。
下面就以五年级下册《圆的认识》一个片段为例。在进行“同一个圆内所有半径都相等”这一规律的教学设计时，教材提示的是折一折、画一画、比一比的方法，学生还会想到的是量一量。但仅仅考虑这些是不够的，思维敏捷的孩子可能不需要这些操作就能证明“同一个圆内所有半径都相等”这一结论，因为在学习用圆规画圆时，学生已知道圆规两脚间的距离是不变的。基于以上思考，笔者在教学设计中加了一个预设，将这个探究放到交互白板中呈现，当有学生说到根据圆规两脚间距离不变来证明这个结论时，就用白板“圆规画圆”的功能进行演示。果不其然，在教学中，就有学生提出了这个方法验证，通过学生上台操作圆规画圆的过程，更清晰地呈现了圆规两脚间距离不变，即“同一个圆内所有半径都相等”的结论。这一方法比“折一折、量一量”更进了一步，因为它验证了“所有半径”的规律。
白板上“变”出一个大圆规，还能靈活地画一个大圆，把学生的理解变成了直观的演示，使更多的学生理解了这一简单有效的验证方法，信息技术瞬间把教材激活了，把语言的描述变成了清晰的操作，在潜移默化中理解了知识的本质，这正是无痕教育所倡导的。
数学无痕教育是和谐愉悦的教育，是以人为本的教育，为了实现这一美好的教育方式，教师们更应把握好教材组织这个落脚点。让我们立足教材，在无痕教育的寻梦之路上不断耕耘！