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摘要：源于教材的数学探究活动的实施策略有：由教师提出问题到学生提出问题；让学生对知识、方法进行类比迁移；让学生在自主探究的基础上合作交流。源于教材的数学探究资源的选材原则包括趣味性、挑战性和发展性。由此，可以分“典型探究案例”与“探究活动资源”两部分架构“源于教材的数学探究资源库”。
关键词：数学探究课程资源教材内容实施策略选材原则
建设促进高中生数学探究的课程资源库，能够积累更多的数学探究素材，让学生有更多的机会开展数学探究活动。为此，我们从融入课堂的数学探究资源库建设、源于教材的数学探究资源库建设、依托研究性学习的数学探究资源库建设三个方面展开研究。
为了研究源于教材的数学探究资源库建设，我们结合高中数学教材中的相关内容（可以是教材中的定理或性质，也可以是教材中的例题或习题），提出一系列具体的数学问题，指导学生开展有意义、有价值的数学探究活动；同时，我们还鼓励学生从教材中的相关内容出发，自主设计数学问题，开展数学探究活动。在此基础上，我们经历了“实践→反思→提炼”的过程，逐步形成了“源于教材的数学探究活动的实施策略”“源于教材的数学探究资源的选材原则”，架构了“源于教材的数学探究资源库”。
一、源于教材的数学探究活动的实施策略
（一）由教師提出问题到学生提出问题
数学探究活动“具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论”。可见，“发现和提出有意义的数学问题”是学生开展数学探究活动的起点。因此，教师不仅要提出问题，让学生开展数学探究活动；而且要引导学生用好奇的态度、质疑的精神面对所学的内容，进而让学生自主地提出问题，确立探究主题。
例如，学习了“直线和圆的位置关系”后，教师出示苏教版高中数学必修2习题2.2（2）第11题，作为背景，引导学生开展数学探究活动。
背景已知圆C的方程是x2+y2=r2，求证：经过圆C上一点M（x0，y0）的切线方程是x0x+y0y=r2。
解决了这个问题后，教师启发学生：“受这个问题启发，你还能提出哪些问题？”通过师生交流和生生交流，促使学生提出问题：首先，将圆的方程由特殊推广到一般，提出探究1问题；其次，考虑点M的位置变化，提出探究2问题和探究3问题；最后，类似地将探究2问题和探究3问题中的圆的方程由特殊推广到一般，提出探究4问题和探究5问题。
探究1已知点M（x0，y0）是圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2上一点，求经过点M的圆C的切线方程。
探究2已知点M（x0，y0）是圆C：x2+y2=r2外一点，求方程x0x+y0y=r2所表示的几何意义。
探究3已知点M（x0，y0）是圆C：x2+y2=r2内一点，求方程x0x+y0y=r2所表示的几何意义。
探究4已知点M（x0，y0）是圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2外一点，求方程（x-a）（x0-a）+（y-b）（y0-b）=r2所表示的几何意义。
探究5已知点M（x0，y0）是圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2内一点，求方程（x-a）（x0-a）+（y-b）（y0-b）=r2所表示的几何意义。
这里，数学探究活动最初源自教师的提问。然后，教师通过“你还能提出哪些问题”的引导，唤醒学生的好奇态度、质疑精神以及创新意识，从而实现由教师提出问题、学生被动地开展数学探究活动到学生提出问题、主动地开展数学探究活动的转变。
（二）让学生对知识、方法进行类比迁移
开展数学探究活动，不仅要促进学生深刻地理解领会所学的知识，掌握知识背后所蕴含的数学思想方法，而且要帮助学生形成探究习惯、发展探究能力，从整体上把握数学知识与方法。为此，最有效的方法是，让学生对知识、方法进行类比迁移。
例如，学习了“直线和椭圆的位置关系”后，教师让学生回顾上述关于圆的切线方程的探究，将圆的切线的相关问题（及结论）类比迁移到椭圆的切线中，从而提出探究6问题和探究7问题，开展探究活动。
探究6 已知点M（x0，y0）是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点，求经过点M的椭圆C的切线方程。
探究7已知点M（x0，y0）是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）外一点，求方程xx0a2+yy0b2=1所表示的几何意义。
此外，学习了双曲线和抛物线的内容后，教师同样可以让学生提出类似的问题，开展探究活动。
在这样的数学探究活动中，学生可以从已有的问题和结论出发，发现、提出新的问题，并且通过分析、解决新的问题，猜想、论证新的结论，从而实现知识、方法的类比迁移，同时提升创新意识。
（三）让学生在自主探究的基础上合作交流
数学探究活动是以发现、提出有意义的数学问题为起点，以分析、解决相应的问题为目标。在探究活动中，学生的认识与思考会产生很多差异和不足。教师首先要让学生通过自主探究，形成个性化的问题以及分析思路和解决策略；然后要让学生通过合作交流，全面、深刻地认识所探究的数学问题，学会从不同的角度展开思考。
例如，提出了上述探究2问题后，教师让学生在独立探究的基础上合作交流。由此，学生不仅得到了以下正确的结论，而且给出了5种不同的证法。
结论由圆外的点M（x0，y0）向圆C：x2+y2=r2引两条切线MA、MB（A、B为切点），则方程x0x+y0y=r2表示直线AB。
证法1设点A（x1，y1）、B（x2，y2），可知直线AM：x1x+y1y=r2，BM：x2x+y2y=r2。因为点M（x0，y0）同时在直线AM和BM上，所以x1x0+y1y0=r2，x2x0+y2y0=r2。由这两式分别可知点A、B在直线x0x+y0y=r2上。又两点确定一条直线，所以直线AB：x0x+y0y=r2。 证法2如图1，连接OM、OA，设点A（x1，y1）。
因为OM⊥AB，所以OM为直线AB的法向量，于是可设直线AB：x0x+y0y+c=0①。因为点A在直线AB上，所以x0x1+y0y1+c=0②。
因为OA⊥AM，所以OA2+AM2=OM2，即x21+y21+（x0-x1）2+（y0-y1）2=x20+y20，即x0x1+y0y1=x21+y21。又x21+y21=r2，所以x0x1+y0y1=r2③。
把③代入②，得c=-r2；再将该式代入①，得直线AB：x0x+y0y=r2。
证法3如图1，连接OM，设点A（x1，y1）。
以O为圆心、OM为半径作圆，以M为切点作该圆的切线l，则直线l：x0x+y0y=x20+y20。因为OM⊥AB，OM⊥l，所以AB∥l，于是可设直线AB：x0x+y0y+c=0①。因为点A在直线AB上，所以x0x1+y0y1+c=0②。
因为直线AM：x1x+y1y=r2，点M在直线AM上，所以x1x0+y1y0=r2③。
把③代入②，得c=-r2；再将该式代入①，得直线AB：x0x+y0y=r2。
证法4如图2，连接OM、OA，在直线AB上任取一点Q（x，y），连接OQ。设AB交OM于点T。
因为OM⊥AB于点T，所以OM·OQ=|OM||OQ|cos∠QOT=|OM||OT|。在Rt△OAM中，由射影定理，得|OM||OT|=|OA|2=r2①。
另外，OM·OQ=（x0，y0）·（x，y）=x0x+y0y②。
由①②可知直线AB：x0x+y0y=r2。
证法5如图2，连接OM、OA，在直线AB上任取一点Q（x，y），连接OQ。设点A（x1，y1）。
因为OM⊥AB，所以OM·AQ=0，即（x0，y0）·（x-x1，y-y1）=x0x-x0x1+y0y-y0y1=0，所以x0x+y0y=x0x1+y0y1①。
因为直线AM：x1x+y1y=r2，点M在直线AM上，所以x1x0+y1y0=r2②。
由①②可得直线AB：x0x+y0y=r2。
以上證法1直接利用代数形式所表示的几何本质，最为经典、简捷；证法2和证法3利用垂直关系设出直线AB的方程，再利用相切条件求出其中的参数，只是设直线方程和求参数的推理过程略有不同；证法4和证法5引入向量的数量积运算，利用不同的向量寻找等量关系，得到同样的直线方程。从不同的角度对问题展开探究，不仅充分调动了学生运用已有的知识和方法解决新问题的积极性，而且拓宽了学生的认知视角，提升了学生的思维灵活性，同时培养了学生的实践能力与创新精神。
二、源于教材的数学探究资源的选材原则
（一）趣味性原则
“兴趣是最好的老师。”一旦学生对新知识、新方法充满了求知欲，对客观世界、未知世界充满了好奇心，那么其学习的热情与探究的活力将被点燃。为此，教师需要多一份儿童心态，从学生的角度出发，用稍显“稚嫩”的眼光，发现、建立那些能够激发学生求知欲和好奇心的有趣的探究资源。
例如，学习了“椭圆的概念”，建立了“椭圆的标准方程”，初步了解了椭圆的“参数方程”后，教师梳理苏教版高中数学教材给出的线索，播放网络视频《椭圆的多种画法》，让学生探究椭圆各种画法的数学原理。
教材中给出的线索有：（1）选修2-1第28页“椭圆的第一定义”；（2）选修2-1第27页“椭圆的产生”（平面截圆锥面和Dandelin双球）；（3）选修2-1第33页操作题“折纸包络”；（4）选修2-1第64页阅读题“猫的运动轨迹与达·芬奇椭圆仪”；（5）选修4-4第53页阅读栏目“摆线”。
视频中呈现的画法有：（1）如图3，用绳圈套住两个固定的桩子和一支活动的铅笔，绷紧后让铅笔在纸上绕圈；（2）如图4，用一个有斜槽的圆盘约束一支可伸缩的铅笔（斜槽在圆盘的边缘且其投影经过圆盘的中心），让圆盘在平面内绕中心旋转，让铅笔在下方斜放的纸上绕圈；（3）如图5，用点光源斜照一个不透明的球体，沿着阴影的边缘画；（4）如图6，用达·芬奇椭圆仪画；（5）如图7，让一个动圆在一个定圆内滚动（动圆的半径是定圆的一半），画出短幅内摆线；（6）如图8，让一个平行四边形的两条邻边绕它们的共同顶点分别沿顺时针方向和逆时针方向旋转，带动相对的顶点画出运动轨迹；（7）如图9，让一个单摆在竖直平面内摆动，同时让其下端在水平平面内旋转（画圆）。
这些生动的画面和神奇的画法让学生觉得非常有趣，极大地激发了学生的求知欲和好奇心，使学生探究热情高涨，积极尝试，争相展示。当堂，学生就指出了前四种画法的原理：第一种是椭圆的第一定义；第二种是平面截圆锥面；第三种是Dandelin双球；第四种是椭圆的标准方程或参数方程（证明过程如下）。同时指出了前四种画法的同类变式：第一种是将绳圈改成绳子，将两头分别绑在两个柱子上；第二种是将斜槽改为直槽（垂直于圆盘）；第三种是将点光源改为平行光源；第四种是将活动杆从两个滑动点的中间（中点）处折断并用铰链连接，将离铅笔较远的滑动点固定在十字槽的中心（交点）处（这样可以去掉一根没有滑动点的槽）。
证明1如图10，设MN=k（k>0），MP=λMN（λ>1）。建立平面直角坐标系，设P（x，y）、N（x0，0）、M（0，y0）。
由ON2+OM2=MN2，得x20+y20=k2①。
由MP=λMN，得（x，y-y0）=λ（x0，-y0），所以x=λx0，y-y0=-λy0，即x0=xλ，y0=y1-λ②。
将②代入①，得x2λ2+y2（λ-1）2=k2，即x2（λk）2+y2[（λ-1）k]2=1，所以点P的轨迹是椭圆。 证明2如图10，设MN=a，MP=l（l>a）。建立平面直角坐标系，设P（x，y），∠xNP=θ，则x=lcos θ，y=（l-a）sin θ，所以点P的轨迹是椭圆。
（二）挑战性原则
“压力是很好的动力。”挑战困难，可以激发学生的成就欲和好胜心；克服困难，可以培养学生的科学精神（学习和探究的勇气和信心）。为此，教师需要多一点学者心态，从数学的角度出发，用比较“成熟”的眼光，发现、建立那些能够激发学生成就欲和好胜心的困难的探究资源。
上述案例中，教材给出的后一种线索和视频呈现的后三种画法涉及比较复杂的复合运动，让学生觉得比较困难，进一步激发了学生的成就欲和好胜心，使学生学习和探究热情不减，继续尝试，不断挑战。课后，学生又得出了后三种画法的原理：第五种是椭圆的参数方程（证明过程如下）；第六种和第七种也是椭圆的参数方程（限于篇幅，证明过程省略）。
证明如图11，设大圆的圆心为O1，半径为R；小圆的圆心为O2，半径为r（R=2r）。设笔尖的位置为A，O2A=a（r>a>0）。建立平面直角坐标系，设点A（x，y），其初始位置在O1O2延长线上。
当点O2在圆O1中绕点O1按逆时针方向转过角θ到达点O2′位置时，点A做一个复合运动：一方面在圆O1中绕点O1按逆时针方向转过角θ到达点A′位置，另一方面在圆O2中绕点O2按顺时针方向转过角2θ到达点A″位置。
所以x=rcos θ+acos θ=（r+a）cos θ，y=rsin θ-asin θ=（r-a）sin θ，消去θ，得x2（r+a）2+y2（r-a）2=1，所以点A的轨迹是椭圆。
（三）发展性原则
R.M.加涅说过：教育的目的是使学生更好地“思考”，教学就是“使学生参与到那些促进学习的事件和活动中去”。开展数学探究活动的最终目的是促使学生形成良好的探究习惯和探究能力，能够在今后的数学学习过程中，自主确立探究课题，开展探究活动，为终生发展奠定良好的基础——这也正是我们所期待的最美好的结果。为此，教师需要具有学生意识，用发展的眼光，发现、建立那些能够促进学生延伸思考、进一步探究、自主发展的探究资源。
上述案例中，教材给出的线索和视频呈现的画法有很好的发展性，尤其是后一个线索和后三种画法：不僅能让学生想到同类的变式，而且能诱导学生发现延伸的课题，展开进一步探究。比如，一位学生基于上述第五个线索的内容和第五种画法的原理，主动发现课题“内摆线的性质研究”，展开探究：从内摆线的参数方程出发，对定圆、动圆半径的倍数关系n分整数、分数、无理数情况进行探究，得到不同的内摆线；在此基础上，对内摆线的周长、面积进行探究，得到相应的表达式；最后，还利用内摆线的极坐标方程，证明了当n依次取3、4、5、6、7、8时，内摆线是一系列曲边星形，每一个曲边星形顶点依次在双曲螺线上。他的部分探究成果如下：
1.内摆线的定义和参数方程。
一个动圆内切于一个定圆，做无滑动滚动，其上一个定点的轨迹叫作内摆线。
设定圆圆心为O，半径为R；动圆圆心为O′，半径为r；定点P的初始位置在切点P0处。如图12，以O为原点、OP0（即OO′）为x轴正方向，建立平面直角坐标系。
设当点O′相对于点O转过了角θ（到达点O1）时，点P0相对于点O1转过了角φ（从点P1到达点P）。这时，点P在定圆O上无滑动滚动所转过的弧长为Rθ，在动圆O′上无滑动滚动所转过的弧长为rφ，所以Rθ=rφ，即φ=Rrθ。
过点O1作与x轴正半轴方向一致的射线O1Q，则∠QO1P1=θ，所以∠QO1P=φ-θ=R-rrθ。
设P（x，y），则x=（R-r）cos θ+rcosR-rrθ，
y=（R-r）sin θ-rsinR-rrθ。
1.1. 定圆和动圆半径比n=Rr取不同值时内摆线的形状。
1.1.1. 当n是有理数时，由φ=nθ，得一定存在θ=2kπ，使得φ=2lπ（k、l∈Z且kl≠0）。这即是说，当n为有理数时，在转动一段时间后，点P会回到初始位置点P0。
①当n=2时，点P的坐标满足参数方程x=2rcosθ，
y=0，所以点P的轨迹是定圆O的过P0的直径；
②当n=3时，点P的坐标满足参数方程x=2rcos θ+rcos2θ，
y=2rsin θ-rsin2θ，利用几何画板软件可以画出点P的轨迹如图13所示，是三曲边星形。图14
……
此外，教材必修5第62页阅读栏目“斐波那契数列”也是具有趣味性、挑战性和发展性的比较好的探究资源。
三、源于教材的数学探究资源库的基本架构
为了使“源于教材的数学探究资源库”具有较强的可操作性，类似于“融入课堂的数学探究资源库”建设，我们依据“源于教材的数学探究活动的实施策略”和“源于教材的数学探究资源的选材原则”，选取适当的以教材内容（苏教版高中数学）为基础的探究资源（兼顾教师发现的主题和学生自主建立的优秀案例），分“典型探究案例”与“探究活动资源”两部分，按如图14所示的基本结构对其进行架构。
本文系江苏省教育科学“十二五”规划课题“促进高中生数学探究的课程资源库建设研究”（编号：C-c/2015/025）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 刘明，丁菁.促进高中生数学探究的课程资源库建设概述[J].教育研究与评论（中学教育教学），2017（8）.
[2] 刘明.融入课堂的数学探究资源库建设研究[J].教育研究与评论（中学教育教学），2017（10）.
[3] 【美】R.M.加涅等.教学设计原理（第五版）[M].王小明等译.上海：华东师范大学出版社，2007.
[4] 全美数学教师理事会.美国学校数学教育的原则和标准[M].蔡金法等译.北京：人民教育出版社，2004.教师发展
关键词：数学探究课程资源教材内容实施策略选材原则
建设促进高中生数学探究的课程资源库，能够积累更多的数学探究素材，让学生有更多的机会开展数学探究活动。为此，我们从融入课堂的数学探究资源库建设、源于教材的数学探究资源库建设、依托研究性学习的数学探究资源库建设三个方面展开研究。
为了研究源于教材的数学探究资源库建设，我们结合高中数学教材中的相关内容（可以是教材中的定理或性质，也可以是教材中的例题或习题），提出一系列具体的数学问题，指导学生开展有意义、有价值的数学探究活动；同时，我们还鼓励学生从教材中的相关内容出发，自主设计数学问题，开展数学探究活动。在此基础上，我们经历了“实践→反思→提炼”的过程，逐步形成了“源于教材的数学探究活动的实施策略”“源于教材的数学探究资源的选材原则”，架构了“源于教材的数学探究资源库”。
一、源于教材的数学探究活动的实施策略
（一）由教師提出问题到学生提出问题
数学探究活动“具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论”。可见，“发现和提出有意义的数学问题”是学生开展数学探究活动的起点。因此，教师不仅要提出问题，让学生开展数学探究活动；而且要引导学生用好奇的态度、质疑的精神面对所学的内容，进而让学生自主地提出问题，确立探究主题。
例如，学习了“直线和圆的位置关系”后，教师出示苏教版高中数学必修2习题2.2（2）第11题，作为背景，引导学生开展数学探究活动。
背景已知圆C的方程是x2+y2=r2，求证：经过圆C上一点M（x0，y0）的切线方程是x0x+y0y=r2。
解决了这个问题后，教师启发学生：“受这个问题启发，你还能提出哪些问题？”通过师生交流和生生交流，促使学生提出问题：首先，将圆的方程由特殊推广到一般，提出探究1问题；其次，考虑点M的位置变化，提出探究2问题和探究3问题；最后，类似地将探究2问题和探究3问题中的圆的方程由特殊推广到一般，提出探究4问题和探究5问题。
探究1已知点M（x0，y0）是圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2上一点，求经过点M的圆C的切线方程。
探究2已知点M（x0，y0）是圆C：x2+y2=r2外一点，求方程x0x+y0y=r2所表示的几何意义。
探究3已知点M（x0，y0）是圆C：x2+y2=r2内一点，求方程x0x+y0y=r2所表示的几何意义。
探究4已知点M（x0，y0）是圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2外一点，求方程（x-a）（x0-a）+（y-b）（y0-b）=r2所表示的几何意义。
探究5已知点M（x0，y0）是圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2内一点，求方程（x-a）（x0-a）+（y-b）（y0-b）=r2所表示的几何意义。
这里，数学探究活动最初源自教师的提问。然后，教师通过“你还能提出哪些问题”的引导，唤醒学生的好奇态度、质疑精神以及创新意识，从而实现由教师提出问题、学生被动地开展数学探究活动到学生提出问题、主动地开展数学探究活动的转变。
（二）让学生对知识、方法进行类比迁移
开展数学探究活动，不仅要促进学生深刻地理解领会所学的知识，掌握知识背后所蕴含的数学思想方法，而且要帮助学生形成探究习惯、发展探究能力，从整体上把握数学知识与方法。为此，最有效的方法是，让学生对知识、方法进行类比迁移。
例如，学习了“直线和椭圆的位置关系”后，教师让学生回顾上述关于圆的切线方程的探究，将圆的切线的相关问题（及结论）类比迁移到椭圆的切线中，从而提出探究6问题和探究7问题，开展探究活动。
探究6 已知点M（x0，y0）是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点，求经过点M的椭圆C的切线方程。
探究7已知点M（x0，y0）是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）外一点，求方程xx0a2+yy0b2=1所表示的几何意义。
此外，学习了双曲线和抛物线的内容后，教师同样可以让学生提出类似的问题，开展探究活动。
在这样的数学探究活动中，学生可以从已有的问题和结论出发，发现、提出新的问题，并且通过分析、解决新的问题，猜想、论证新的结论，从而实现知识、方法的类比迁移，同时提升创新意识。
（三）让学生在自主探究的基础上合作交流
数学探究活动是以发现、提出有意义的数学问题为起点，以分析、解决相应的问题为目标。在探究活动中，学生的认识与思考会产生很多差异和不足。教师首先要让学生通过自主探究，形成个性化的问题以及分析思路和解决策略；然后要让学生通过合作交流，全面、深刻地认识所探究的数学问题，学会从不同的角度展开思考。
例如，提出了上述探究2问题后，教师让学生在独立探究的基础上合作交流。由此，学生不仅得到了以下正确的结论，而且给出了5种不同的证法。
结论由圆外的点M（x0，y0）向圆C：x2+y2=r2引两条切线MA、MB（A、B为切点），则方程x0x+y0y=r2表示直线AB。
证法1设点A（x1，y1）、B（x2，y2），可知直线AM：x1x+y1y=r2，BM：x2x+y2y=r2。因为点M（x0，y0）同时在直线AM和BM上，所以x1x0+y1y0=r2，x2x0+y2y0=r2。由这两式分别可知点A、B在直线x0x+y0y=r2上。又两点确定一条直线，所以直线AB：x0x+y0y=r2。 证法2如图1，连接OM、OA，设点A（x1，y1）。
因为OM⊥AB，所以OM为直线AB的法向量，于是可设直线AB：x0x+y0y+c=0①。因为点A在直线AB上，所以x0x1+y0y1+c=0②。
因为OA⊥AM，所以OA2+AM2=OM2，即x21+y21+（x0-x1）2+（y0-y1）2=x20+y20，即x0x1+y0y1=x21+y21。又x21+y21=r2，所以x0x1+y0y1=r2③。
把③代入②，得c=-r2；再将该式代入①，得直线AB：x0x+y0y=r2。
证法3如图1，连接OM，设点A（x1，y1）。
以O为圆心、OM为半径作圆，以M为切点作该圆的切线l，则直线l：x0x+y0y=x20+y20。因为OM⊥AB，OM⊥l，所以AB∥l，于是可设直线AB：x0x+y0y+c=0①。因为点A在直线AB上，所以x0x1+y0y1+c=0②。
因为直线AM：x1x+y1y=r2，点M在直线AM上，所以x1x0+y1y0=r2③。
把③代入②，得c=-r2；再将该式代入①，得直线AB：x0x+y0y=r2。
证法4如图2，连接OM、OA，在直线AB上任取一点Q（x，y），连接OQ。设AB交OM于点T。
因为OM⊥AB于点T，所以OM·OQ=|OM||OQ|cos∠QOT=|OM||OT|。在Rt△OAM中，由射影定理，得|OM||OT|=|OA|2=r2①。
另外，OM·OQ=（x0，y0）·（x，y）=x0x+y0y②。
由①②可知直线AB：x0x+y0y=r2。
证法5如图2，连接OM、OA，在直线AB上任取一点Q（x，y），连接OQ。设点A（x1，y1）。
因为OM⊥AB，所以OM·AQ=0，即（x0，y0）·（x-x1，y-y1）=x0x-x0x1+y0y-y0y1=0，所以x0x+y0y=x0x1+y0y1①。
因为直线AM：x1x+y1y=r2，点M在直线AM上，所以x1x0+y1y0=r2②。
由①②可得直线AB：x0x+y0y=r2。
以上證法1直接利用代数形式所表示的几何本质，最为经典、简捷；证法2和证法3利用垂直关系设出直线AB的方程，再利用相切条件求出其中的参数，只是设直线方程和求参数的推理过程略有不同；证法4和证法5引入向量的数量积运算，利用不同的向量寻找等量关系，得到同样的直线方程。从不同的角度对问题展开探究，不仅充分调动了学生运用已有的知识和方法解决新问题的积极性，而且拓宽了学生的认知视角，提升了学生的思维灵活性，同时培养了学生的实践能力与创新精神。
二、源于教材的数学探究资源的选材原则
（一）趣味性原则
“兴趣是最好的老师。”一旦学生对新知识、新方法充满了求知欲，对客观世界、未知世界充满了好奇心，那么其学习的热情与探究的活力将被点燃。为此，教师需要多一份儿童心态，从学生的角度出发，用稍显“稚嫩”的眼光，发现、建立那些能够激发学生求知欲和好奇心的有趣的探究资源。
例如，学习了“椭圆的概念”，建立了“椭圆的标准方程”，初步了解了椭圆的“参数方程”后，教师梳理苏教版高中数学教材给出的线索，播放网络视频《椭圆的多种画法》，让学生探究椭圆各种画法的数学原理。
教材中给出的线索有：（1）选修2-1第28页“椭圆的第一定义”；（2）选修2-1第27页“椭圆的产生”（平面截圆锥面和Dandelin双球）；（3）选修2-1第33页操作题“折纸包络”；（4）选修2-1第64页阅读题“猫的运动轨迹与达·芬奇椭圆仪”；（5）选修4-4第53页阅读栏目“摆线”。
视频中呈现的画法有：（1）如图3，用绳圈套住两个固定的桩子和一支活动的铅笔，绷紧后让铅笔在纸上绕圈；（2）如图4，用一个有斜槽的圆盘约束一支可伸缩的铅笔（斜槽在圆盘的边缘且其投影经过圆盘的中心），让圆盘在平面内绕中心旋转，让铅笔在下方斜放的纸上绕圈；（3）如图5，用点光源斜照一个不透明的球体，沿着阴影的边缘画；（4）如图6，用达·芬奇椭圆仪画；（5）如图7，让一个动圆在一个定圆内滚动（动圆的半径是定圆的一半），画出短幅内摆线；（6）如图8，让一个平行四边形的两条邻边绕它们的共同顶点分别沿顺时针方向和逆时针方向旋转，带动相对的顶点画出运动轨迹；（7）如图9，让一个单摆在竖直平面内摆动，同时让其下端在水平平面内旋转（画圆）。
这些生动的画面和神奇的画法让学生觉得非常有趣，极大地激发了学生的求知欲和好奇心，使学生探究热情高涨，积极尝试，争相展示。当堂，学生就指出了前四种画法的原理：第一种是椭圆的第一定义；第二种是平面截圆锥面；第三种是Dandelin双球；第四种是椭圆的标准方程或参数方程（证明过程如下）。同时指出了前四种画法的同类变式：第一种是将绳圈改成绳子，将两头分别绑在两个柱子上；第二种是将斜槽改为直槽（垂直于圆盘）；第三种是将点光源改为平行光源；第四种是将活动杆从两个滑动点的中间（中点）处折断并用铰链连接，将离铅笔较远的滑动点固定在十字槽的中心（交点）处（这样可以去掉一根没有滑动点的槽）。
证明1如图10，设MN=k（k>0），MP=λMN（λ>1）。建立平面直角坐标系，设P（x，y）、N（x0，0）、M（0，y0）。
由ON2+OM2=MN2，得x20+y20=k2①。
由MP=λMN，得（x，y-y0）=λ（x0，-y0），所以x=λx0，y-y0=-λy0，即x0=xλ，y0=y1-λ②。
将②代入①，得x2λ2+y2（λ-1）2=k2，即x2（λk）2+y2[（λ-1）k]2=1，所以点P的轨迹是椭圆。 证明2如图10，设MN=a，MP=l（l>a）。建立平面直角坐标系，设P（x，y），∠xNP=θ，则x=lcos θ，y=（l-a）sin θ，所以点P的轨迹是椭圆。
（二）挑战性原则
“压力是很好的动力。”挑战困难，可以激发学生的成就欲和好胜心；克服困难，可以培养学生的科学精神（学习和探究的勇气和信心）。为此，教师需要多一点学者心态，从数学的角度出发，用比较“成熟”的眼光，发现、建立那些能够激发学生成就欲和好胜心的困难的探究资源。
上述案例中，教材给出的后一种线索和视频呈现的后三种画法涉及比较复杂的复合运动，让学生觉得比较困难，进一步激发了学生的成就欲和好胜心，使学生学习和探究热情不减，继续尝试，不断挑战。课后，学生又得出了后三种画法的原理：第五种是椭圆的参数方程（证明过程如下）；第六种和第七种也是椭圆的参数方程（限于篇幅，证明过程省略）。
证明如图11，设大圆的圆心为O1，半径为R；小圆的圆心为O2，半径为r（R=2r）。设笔尖的位置为A，O2A=a（r>a>0）。建立平面直角坐标系，设点A（x，y），其初始位置在O1O2延长线上。
当点O2在圆O1中绕点O1按逆时针方向转过角θ到达点O2′位置时，点A做一个复合运动：一方面在圆O1中绕点O1按逆时针方向转过角θ到达点A′位置，另一方面在圆O2中绕点O2按顺时针方向转过角2θ到达点A″位置。
所以x=rcos θ+acos θ=（r+a）cos θ，y=rsin θ-asin θ=（r-a）sin θ，消去θ，得x2（r+a）2+y2（r-a）2=1，所以点A的轨迹是椭圆。
（三）发展性原则
R.M.加涅说过：教育的目的是使学生更好地“思考”，教学就是“使学生参与到那些促进学习的事件和活动中去”。开展数学探究活动的最终目的是促使学生形成良好的探究习惯和探究能力，能够在今后的数学学习过程中，自主确立探究课题，开展探究活动，为终生发展奠定良好的基础——这也正是我们所期待的最美好的结果。为此，教师需要具有学生意识，用发展的眼光，发现、建立那些能够促进学生延伸思考、进一步探究、自主发展的探究资源。
上述案例中，教材给出的线索和视频呈现的画法有很好的发展性，尤其是后一个线索和后三种画法：不僅能让学生想到同类的变式，而且能诱导学生发现延伸的课题，展开进一步探究。比如，一位学生基于上述第五个线索的内容和第五种画法的原理，主动发现课题“内摆线的性质研究”，展开探究：从内摆线的参数方程出发，对定圆、动圆半径的倍数关系n分整数、分数、无理数情况进行探究，得到不同的内摆线；在此基础上，对内摆线的周长、面积进行探究，得到相应的表达式；最后，还利用内摆线的极坐标方程，证明了当n依次取3、4、5、6、7、8时，内摆线是一系列曲边星形，每一个曲边星形顶点依次在双曲螺线上。他的部分探究成果如下：
1.内摆线的定义和参数方程。
一个动圆内切于一个定圆，做无滑动滚动，其上一个定点的轨迹叫作内摆线。
设定圆圆心为O，半径为R；动圆圆心为O′，半径为r；定点P的初始位置在切点P0处。如图12，以O为原点、OP0（即OO′）为x轴正方向，建立平面直角坐标系。
设当点O′相对于点O转过了角θ（到达点O1）时，点P0相对于点O1转过了角φ（从点P1到达点P）。这时，点P在定圆O上无滑动滚动所转过的弧长为Rθ，在动圆O′上无滑动滚动所转过的弧长为rφ，所以Rθ=rφ，即φ=Rrθ。
过点O1作与x轴正半轴方向一致的射线O1Q，则∠QO1P1=θ，所以∠QO1P=φ-θ=R-rrθ。
设P（x，y），则x=（R-r）cos θ+rcosR-rrθ，
y=（R-r）sin θ-rsinR-rrθ。
1.1. 定圆和动圆半径比n=Rr取不同值时内摆线的形状。
1.1.1. 当n是有理数时，由φ=nθ，得一定存在θ=2kπ，使得φ=2lπ（k、l∈Z且kl≠0）。这即是说，当n为有理数时，在转动一段时间后，点P会回到初始位置点P0。
①当n=2时，点P的坐标满足参数方程x=2rcosθ，
y=0，所以点P的轨迹是定圆O的过P0的直径；
②当n=3时，点P的坐标满足参数方程x=2rcos θ+rcos2θ，
y=2rsin θ-rsin2θ，利用几何画板软件可以画出点P的轨迹如图13所示，是三曲边星形。图14
……
此外，教材必修5第62页阅读栏目“斐波那契数列”也是具有趣味性、挑战性和发展性的比较好的探究资源。
三、源于教材的数学探究资源库的基本架构
为了使“源于教材的数学探究资源库”具有较强的可操作性，类似于“融入课堂的数学探究资源库”建设，我们依据“源于教材的数学探究活动的实施策略”和“源于教材的数学探究资源的选材原则”，选取适当的以教材内容（苏教版高中数学）为基础的探究资源（兼顾教师发现的主题和学生自主建立的优秀案例），分“典型探究案例”与“探究活动资源”两部分，按如图14所示的基本结构对其进行架构。
本文系江苏省教育科学“十二五”规划课题“促进高中生数学探究的课程资源库建设研究”（编号：C-c/2015/025）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 刘明，丁菁.促进高中生数学探究的课程资源库建设概述[J].教育研究与评论（中学教育教学），2017（8）.
[2] 刘明.融入课堂的数学探究资源库建设研究[J].教育研究与评论（中学教育教学），2017（10）.
[3] 【美】R.M.加涅等.教学设计原理（第五版）[M].王小明等译.上海：华东师范大学出版社，2007.
[4] 全美数学教师理事会.美国学校数学教育的原则和标准[M].蔡金法等译.北京：人民教育出版社，2004.教师发展