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阅读理解是近年来中考试题中出现的新题型. 解决此类问题的关键是认真仔细地阅读材料，弄清材料中所隐含的数学知识、提示的数学规律或暗示的新的解题方法，然后展开联想，将获得的新知识、新方法进行建模迁移.
常见的主要题型有：
（1） 判断概括型，即阅读所给的范例推出一般的结论；
（2） 模拟方法型，即通过阅读解题过程总结解题规律、方法；
（3） 知识迁移型，即阅读新知识，研究新问题，并运用新知识解决问题.
例1 （2011贵州贵阳）［阅读］在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)为端点的线段中点坐标为x1+x22,y1+y22.
图1
［运用］
（1） 如图1，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4,3)，则点M的坐标为 ；
（2） 在直角坐标系中，有A(-1,2)，B(3,1)，C(1,4)三点，另有一点D与A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标.
分析 （1） 根据矩形的对角线互相平分及点O、E的坐标，利用中点坐标公式，可以求出M点的坐标；（2） 点D与A、B、C构成平行四边形可分为ACBD′、ABCD″、ABDC三类.如图2根据平行四边形的对角线互相平分，可求出AB中点的坐标，再由C点的坐标,利用中点坐标公式，便可求出点D′的坐标，同样的方法可求出其余两种情况下点D的坐标.
解析 （1） 如图1, ∵ x1+x22,y1+y22
图2
=4+02=2，y1+y22=3+02=1.5，∴ M点的坐标为（2，1.5）.
（2） 如图2，线段AB的中点坐标为-1+32,2+12，即（1，1.5），根据平行四边形的对角线互相平分可知，CD′的中点坐标也为（1，1.5），设D′的坐标为（x,y），所以1=x+12，得x=1，1.5=y+42，得y＝-1，故D′（1，-1）；同理可得D″（-3，5），D（5，3）.
点评 本题考查了矩形和平行四边形的一个性质——对角线互相平分，比较简单.解题关键是通过阅读熟练掌握已知两点求其中点坐标的方法及正确应用分类讨论的思想.
例2 （2011湖北十堰）请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为y，则y＝2x.所以x＝y2.
把x＝y2代入已知方程，得y22+y2-1=0.
化简，得y2+2y-4=0.
故所求方程为y2+2y-4=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）
（1） 已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 .
（2） 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.
分析 （1） 根据所作方程的根与原方程的根互为相反数，可设y＝-x，得x=-y，代入方程进行化简；（2） 根据所作方程的根与原方程的根互为例数，可设y＝1x,得x=1y,代入整理化简.
解析 （1） 设所求方程的根为y，则y＝-x.所以x＝-y，将x=-y代入已知方程，得(-y)2+(-y)-2=0,即y2-y-2=0，故所求方程为y2-y-2=0.
（2） 设所求方程的根为y，则y＝1x(x≠0),所以x=1y(y≠0)，把x=1y代入ax2+bx+c=0(a≠0)中，整理，得cy2+by+a=0，由于ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，所以c≠0，故所求一元二次方程为cy2+by+a=0（c≠0）.
点评 此类题目不难，解决此类题的关键就是根据根的关系巧妙地进行换元，然后代入化简.
例3 （2011山东青岛）问题提出：
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”，就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N＞0，则M＞N；若M-N=0，则M=N；若M-N＜0，则M＜N.
图3
问题解决：如图3，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.
解：由图3可知，M=a2+b2，N=2ab.∴ M-N=a2+b2-2ab=（a-b）2.∵ a≠b，∴ （a-b）2＞0.∴ M-N＞0，即M＞N.
类比应用：（1） 已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为a+b2元/千克和2aba+b元/千克（a、b是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低.
（2） 试比较图4和图5中两个矩形周长M1、N1的大小（b＞c）.
联系拓广：小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图6所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图7、图8、图9三种方法进行捆扎，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由.
分析 通过阅读得到启发.应用（1）首先求出两式之差，然后看差是大于零、等于零还是小于零.
a+b2-2aba+b=(a+b)2-4ab2(a+b)=(a-b)22(a+b)，进而比较得出大小关系；（2） 由图形表示出M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，N1=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c，求出两者之差即可进行比较大小；对于联系拓广中的问题，可分别表示出图7的捆扎绳长、图8的捆扎绳长和图9的捆扎绳长，进而表示出它们之间的差，即可得出大小关系. 解析 （1） a+b2-2aba+b=（a+b）2-4ab2（a+b）=（a-b）22（a+b），∵ a、b是正数，且a≠b，∴ (a-b)2＞0, 即(a-b)22(a+b)＞0，∴ a+b2>2aba+b. ∴ 小丽所购买商品的平均价格比小颖的高.
（2） 由图4、图5可知，M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，N1=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c，∴ M1-N1=2a+4b+2c-（2a+2b+4c）=2（b-c），∵ b＞c，∴ 2（b-c）＞0，
即M1-N1＞0，M1＞N1，∴ 第一个矩形大于第二个矩形的周长.
设图7的捆扎绳长为L1，则L1=4（c+a）+4(c+b)=4a+4b+8c；
设图8的捆扎绳长为L2，则L2=2(c+a)+2(c+b)+2(a+b)=4a+4b+4c；
设图9的捆扎绳长为L3，则L3=4(a+c)+2(c+b)+2(a+b)=6a+4b+6c.
∵ L1-L2=4a+4b+8c-（4a+4b+4c）=4c＞0，∴ L1＞L2.
∵ L3-L2=6a+4b+6c-（4a+4b+4c）=2a+2c＞0，∴ L3＞L2.
∵ L3-L1=6a+4b+6c-（4a+4b+8c）=2（a-c），a＞c，∴ 2（a-c）＞0，∴ L3＞L1.
故L3＞ L1＞L2.∴ 第二种方法用绳最短，第三种方法用绳最长.
点评 此题主要考查了整式、分式的混合运算以及不等式的性质，根据已知表示出绳长，再利用绳长之差比较是解决问题的关键.
例4 （2011北京）阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题，如图10（1），在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可.他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE.即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形，如图10（2）.
参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：
如图10（3），△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF.
图10（1）
图10（2）
图10（3）
（1） 在图10（3）中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2） 若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于34.
图10（4）
分析 如图10（2），根据平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性质知△ADB与△ADC的面积相等，即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积；也可根据梯形的面积计算公式进行转化.如图10（4），（1） 作FP∥BE且FP=BE，连接PC，得到的△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形.（2） 结合平行四边形的性质及等底等高三角形面积相等，知以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的34.
解析 设梯形ABCD的高为h.如图10（2），由作图可知，四边形ACED为平行四边形，所以，AD=CE.
S梯形ABCD=（AD+BC）·h2=(CE+BC)·h2=BE·h2=S△BED=1,△BDE的面积等于1.
（1） 如图10（4），作FP∥BE且FP=BE，连接PC、PE、PA、EF，∴ 四边形BEPF为平行四边形，∴ PE∥AB，PE=BF=AF，∴ 四边形PEFA也为平行四边形，∴ PA∥EF∥BC，PA=EF=DC，故四边形PCDA为平行四边形，PC=AD，△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形.
（2） 由E、F分别是AC、AB的中点，EF∥BC，EF=12BC，∴ △AEF∽△ACB，从而S△AEF=14S△ABC=14，∵ 四边形APEF为平行四边形，∴ S△AEF=S△AEP=14，又E是AC的中点，∴ S△PEC=S△AEP=14，同理S△PEF=S△CEF=14，所以，以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于S△PFC=14+14+14=34.
点评 ① 当题目出现两个或两个以上的中点时，常考虑三角形的中位线定理；② 本题还重点考查相似三角形的性质、平行四边形的性质及判定、平行四边形对角线将面积平分及等底（同底）等高的三角形面积相等等结论.
常见的主要题型有：
（1） 判断概括型，即阅读所给的范例推出一般的结论；
（2） 模拟方法型，即通过阅读解题过程总结解题规律、方法；
（3） 知识迁移型，即阅读新知识，研究新问题，并运用新知识解决问题.
例1 （2011贵州贵阳）［阅读］在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)为端点的线段中点坐标为x1+x22,y1+y22.
图1
［运用］
（1） 如图1，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4,3)，则点M的坐标为 ；
（2） 在直角坐标系中，有A(-1,2)，B(3,1)，C(1,4)三点，另有一点D与A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标.
分析 （1） 根据矩形的对角线互相平分及点O、E的坐标，利用中点坐标公式，可以求出M点的坐标；（2） 点D与A、B、C构成平行四边形可分为ACBD′、ABCD″、ABDC三类.如图2根据平行四边形的对角线互相平分，可求出AB中点的坐标，再由C点的坐标,利用中点坐标公式，便可求出点D′的坐标，同样的方法可求出其余两种情况下点D的坐标.
解析 （1） 如图1, ∵ x1+x22,y1+y22
图2
=4+02=2，y1+y22=3+02=1.5，∴ M点的坐标为（2，1.5）.
（2） 如图2，线段AB的中点坐标为-1+32,2+12，即（1，1.5），根据平行四边形的对角线互相平分可知，CD′的中点坐标也为（1，1.5），设D′的坐标为（x,y），所以1=x+12，得x=1，1.5=y+42，得y＝-1，故D′（1，-1）；同理可得D″（-3，5），D（5，3）.
点评 本题考查了矩形和平行四边形的一个性质——对角线互相平分，比较简单.解题关键是通过阅读熟练掌握已知两点求其中点坐标的方法及正确应用分类讨论的思想.
例2 （2011湖北十堰）请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为y，则y＝2x.所以x＝y2.
把x＝y2代入已知方程，得y22+y2-1=0.
化简，得y2+2y-4=0.
故所求方程为y2+2y-4=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）
（1） 已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 .
（2） 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.
分析 （1） 根据所作方程的根与原方程的根互为相反数，可设y＝-x，得x=-y，代入方程进行化简；（2） 根据所作方程的根与原方程的根互为例数，可设y＝1x,得x=1y,代入整理化简.
解析 （1） 设所求方程的根为y，则y＝-x.所以x＝-y，将x=-y代入已知方程，得(-y)2+(-y)-2=0,即y2-y-2=0，故所求方程为y2-y-2=0.
（2） 设所求方程的根为y，则y＝1x(x≠0),所以x=1y(y≠0)，把x=1y代入ax2+bx+c=0(a≠0)中，整理，得cy2+by+a=0，由于ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，所以c≠0，故所求一元二次方程为cy2+by+a=0（c≠0）.
点评 此类题目不难，解决此类题的关键就是根据根的关系巧妙地进行换元，然后代入化简.
例3 （2011山东青岛）问题提出：
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”，就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N＞0，则M＞N；若M-N=0，则M=N；若M-N＜0，则M＜N.
图3
问题解决：如图3，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.
解：由图3可知，M=a2+b2，N=2ab.∴ M-N=a2+b2-2ab=（a-b）2.∵ a≠b，∴ （a-b）2＞0.∴ M-N＞0，即M＞N.
类比应用：（1） 已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为a+b2元/千克和2aba+b元/千克（a、b是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低.
（2） 试比较图4和图5中两个矩形周长M1、N1的大小（b＞c）.
联系拓广：小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图6所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图7、图8、图9三种方法进行捆扎，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由.
分析 通过阅读得到启发.应用（1）首先求出两式之差，然后看差是大于零、等于零还是小于零.
a+b2-2aba+b=(a+b)2-4ab2(a+b)=(a-b)22(a+b)，进而比较得出大小关系；（2） 由图形表示出M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，N1=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c，求出两者之差即可进行比较大小；对于联系拓广中的问题，可分别表示出图7的捆扎绳长、图8的捆扎绳长和图9的捆扎绳长，进而表示出它们之间的差，即可得出大小关系. 解析 （1） a+b2-2aba+b=（a+b）2-4ab2（a+b）=（a-b）22（a+b），∵ a、b是正数，且a≠b，∴ (a-b)2＞0, 即(a-b)22(a+b)＞0，∴ a+b2>2aba+b. ∴ 小丽所购买商品的平均价格比小颖的高.
（2） 由图4、图5可知，M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，N1=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c，∴ M1-N1=2a+4b+2c-（2a+2b+4c）=2（b-c），∵ b＞c，∴ 2（b-c）＞0，
即M1-N1＞0，M1＞N1，∴ 第一个矩形大于第二个矩形的周长.
设图7的捆扎绳长为L1，则L1=4（c+a）+4(c+b)=4a+4b+8c；
设图8的捆扎绳长为L2，则L2=2(c+a)+2(c+b)+2(a+b)=4a+4b+4c；
设图9的捆扎绳长为L3，则L3=4(a+c)+2(c+b)+2(a+b)=6a+4b+6c.
∵ L1-L2=4a+4b+8c-（4a+4b+4c）=4c＞0，∴ L1＞L2.
∵ L3-L2=6a+4b+6c-（4a+4b+4c）=2a+2c＞0，∴ L3＞L2.
∵ L3-L1=6a+4b+6c-（4a+4b+8c）=2（a-c），a＞c，∴ 2（a-c）＞0，∴ L3＞L1.
故L3＞ L1＞L2.∴ 第二种方法用绳最短，第三种方法用绳最长.
点评 此题主要考查了整式、分式的混合运算以及不等式的性质，根据已知表示出绳长，再利用绳长之差比较是解决问题的关键.
例4 （2011北京）阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题，如图10（1），在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可.他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE.即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形，如图10（2）.
参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：
如图10（3），△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF.
图10（1）
图10（2）
图10（3）
（1） 在图10（3）中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2） 若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于34.
图10（4）
分析 如图10（2），根据平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性质知△ADB与△ADC的面积相等，即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积；也可根据梯形的面积计算公式进行转化.如图10（4），（1） 作FP∥BE且FP=BE，连接PC，得到的△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形.（2） 结合平行四边形的性质及等底等高三角形面积相等，知以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的34.
解析 设梯形ABCD的高为h.如图10（2），由作图可知，四边形ACED为平行四边形，所以，AD=CE.
S梯形ABCD=（AD+BC）·h2=(CE+BC)·h2=BE·h2=S△BED=1,△BDE的面积等于1.
（1） 如图10（4），作FP∥BE且FP=BE，连接PC、PE、PA、EF，∴ 四边形BEPF为平行四边形，∴ PE∥AB，PE=BF=AF，∴ 四边形PEFA也为平行四边形，∴ PA∥EF∥BC，PA=EF=DC，故四边形PCDA为平行四边形，PC=AD，△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形.
（2） 由E、F分别是AC、AB的中点，EF∥BC，EF=12BC，∴ △AEF∽△ACB，从而S△AEF=14S△ABC=14，∵ 四边形APEF为平行四边形，∴ S△AEF=S△AEP=14，又E是AC的中点，∴ S△PEC=S△AEP=14，同理S△PEF=S△CEF=14，所以，以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于S△PFC=14+14+14=34.
点评 ① 当题目出现两个或两个以上的中点时，常考虑三角形的中位线定理；② 本题还重点考查相似三角形的性质、平行四边形的性质及判定、平行四边形对角线将面积平分及等底（同底）等高的三角形面积相等等结论.