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教育心理学的学习观强调：解题的任务中必有解题后的思考，思考自己是否已把握与题目有关的知识结构，是否达到了通过练习掌握知识的目的；回忆解题的思维过程、思维关键、与曾经解过的题目有何不同点等；探索还有没有更简洁的思路。我们认为，“回头看”就是建立在逻辑和证据上，拒绝以表面价值接受任何事物，从多层次、多角度对问题及解决问题的思维过程进行全面考察与分析，深化对问题的理解，优化思维过程，揭示问题本质，沟通知识联系，从而产生新发现的过程。
成功解题后的“回头看”是指在解出了数学问题之后，通过对题目特征、解题思路、方法、解题途径等的思考，来进一步揭示数学解题的思维，开发学习者的解题能力，从而促进知识的落实、思维能力的提高。
一、命题意图的“回头看”
例1：化简 -（ ）2
解：∵1-2x≥0，
∴ -( )2
= -( )2
=1-2x-1+2x
=0
对于初学者而言，很容易将 与( )2混为一谈，误认为 =( )2，并且a的取值不够清楚，往往忽视1-2x≥0的条件。通过二次根式性质的回头看，加深了对 与( )2的区别与联系，达到知识的巩固，也学活了知识。
通过对命题意图的“回头看”，不仅有助于学生确定解题思路和方法，简化一些繁琐的解答过程，而且还可以促进学生加深对有关概念、定理等知识的理解和灵活应用，从而达到事半功倍之功效。
二、解题结果的“回头看”
解题后的“回头看”是检验结果是否正确的重要手段，有助于用足隐含条件来纠正错误。解数学题往往会有这样一种现象：对有一些含有附加条件的问题简单易解，但结果却是错误的。原因是什么呢？我认为，大多数人是没有认真审题，没有充分考虑条件中隐含的深层次含义、挖掘所有的内容。所以，解题后要引导思考解答中易错的地方，找出导致错误的原因，扫除或纠正思维中的盲点和错误。
例2：当x=____时，分式（|x|-2）/（x+2）的值为零。
解：要使（|x|-2）/（x+2）的值为零。
则|x|-2=0
∴x=2或x=-2
上述解答结果是错误的，错在什么地方呢？为什么学生经常会这样做呢？其实学生在解题中，考虑不周是常犯的错误，也是对概念理解不透彻造成的，实际上，本题既要考虑分子为零，又要考虑分母不为零。所以，正确的解法为：
解：要使（|x|-2）/（x+2）的值为零
则|x|-2=0 …… （1）x+2≠0 …… （2）
由(1)得x=2或x=-2
而当x=-2时，分母x+2=0
∵分母不为零
∴x≠-2
∴x=2
本例中考查了分式的基本概念，当分式的分母为0时，分式无意义；要使分式有意义，则分母必不为零，这个条件是隐含在题目中，是分式的概念本身必须具备的。现在，考查分式的值为零，则必须同时具备两个条件：（1）分母的值不等于零；（2）分子的值为零，也就是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。因为分母不等于零是题目本身必须满足的，不需要交代。所以，学生在解题中，往往只考虑了|x|-2=0，而x+2≠0是很容易疏忽的，也不易发现。因此，解题后应回头看看结果的正确性，从多角度去考虑、去验证，这是必须的；另一方面可以发现个人的知识和思维方法上的薄弱环节，从而提高解题效率与正确率。
三、解题过程的“回头看”
成功解题后，如果我们能深思其解题过程或程序，有时可能会发现，这种解决问题的思维模式体现了一种重要的思维方法，可以用于解决一些类似的问题；或者认真检查解题过程，能推敲出概念的把握是否准确，所作判断的依据是否充分；或者看解题过程应用了哪些思维方式，哪些过程可以转换、合并、删除等。
例3：已知二次函数y=2x2+4x-6，
（1）求函数图像的顶点坐标及对称轴的方程；
（2）判定方程2x2+4x-6=0有无实数根；
（3）求函数图像与x轴的交点坐标；
（4）分解因式2x2+4x-6；
（5）解不等式2x2+4x-6>0。
解：（1）顶点坐标（-1，-8），对称轴的方程为直线x=-1。
（2）∵b2-4ac=42-4×2×（-6)>0，∴方程有实数根，即x1=-3，x2=1。
（3）令y=0，得2x2+4x-6=0，解得x1=-3，x2=1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0)，（1，0)。
（4）2x2+4x-6=2（x+3)（x-1)。
（5）当x<-3或x>1时，y>0，即不等式2x2+4x-6>0的解为x<-3或x>1。
通过解答此题，从而将二次函数、一元二次方程、二次三项式、一元二次不等式联系起来，拓宽了学生的认知结构，把它们有机地联系起来，比较它们的联系点和区别点，加深了学生对“四个二次”的理解，从而促进它们之间的互相转化。在本题的基础上，将得以再次升华，概括出知识的一般性特征。
①二次函数y=ax2+bx+c右边是一个二次三项式。
②当y=0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)转化为一元二次方程ax2+bx+c=0，解这个方程就是要找出使二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)与x轴的交点的横坐标。
③当y>0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)转化为一元二次不等式ax2+bx+c>0，解这个一元二次不等式可以找出使二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的图像在x轴上方所对应的x的取值范围。
……
通过对解题过程的“回头看”，引导学生进行知识间的横向、纵向联系，使知识网络化。通过以点带线、以线带面的知识间的联系，使知识结构立体化，这样有助于学生的理解、掌握和运用，从而达到深化基础、完善知识结构的目的。
四、解题方法的“回头看”
学习知识重在于应用，应用于实际才能体现数学的价值。在学习中，方法是万能的，只有精通方法，才能解决生活中的疑难问题，只有这样，才能学好数学。
例4：课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：
如图1，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证AB+AD= AC。
小敏反复探索，不得其解。她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题。
（1）如图2，若增加条件：“∠B=∠D”，则可证AB+AD= AC。（请你完成此证明）
（2）受到（1）的启发，若添加如图a所示的辅助线：过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F。（请你补全原问题的证明）
证明：（1）如图2，∵∠B=∠D=90°，∠CAB=∠CAD=30°
∴AB= AC，AD= AC
∴AB+AD= AC
（2）由（1）知，AE+AF= AC
∵AC为角平分线，CF丄AD，CE丄AB
∴CE=CF
而∠ABC与∠D互补，∠ABC与∠CBE也互补，
∴∠D=∠CBE
∴Rt△CDF≌Rt△CBE
∴DF=BE
∴AB+AD=AB+（AF+FD)=（AE+BE)+AF=AE+AF= AC
通过对例题的分析，符合了认知的过程，从特殊出发，进行推理或判断，再对一般情形作出猜想或判断，自始至终渗透了数学思想和方法。只有在（1）中深刻思考、充分理解的前提下，去寻找它们特殊和一般的必然联系，形成解题的思路。从而拓宽学生的眼界，优化思维方法，发挥学生的自身潜能，培养学生的创新意识和创新能力。
五、问题本质的“回头看”
例5：如图3，在△ABC中，AD为BC边上中线，E是AD上一点，且 = ，CE的延长线交AB于F，求证= = 。
通过本例的学习，不仅是通过引平行线，构造“X”型或“A”型的相似三角形基本图形，从而使问题解决的思想方法；还要对本题有更加深刻的理解，将题目进行变形，从变题中更深刻理解此类题目。
变式1：将条件“ = ”改为下列情形（其余条件均不变），分别求 的值。
（1） = ；（2） =
你能从中发现什么规律？请写出来，并进行证明。
分析：求解方法同例5，可得
（1）当 = 时，有 =
（2）当 = 时，有 =
规律：当D是BC边上的中点，且 = 时，则有 = （n为正整数)。
变式2：将条件“ = ”与结论“ = ”互换，命题成立吗？你又能从中发现什么规律？请写出来。
分析：命题成立。
如图4，过D作DG//CF，交AB于G，由D是BC的中点，则G是BF的中点，又 = ，故F是AG的中点，从而得E是AD的中点，结论得证。
规律：当D是BC边上的中点，且 = 时，有 = （m为正整数)。
证明：如图4，过D作DG//CF交AB于G，由D是BC边上的中点，则G是BF的中点。
由 = ，得 = ，从而得 = 。
所以， = ，故 = 。
变式3：将条件“AD为BC边上中线”与结论“ = ”互换，命题成立吗？你又能从中发现什么规律？请写出来。
分析：命题成立。
如图4，过D作DG//CF，交AB于G，由 = ，得 = ，又 = ，则G是BF的中点，从而得D是BC的中点，结论得证。
规律：当 = ， = 时，有 = （其中m，n为正整数，且m>n>1）。
证明：如图4，过D作DG//CF，交AB于G，
由 = ，得 = ，故 = 。
由 = ，得 = ，从而得 =
∴ =
∴ =
通过解题后的“回头看”，从不同角度去思考、观察、联想，实现一题多变，举一反三，可使学生抓住问题的本质，从中寻找它们之间的内在联系，探索出一般规律，从而提高学生的思维品质。
综上所述，解题后的“回头看”，一方面能使学生巩固所学的知识，有利于知识结构的形成；另一方面能使学生学会审题，学会检查，学会多角度思考，有利于培养学生思维的灵活性、广阔性、创造性，从而大大地提高解题能力；再一方面，也可以培养学生的责任心，对形成一个人的健全人格和品质也具有积极意义。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
成功解题后的“回头看”是指在解出了数学问题之后，通过对题目特征、解题思路、方法、解题途径等的思考，来进一步揭示数学解题的思维，开发学习者的解题能力，从而促进知识的落实、思维能力的提高。
一、命题意图的“回头看”
例1：化简 -（ ）2
解：∵1-2x≥0，
∴ -( )2
= -( )2
=1-2x-1+2x
=0
对于初学者而言，很容易将 与( )2混为一谈，误认为 =( )2，并且a的取值不够清楚，往往忽视1-2x≥0的条件。通过二次根式性质的回头看，加深了对 与( )2的区别与联系，达到知识的巩固，也学活了知识。
通过对命题意图的“回头看”，不仅有助于学生确定解题思路和方法，简化一些繁琐的解答过程，而且还可以促进学生加深对有关概念、定理等知识的理解和灵活应用，从而达到事半功倍之功效。
二、解题结果的“回头看”
解题后的“回头看”是检验结果是否正确的重要手段，有助于用足隐含条件来纠正错误。解数学题往往会有这样一种现象：对有一些含有附加条件的问题简单易解，但结果却是错误的。原因是什么呢？我认为，大多数人是没有认真审题，没有充分考虑条件中隐含的深层次含义、挖掘所有的内容。所以，解题后要引导思考解答中易错的地方，找出导致错误的原因，扫除或纠正思维中的盲点和错误。
例2：当x=____时，分式（|x|-2）/（x+2）的值为零。
解：要使（|x|-2）/（x+2）的值为零。
则|x|-2=0
∴x=2或x=-2
上述解答结果是错误的，错在什么地方呢？为什么学生经常会这样做呢？其实学生在解题中，考虑不周是常犯的错误，也是对概念理解不透彻造成的，实际上，本题既要考虑分子为零，又要考虑分母不为零。所以，正确的解法为：
解：要使（|x|-2）/（x+2）的值为零
则|x|-2=0 …… （1）x+2≠0 …… （2）
由(1)得x=2或x=-2
而当x=-2时，分母x+2=0
∵分母不为零
∴x≠-2
∴x=2
本例中考查了分式的基本概念，当分式的分母为0时，分式无意义；要使分式有意义，则分母必不为零，这个条件是隐含在题目中，是分式的概念本身必须具备的。现在，考查分式的值为零，则必须同时具备两个条件：（1）分母的值不等于零；（2）分子的值为零，也就是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。因为分母不等于零是题目本身必须满足的，不需要交代。所以，学生在解题中，往往只考虑了|x|-2=0，而x+2≠0是很容易疏忽的，也不易发现。因此，解题后应回头看看结果的正确性，从多角度去考虑、去验证，这是必须的；另一方面可以发现个人的知识和思维方法上的薄弱环节，从而提高解题效率与正确率。
三、解题过程的“回头看”
成功解题后，如果我们能深思其解题过程或程序，有时可能会发现，这种解决问题的思维模式体现了一种重要的思维方法，可以用于解决一些类似的问题；或者认真检查解题过程，能推敲出概念的把握是否准确，所作判断的依据是否充分；或者看解题过程应用了哪些思维方式，哪些过程可以转换、合并、删除等。
例3：已知二次函数y=2x2+4x-6，
（1）求函数图像的顶点坐标及对称轴的方程；
（2）判定方程2x2+4x-6=0有无实数根；
（3）求函数图像与x轴的交点坐标；
（4）分解因式2x2+4x-6；
（5）解不等式2x2+4x-6>0。
解：（1）顶点坐标（-1，-8），对称轴的方程为直线x=-1。
（2）∵b2-4ac=42-4×2×（-6)>0，∴方程有实数根，即x1=-3，x2=1。
（3）令y=0，得2x2+4x-6=0，解得x1=-3，x2=1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0)，（1，0)。
（4）2x2+4x-6=2（x+3)（x-1)。
（5）当x<-3或x>1时，y>0，即不等式2x2+4x-6>0的解为x<-3或x>1。
通过解答此题，从而将二次函数、一元二次方程、二次三项式、一元二次不等式联系起来，拓宽了学生的认知结构，把它们有机地联系起来，比较它们的联系点和区别点，加深了学生对“四个二次”的理解，从而促进它们之间的互相转化。在本题的基础上，将得以再次升华，概括出知识的一般性特征。
①二次函数y=ax2+bx+c右边是一个二次三项式。
②当y=0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)转化为一元二次方程ax2+bx+c=0，解这个方程就是要找出使二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)与x轴的交点的横坐标。
③当y>0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)转化为一元二次不等式ax2+bx+c>0，解这个一元二次不等式可以找出使二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的图像在x轴上方所对应的x的取值范围。
……
通过对解题过程的“回头看”，引导学生进行知识间的横向、纵向联系，使知识网络化。通过以点带线、以线带面的知识间的联系，使知识结构立体化，这样有助于学生的理解、掌握和运用，从而达到深化基础、完善知识结构的目的。
四、解题方法的“回头看”
学习知识重在于应用，应用于实际才能体现数学的价值。在学习中，方法是万能的，只有精通方法，才能解决生活中的疑难问题，只有这样，才能学好数学。
例4：课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：
如图1，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证AB+AD= AC。
小敏反复探索，不得其解。她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题。
（1）如图2，若增加条件：“∠B=∠D”，则可证AB+AD= AC。（请你完成此证明）
（2）受到（1）的启发，若添加如图a所示的辅助线：过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F。（请你补全原问题的证明）
证明：（1）如图2，∵∠B=∠D=90°，∠CAB=∠CAD=30°
∴AB= AC，AD= AC
∴AB+AD= AC
（2）由（1）知，AE+AF= AC
∵AC为角平分线，CF丄AD，CE丄AB
∴CE=CF
而∠ABC与∠D互补，∠ABC与∠CBE也互补，
∴∠D=∠CBE
∴Rt△CDF≌Rt△CBE
∴DF=BE
∴AB+AD=AB+（AF+FD)=（AE+BE)+AF=AE+AF= AC
通过对例题的分析，符合了认知的过程，从特殊出发，进行推理或判断，再对一般情形作出猜想或判断，自始至终渗透了数学思想和方法。只有在（1）中深刻思考、充分理解的前提下，去寻找它们特殊和一般的必然联系，形成解题的思路。从而拓宽学生的眼界，优化思维方法，发挥学生的自身潜能，培养学生的创新意识和创新能力。
五、问题本质的“回头看”
例5：如图3，在△ABC中，AD为BC边上中线，E是AD上一点，且 = ，CE的延长线交AB于F，求证= = 。
通过本例的学习，不仅是通过引平行线，构造“X”型或“A”型的相似三角形基本图形，从而使问题解决的思想方法；还要对本题有更加深刻的理解，将题目进行变形，从变题中更深刻理解此类题目。
变式1：将条件“ = ”改为下列情形（其余条件均不变），分别求 的值。
（1） = ；（2） =
你能从中发现什么规律？请写出来，并进行证明。
分析：求解方法同例5，可得
（1）当 = 时，有 =
（2）当 = 时，有 =
规律：当D是BC边上的中点，且 = 时，则有 = （n为正整数)。
变式2：将条件“ = ”与结论“ = ”互换，命题成立吗？你又能从中发现什么规律？请写出来。
分析：命题成立。
如图4，过D作DG//CF，交AB于G，由D是BC的中点，则G是BF的中点，又 = ，故F是AG的中点，从而得E是AD的中点，结论得证。
规律：当D是BC边上的中点，且 = 时，有 = （m为正整数)。
证明：如图4，过D作DG//CF交AB于G，由D是BC边上的中点，则G是BF的中点。
由 = ，得 = ，从而得 = 。
所以， = ，故 = 。
变式3：将条件“AD为BC边上中线”与结论“ = ”互换，命题成立吗？你又能从中发现什么规律？请写出来。
分析：命题成立。
如图4，过D作DG//CF，交AB于G，由 = ，得 = ，又 = ，则G是BF的中点，从而得D是BC的中点，结论得证。
规律：当 = ， = 时，有 = （其中m，n为正整数，且m>n>1）。
证明：如图4，过D作DG//CF，交AB于G，
由 = ，得 = ，故 = 。
由 = ，得 = ，从而得 =
∴ =
∴ =
通过解题后的“回头看”，从不同角度去思考、观察、联想，实现一题多变，举一反三，可使学生抓住问题的本质，从中寻找它们之间的内在联系，探索出一般规律，从而提高学生的思维品质。
综上所述，解题后的“回头看”，一方面能使学生巩固所学的知识，有利于知识结构的形成；另一方面能使学生学会审题，学会检查，学会多角度思考，有利于培养学生思维的灵活性、广阔性、创造性，从而大大地提高解题能力；再一方面，也可以培养学生的责任心，对形成一个人的健全人格和品质也具有积极意义。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”