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[摘 要] 为了找到既有金融或经济意义，又能够简化Black-Scholes方程的方法或变量代换，本文利用币制替换，引入新的变量，在此新变量下，Black-Scholes方程被极大地简化，相应的边界条件也被给出，同时也指出，再做简单的变量代换可将Black-Scholes方程化为标准的热传导方程。
[关键词] 期权定价 Black-Scholes方程 偏微分方程 币制替换
期权定价问题是金融数学的核心问题之一。其Black-Scholes理论是以Black和Scholes在1973年发表的著名期权定价公式为起点，并经Merton进一步完善和系统化，成为人类使用最频繁的数学工具之一。
求解期权定价的方法之一为偏微分方程法。但对于大多数金融问题，特别是美式期权的定价问题，通常不存在封闭形式的解，因此，求解期权定价问题必须求助于数值解法来求得近似解。当用数值解法求解Black-Scholes方程时，如能简化这个偏微分方程，则能取到简化计算的功效。但在简化偏微分方程的过程中，一般都是利用数学技巧。
源于金融学的偏微分方程——Black-Scholes方程，是否可以依据金融意义进行简化，或简化Black-Scholes方程的数学方法是否有金融意义？本文将利用币制替换，简化Black-Scholes方程。
一、Black-Scholes方程的基本概念
设:市场为完全市场、无套利、无分红、利率为常数；
S为某种基础产品的价格，c为基于S的衍生产品的价格；
c=c(S，t)表示期权在时间t时的价值，它是其标的资产价格S和时间t的函数；
标的资产价格S遵循几何Brown运动:。
μ和σ2分别表示标的资产收益率的瞬时均值和方差；
W为遵循weiner过程的变量，即:，ε～N(0，1)；
无风险收益率(基准利率)为r。
Black-Scholes方程为：
⑴
边界条件为：
欧式买入期权，c(ST，T)=max[0，ST-K]⑵
欧式卖出期权，p(ST，T)=max[0，K-ST]⑶
美式买入期权，c(St，t)≥max[0，St -K]⑷
美式卖出期权，p(St，t)≥max[0，K -St]⑸
其中T、t、K、ST、St、c、p分别为期权到期日、期权执行日、标的资产协议价格、标的资产在期权到期日的价格、标的资产在期权执行日的价格、买入期权的价格、卖出期权的价格。
对欧式买入期权t时刻(购买期权的时刻)的价格为：
c(S，t)=S N(d1)-K e-r (T-t) N(d2)
对欧式卖出期权t时刻(购买期权的时刻)的价格为：
p(S，t)= -SN(-d1)+K e-r(T-t) N(-d2)
其中：
N(d)为标准正态分布的分布函数。
二、币制替换的利用
Black-Scholes方程是考虑标的资产和期权在时间t时的价格，当考虑标的资产和期权在时间T(≥t)时的价格，并利用连续复利，即做变换——币制替换：
Sf= Ser(T-t) 、cf=cer(T-t) ⑹
Sf、cf经济含义分别为连续复利下标的资产S和期权c在时间T时的价格。它们是在时间T时交割标的资产S和期权c的远期和约，或远期买入价，即Sf=Sf(t)、cf= cf(Sf），t。
将变换的Sf、cf替换Black-Scholes方程的S、c，进行计算，得：
代入Black-Scholes方程并化简得：
⑺
边界条件变为：
欧式买入期权，cf(Sf|T,T)=max[0,Sf|T -K]⑻
欧式卖出期权，pf(Sf|T ,T)=max[0,K - Sf|T] ⑼
美式买入期权，cf(Sf|t,t)≥max[0,Sf|t-Ker(T-t)]⑽
美式卖出期权，pf(Sf|t,t)≥max[0,Ker(T-t)-Sf|t] ⑾
其中:cf 、pf的参数为Sf和τ，
Sf|T、Sf|t 分别表示时间为T、t时Sf的值。
再作变换t=-τ时,方程⑺即可化为标准型非线性热传导方程：
⑿
三、结论
为了找到利用有金融或经济意义的方法简化Black-Scholes方程，本文利用了币制替换，即在连续复利下标的资产S和期权c在期权到期时间T时的价格作为新的变量，关于这些新变量的Black-Scholes方程就是原Black-Scholes方程的简化，从而达到简化Black-Scholes方程的目的。这种简化Black-Scholes方程的方法有下列好处：
⑴变量的替换很直观，有明显的金融或经济意义，从而摆脱了纯粹的数学技巧，能使更多的人理解和接受；
⑵简化的方程简单，也含有明显的金融或经济意义；
⑶简化的Black-Scholes方程可很简单地将变量代换化为标准的线性热传导方程，这与“在金融中，很多抛物型方程都可以标准化为热传导方程”相符。
参考文献：
[1]Black, F. and Scholes, M. S., The Pricing of Options and Corporate Liabilities[J], Journal of Political Economy, 1973, 81(3)：637-654;
[2]Merton R. C. , Continuous-Time Finance[M]. Rev. ed. Oxford: Blackwell, 1992
[3]史树中:诺贝尔经济学奖与数学[M]，北京：清华大学出版社，2002
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
[关键词] 期权定价 Black-Scholes方程 偏微分方程 币制替换
期权定价问题是金融数学的核心问题之一。其Black-Scholes理论是以Black和Scholes在1973年发表的著名期权定价公式为起点，并经Merton进一步完善和系统化，成为人类使用最频繁的数学工具之一。
求解期权定价的方法之一为偏微分方程法。但对于大多数金融问题，特别是美式期权的定价问题，通常不存在封闭形式的解，因此，求解期权定价问题必须求助于数值解法来求得近似解。当用数值解法求解Black-Scholes方程时，如能简化这个偏微分方程，则能取到简化计算的功效。但在简化偏微分方程的过程中，一般都是利用数学技巧。
源于金融学的偏微分方程——Black-Scholes方程，是否可以依据金融意义进行简化，或简化Black-Scholes方程的数学方法是否有金融意义？本文将利用币制替换，简化Black-Scholes方程。
一、Black-Scholes方程的基本概念
设:市场为完全市场、无套利、无分红、利率为常数；
S为某种基础产品的价格，c为基于S的衍生产品的价格；
c=c(S，t)表示期权在时间t时的价值，它是其标的资产价格S和时间t的函数；
标的资产价格S遵循几何Brown运动:。
μ和σ2分别表示标的资产收益率的瞬时均值和方差；
W为遵循weiner过程的变量，即:，ε～N(0，1)；
无风险收益率(基准利率)为r。
Black-Scholes方程为：
⑴
边界条件为：
欧式买入期权，c(ST，T)=max[0，ST-K]⑵
欧式卖出期权，p(ST，T)=max[0，K-ST]⑶
美式买入期权，c(St，t)≥max[0，St -K]⑷
美式卖出期权，p(St，t)≥max[0，K -St]⑸
其中T、t、K、ST、St、c、p分别为期权到期日、期权执行日、标的资产协议价格、标的资产在期权到期日的价格、标的资产在期权执行日的价格、买入期权的价格、卖出期权的价格。
对欧式买入期权t时刻(购买期权的时刻)的价格为：
c(S，t)=S N(d1)-K e-r (T-t) N(d2)
对欧式卖出期权t时刻(购买期权的时刻)的价格为：
p(S，t)= -SN(-d1)+K e-r(T-t) N(-d2)
其中：
N(d)为标准正态分布的分布函数。
二、币制替换的利用
Black-Scholes方程是考虑标的资产和期权在时间t时的价格，当考虑标的资产和期权在时间T(≥t)时的价格，并利用连续复利，即做变换——币制替换：
Sf= Ser(T-t) 、cf=cer(T-t) ⑹
Sf、cf经济含义分别为连续复利下标的资产S和期权c在时间T时的价格。它们是在时间T时交割标的资产S和期权c的远期和约，或远期买入价，即Sf=Sf(t)、cf= cf(Sf），t。
将变换的Sf、cf替换Black-Scholes方程的S、c，进行计算，得：
代入Black-Scholes方程并化简得：
⑺
边界条件变为：
欧式买入期权，cf(Sf|T,T)=max[0,Sf|T -K]⑻
欧式卖出期权，pf(Sf|T ,T)=max[0,K - Sf|T] ⑼
美式买入期权，cf(Sf|t,t)≥max[0,Sf|t-Ker(T-t)]⑽
美式卖出期权，pf(Sf|t,t)≥max[0,Ker(T-t)-Sf|t] ⑾
其中:cf 、pf的参数为Sf和τ，
Sf|T、Sf|t 分别表示时间为T、t时Sf的值。
再作变换t=-τ时,方程⑺即可化为标准型非线性热传导方程：
⑿
三、结论
为了找到利用有金融或经济意义的方法简化Black-Scholes方程，本文利用了币制替换，即在连续复利下标的资产S和期权c在期权到期时间T时的价格作为新的变量，关于这些新变量的Black-Scholes方程就是原Black-Scholes方程的简化，从而达到简化Black-Scholes方程的目的。这种简化Black-Scholes方程的方法有下列好处：
⑴变量的替换很直观，有明显的金融或经济意义，从而摆脱了纯粹的数学技巧，能使更多的人理解和接受；
⑵简化的方程简单，也含有明显的金融或经济意义；
⑶简化的Black-Scholes方程可很简单地将变量代换化为标准的线性热传导方程，这与“在金融中，很多抛物型方程都可以标准化为热传导方程”相符。
参考文献：
[1]Black, F. and Scholes, M. S., The Pricing of Options and Corporate Liabilities[J], Journal of Political Economy, 1973, 81(3)：637-654;
[2]Merton R. C. , Continuous-Time Finance[M]. Rev. ed. Oxford: Blackwell, 1992
[3]史树中:诺贝尔经济学奖与数学[M]，北京：清华大学出版社，2002
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文