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对抽样方法含义理解不清致误
例1 学校附近一家小超市为了解一年的客流量情况，决定用系统抽样从一年中抽出52天作为样本实施调查（即从每周抽取1天，一年恰好有52个星期），你觉得这样的选择合适吗？为什么？
错解1 合适，因为一年的天数较多，采取系统抽样减少了抽取天数.
错解2 合适，每个星期抽取一天，等距抽样，适用于总体中个体数较多.
错解3 合适，分层抽样更平均.
错解4 合适，系统抽样是随机的，具有一定代表性.
错解5 不合适，样本容量小.
分析 这家超市位于学校附近，其顾客很多为学生，客流量受到学生作息时间的影响. 如周末时，客流量会明显减少，如果用系统抽样来抽取样本，起始点抽到星期天的话，样本代表的客流量会明显偏低. 另外，寒暑假也会直接影响超市的客流量.
正解 不合适. 利用简单随机抽样和分层抽样，可以把一周分为7天，一年分为52层，每层用简单随机抽样的方法，抽取适当的样本进行调查.
点拨 概率和统计在生活中已经得到了广泛的应用，为方方面面带来了便利. 我们学习数学的最终目的也是要应用在我们的生活中，在处理这种实际应用题时，要结合自己的生活经验多思考.
混淆互斥事件与相互独立事件致误
例2 一个通讯小组有[A，B]两套通讯设备，只要有一套设备正常工作，就能进行通讯. [A，B]设备各由2个、3个部件组成，只要其中有1个部件出现故障，这套设备就不能正常工作. 如果在某个时间内每个部件都不出现故障的概率都为[P]，试计算在这段时间内能进行通讯的概率.
错解 [A，B]两套通讯设备在某个时间内能正常工作的概率分别为[P（A）=P2，P（B）=P3，]则在这段时间内能进行通讯的概率为[P（A+B）=P（A）+P（B）=P2+P3].
分析 上面所用的公式是两个互斥事件有一个发生的概率，而题中[A，B]两套通讯设备能正常工作这两个事件是相互独立的. 互斥与独立是两种不同的关系，一般没有必然联系，不能混淆，把互斥结果套用在独立事件中是错误的.
正解 方法一：采用逆向思维来求解. [A，B]至少有一个正常工作的对立事件是[A，B]都不能正常工作. [A]不能正常工作的概率为[1-P2]，[B]不能正常工作的概率为[1-P3]，故所求概率为
[1-（1-P2）（1-P3）=P2+P3-P5].
方法二：采用正向思维来求解. [A，B]两套通讯设备在这段时间内能进行通讯这一事件包括：[A]正常，[B]不正常；[A]不正常，[B]正常；[A，B]都正常. 且这三个事件彼此互斥，故所求概率为
[P2（1-P3）+P3（1-P2）+P2?P3=P2+P3-P5.]
点拨 互斥事件与相互独立事件的判断，只需要抓住它们的定义就可以进行区分. 互斥事件发生在一次试验中可能出现的不同结果，这两个事件不可能同时发生；而相互独立事件发生在互不干涉的不同试验中，一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率不产生任何影响. 它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的.
概念认识模糊考虑问题不周致误
例3 如图所示，若用五种不同的颜色给一个四棱锥[S-ABCD]的每一个顶点涂上一种颜色，则使同一条棱上的两个顶点不同色的概率是多少？
分析 第一种错解中，把四棱锥误看成四面体，就从5种颜色中任取了四种颜色并将四种颜色全排了.第二种错解中，简单地使用了加法原则，分成了三类，使用五种颜色、四种颜色和三种颜色，但考虑不周全，四种颜色还要分类. 第三种错解中，没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式，底面的四个顶点涂色需要分类. 第四种错解中，在使用四种颜色和三种颜色分类后分步，但分析有误，不严密，出现了错误. 第五种错解中，理解题意有误，以为五种颜色均要用完. 第六种错解中，使用了分组，忽略了平均分组导致分类讨论中情况重复出现.
正解 对满足本题的涂色方案有两种方法.
方法一：当[A，C]颜色相同时，涂法有[C15C14C13C13][=180]种；当[A，C]颜色不相同时，涂法有[C15C14C13C12C12=240]种，共有涂法180+240=420种.
方法二：分类使用5种颜色的涂法有[A55]种，使用4种颜色的涂法有[2A45]种，使用3种颜色的涂法有[A35]种，共有涂法[A55]+[2A45]+[A35]=420种.
这两种思路求得满足题设的涂法结果是一样的，则本题所求的概率应该是[P=42055=84625].
点拨 概率的计算中往往掺杂着排列组合问题，而排列组合问题的类型繁多，计算也很灵活，大家都直观地认为“分步用乘法、分类用加法，有序排列，无序就是组合”. 但在解题的过程中同学们往往对概念理解不清楚、考虑问题不周全、忽略有关条件等原因导致在排列组合问题上的计算漏与重，使得最后计算的概率出错.
忽视基本事件的等可能性致误
例4 已知直角三角形的两直角边都是区间（0，1）上的随机数，试求斜边长小于[23]的概率.
错解 设直角三角形的两直角边分别为[x，y][（x，y∈（0，1））]，由题意可知，[0 [（1）][（2）]
分析 将基本事件由点[（x，y）]转化为[（x2，y2）]后，落入正方形区域内不是均匀的（不是等可能的）. 若用计算机有关软件来设计程序，画出散点图，可直观显示点[（x2，y2）]是非均匀分布的.
正解 设直角三角形的两直角边分别为[x，y] [（x，y∈（0，1）），]由题意可知，[0 则所求的概率为[P（A）=S阴S正=14×π×491=π9].
点拨 几何概型在基本事件转化的过程中，不仅要注意基本事件之间的一一对应性，还要符合几何概型的“等可能性”.
例1 学校附近一家小超市为了解一年的客流量情况，决定用系统抽样从一年中抽出52天作为样本实施调查（即从每周抽取1天，一年恰好有52个星期），你觉得这样的选择合适吗？为什么？
错解1 合适，因为一年的天数较多，采取系统抽样减少了抽取天数.
错解2 合适，每个星期抽取一天，等距抽样，适用于总体中个体数较多.
错解3 合适，分层抽样更平均.
错解4 合适，系统抽样是随机的，具有一定代表性.
错解5 不合适，样本容量小.
分析 这家超市位于学校附近，其顾客很多为学生，客流量受到学生作息时间的影响. 如周末时，客流量会明显减少，如果用系统抽样来抽取样本，起始点抽到星期天的话，样本代表的客流量会明显偏低. 另外，寒暑假也会直接影响超市的客流量.
正解 不合适. 利用简单随机抽样和分层抽样，可以把一周分为7天，一年分为52层，每层用简单随机抽样的方法，抽取适当的样本进行调查.
点拨 概率和统计在生活中已经得到了广泛的应用，为方方面面带来了便利. 我们学习数学的最终目的也是要应用在我们的生活中，在处理这种实际应用题时，要结合自己的生活经验多思考.
混淆互斥事件与相互独立事件致误
例2 一个通讯小组有[A，B]两套通讯设备，只要有一套设备正常工作，就能进行通讯. [A，B]设备各由2个、3个部件组成，只要其中有1个部件出现故障，这套设备就不能正常工作. 如果在某个时间内每个部件都不出现故障的概率都为[P]，试计算在这段时间内能进行通讯的概率.
错解 [A，B]两套通讯设备在某个时间内能正常工作的概率分别为[P（A）=P2，P（B）=P3，]则在这段时间内能进行通讯的概率为[P（A+B）=P（A）+P（B）=P2+P3].
分析 上面所用的公式是两个互斥事件有一个发生的概率，而题中[A，B]两套通讯设备能正常工作这两个事件是相互独立的. 互斥与独立是两种不同的关系，一般没有必然联系，不能混淆，把互斥结果套用在独立事件中是错误的.
正解 方法一：采用逆向思维来求解. [A，B]至少有一个正常工作的对立事件是[A，B]都不能正常工作. [A]不能正常工作的概率为[1-P2]，[B]不能正常工作的概率为[1-P3]，故所求概率为
[1-（1-P2）（1-P3）=P2+P3-P5].
方法二：采用正向思维来求解. [A，B]两套通讯设备在这段时间内能进行通讯这一事件包括：[A]正常，[B]不正常；[A]不正常，[B]正常；[A，B]都正常. 且这三个事件彼此互斥，故所求概率为
[P2（1-P3）+P3（1-P2）+P2?P3=P2+P3-P5.]
点拨 互斥事件与相互独立事件的判断，只需要抓住它们的定义就可以进行区分. 互斥事件发生在一次试验中可能出现的不同结果，这两个事件不可能同时发生；而相互独立事件发生在互不干涉的不同试验中，一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率不产生任何影响. 它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的.
概念认识模糊考虑问题不周致误
例3 如图所示，若用五种不同的颜色给一个四棱锥[S-ABCD]的每一个顶点涂上一种颜色，则使同一条棱上的两个顶点不同色的概率是多少？
分析 第一种错解中，把四棱锥误看成四面体，就从5种颜色中任取了四种颜色并将四种颜色全排了.第二种错解中，简单地使用了加法原则，分成了三类，使用五种颜色、四种颜色和三种颜色，但考虑不周全，四种颜色还要分类. 第三种错解中，没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式，底面的四个顶点涂色需要分类. 第四种错解中，在使用四种颜色和三种颜色分类后分步，但分析有误，不严密，出现了错误. 第五种错解中，理解题意有误，以为五种颜色均要用完. 第六种错解中，使用了分组，忽略了平均分组导致分类讨论中情况重复出现.
正解 对满足本题的涂色方案有两种方法.
方法一：当[A，C]颜色相同时，涂法有[C15C14C13C13][=180]种；当[A，C]颜色不相同时，涂法有[C15C14C13C12C12=240]种，共有涂法180+240=420种.
方法二：分类使用5种颜色的涂法有[A55]种，使用4种颜色的涂法有[2A45]种，使用3种颜色的涂法有[A35]种，共有涂法[A55]+[2A45]+[A35]=420种.
这两种思路求得满足题设的涂法结果是一样的，则本题所求的概率应该是[P=42055=84625].
点拨 概率的计算中往往掺杂着排列组合问题，而排列组合问题的类型繁多，计算也很灵活，大家都直观地认为“分步用乘法、分类用加法，有序排列，无序就是组合”. 但在解题的过程中同学们往往对概念理解不清楚、考虑问题不周全、忽略有关条件等原因导致在排列组合问题上的计算漏与重，使得最后计算的概率出错.
忽视基本事件的等可能性致误
例4 已知直角三角形的两直角边都是区间（0，1）上的随机数，试求斜边长小于[23]的概率.
错解 设直角三角形的两直角边分别为[x，y][（x，y∈（0，1））]，由题意可知，[0
分析 将基本事件由点[（x，y）]转化为[（x2，y2）]后，落入正方形区域内不是均匀的（不是等可能的）. 若用计算机有关软件来设计程序，画出散点图，可直观显示点[（x2，y2）]是非均匀分布的.
正解 设直角三角形的两直角边分别为[x，y] [（x，y∈（0，1）），]由题意可知，[0
点拨 几何概型在基本事件转化的过程中，不仅要注意基本事件之间的一一对应性，还要符合几何概型的“等可能性”.