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【摘要】待定系数求解法是高等数学教学中一个非常重要的内容，也是一个难点所在。本文通过对高等数学教材中涉猎到的涵盖待定系数法求解的知识点进行了归纳总结，以便达到清晰思路，举一反三，简化计算的目的。
【关键词】高等数学；定积分；有理函数的极限
【中图分类号】G6420
【文献标识码】B
【文章编号】1671-8437（2017）18-0008-02
已知某些条件，求待定系数，是高等数学教学中一个非常重要的内容，在高等数学的知识结构中，我们梳理了一下，有以下几部分的知识点中涵盖这样的问题。（1）极限部分；（2） 极值部分；（3）定积分部分。如果我们能够在教学中把各种知识点中应用待定系数解题的情况进行归类，不仅对学生掌握知识、运用知识，清晰思路都是非常有益的，而且能帮助学生突破这个难点。
1有理函数的极限部分的待定系数问题
通过梳理总结，有理函数的极限有以下三种情况，在极限部分待定系数的问题常常会利用下面三公式综合解决：
设f（x）=a0xn+a1xn-1+an，g（x）=b0xm+b1xm-1+bm.
（1）limx→∞ f（x）g（x）=a0b0n=m0nm
（2）limx→x0f（x）g（x）=f（x0）g（x0）g（x0）≠0想辦法约去零因子f（x0）=g（x0）=0∞g（x0）=0，但是f（x0）≠0
（3）limx→x0f（x）g（x）存在，且limx→x0g（x）=0，则limx→x0f（x）=0.
例1：limx→∞（x2+1x+1-ax-b）=0，求a，b.
解：x2+1x+1-ax-b
=（x2+1）-ax（x+1）-b（x+1）x+1
=（1-a）x2-（a+b）x+（1-b）x+1
由已知，上式极限为零，故分子是比分母低阶的无穷大，所以由上述公式（1）知：1-a=0a+b=0
∴a=1，b=-1.
例2：设p（x）是多项式，limx→∞p（x）-x3x2=2，limx→0p（x）x=1，求P（x）.
解：limx→∞p（x）-x3x2=2由上述公式（1）知，分子是分母的同阶无穷大，
∴可设p（x）=x3+2x2+ax+b（其中a，b是待定系数）
又∵limx→0p（x）x=1，由上述公式（3）知，分子与分母是等价无穷小，故分子极限为0.
∴limx→0p（x）=limx→0（x3+2x2+ax+b）=0.
∴b=0.
∴limx→0p（x）x=limx→0x3+2x2+axx=limx→0x（x2+2x+a）x=a=1.
∴p（x）=x3+2x2+x.
2极值部分的待定系数问题
在极值部分待定系数的问题常常会利用下面两个定理解决：
定理1（极值的必要条件）设函数f（x）在点x0处可导，且在x0处取得极值，则f ′（x0）=0.
定理2（拐点的必要条件）若函数 y =f（x）在 x0 处的二阶导数存在，且点（x0，f（x0） ）为函数的拐点，则f ″ （x0）=0.
例1已知f（x）=x3+ax2+bx在x=1处有极值-12，试确定常系数a与b
解： 因为f（x）=x3+ax2+bx，所以
f ′（x）=3x2+2ax+b
由上述定理1可知：f ′（1）=0，3+2a+b=0；由f（1）=-12，得 1+a+b=-12.
解方程组，得a=10，b=-23.
例2曲线x2y+ax+by=0以P（2，25）为拐点，求a，b.
解：两端对x求导，有
2xy+x2y′+a+by′=0（1）
再次求导，得
2y+2xy′+2xy′+x2y″+by″=0（2）
∵P（2，25）为拐点∴y″=0，代入（2）得：
y+xy′+xy′=0y′=-y2x
∴y′=-254
这3个值代入（1），得：
75+a-254b=0
又∵P（2，25）在曲线上，
∴10+2a+25b=0
∴a=-203，b=43.
3定积分部分的待定系数问题
在定积分待定系数的问题常利用“定积分是常数”这个结论解决：
例：设f（x）=x2-x∫20f（x）dx+2∫10f（x）dx，求f（x）.
解：设∫10f（x）dx=a∫20f（x）dx=b则f（x）=x2-bx+2a，有
a=∫10f（x）dx=∫10（x2-bx+2a）dx=13-b2+2a
b=∫20f（x）dx=∫20（x2-bx+2a）dx=83-2b+4a
∴a=13，b=43.
∴f（x）=x2-43x+23.
【参考文献】
[1]同济大学数学教研室主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1992.
[2]杨晋浩，张勇，罗钊.高等数学（上册）[M].北京：科学出版社，2010.
[3]罗钊，韩天勇，王伟钧.高等数学（下册）[M].北京：科学出版社，2010.
【关键词】高等数学；定积分；有理函数的极限
【中图分类号】G6420
【文献标识码】B
【文章编号】1671-8437（2017）18-0008-02
已知某些条件，求待定系数，是高等数学教学中一个非常重要的内容，在高等数学的知识结构中，我们梳理了一下，有以下几部分的知识点中涵盖这样的问题。（1）极限部分；（2） 极值部分；（3）定积分部分。如果我们能够在教学中把各种知识点中应用待定系数解题的情况进行归类，不仅对学生掌握知识、运用知识，清晰思路都是非常有益的，而且能帮助学生突破这个难点。
1有理函数的极限部分的待定系数问题
通过梳理总结，有理函数的极限有以下三种情况，在极限部分待定系数的问题常常会利用下面三公式综合解决：
设f（x）=a0xn+a1xn-1+an，g（x）=b0xm+b1xm-1+bm.
（1）limx→∞ f（x）g（x）=a0b0n=m0n
（2）limx→x0f（x）g（x）=f（x0）g（x0）g（x0）≠0想辦法约去零因子f（x0）=g（x0）=0∞g（x0）=0，但是f（x0）≠0
（3）limx→x0f（x）g（x）存在，且limx→x0g（x）=0，则limx→x0f（x）=0.
例1：limx→∞（x2+1x+1-ax-b）=0，求a，b.
解：x2+1x+1-ax-b
=（x2+1）-ax（x+1）-b（x+1）x+1
=（1-a）x2-（a+b）x+（1-b）x+1
由已知，上式极限为零，故分子是比分母低阶的无穷大，所以由上述公式（1）知：1-a=0a+b=0
∴a=1，b=-1.
例2：设p（x）是多项式，limx→∞p（x）-x3x2=2，limx→0p（x）x=1，求P（x）.
解：limx→∞p（x）-x3x2=2由上述公式（1）知，分子是分母的同阶无穷大，
∴可设p（x）=x3+2x2+ax+b（其中a，b是待定系数）
又∵limx→0p（x）x=1，由上述公式（3）知，分子与分母是等价无穷小，故分子极限为0.
∴limx→0p（x）=limx→0（x3+2x2+ax+b）=0.
∴b=0.
∴limx→0p（x）x=limx→0x3+2x2+axx=limx→0x（x2+2x+a）x=a=1.
∴p（x）=x3+2x2+x.
2极值部分的待定系数问题
在极值部分待定系数的问题常常会利用下面两个定理解决：
定理1（极值的必要条件）设函数f（x）在点x0处可导，且在x0处取得极值，则f ′（x0）=0.
定理2（拐点的必要条件）若函数 y =f（x）在 x0 处的二阶导数存在，且点（x0，f（x0） ）为函数的拐点，则f ″ （x0）=0.
例1已知f（x）=x3+ax2+bx在x=1处有极值-12，试确定常系数a与b
解： 因为f（x）=x3+ax2+bx，所以
f ′（x）=3x2+2ax+b
由上述定理1可知：f ′（1）=0，3+2a+b=0；由f（1）=-12，得 1+a+b=-12.
解方程组，得a=10，b=-23.
例2曲线x2y+ax+by=0以P（2，25）为拐点，求a，b.
解：两端对x求导，有
2xy+x2y′+a+by′=0（1）
再次求导，得
2y+2xy′+2xy′+x2y″+by″=0（2）
∵P（2，25）为拐点∴y″=0，代入（2）得：
y+xy′+xy′=0y′=-y2x
∴y′=-254
这3个值代入（1），得：
75+a-254b=0
又∵P（2，25）在曲线上，
∴10+2a+25b=0
∴a=-203，b=43.
3定积分部分的待定系数问题
在定积分待定系数的问题常利用“定积分是常数”这个结论解决：
例：设f（x）=x2-x∫20f（x）dx+2∫10f（x）dx，求f（x）.
解：设∫10f（x）dx=a∫20f（x）dx=b则f（x）=x2-bx+2a，有
a=∫10f（x）dx=∫10（x2-bx+2a）dx=13-b2+2a
b=∫20f（x）dx=∫20（x2-bx+2a）dx=83-2b+4a
∴a=13，b=43.
∴f（x）=x2-43x+23.
【参考文献】
[1]同济大学数学教研室主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1992.
[2]杨晋浩，张勇，罗钊.高等数学（上册）[M].北京：科学出版社，2010.
[3]罗钊，韩天勇，王伟钧.高等数学（下册）[M].北京：科学出版社，2010.