对一道高考试题的研究与引申

• 作 者: 谢华英
• 出 处: 数学教学通讯(教师阅读)
• 发表日期: 2012年1期
• 关键词: 双曲线 圆 定点

　　摘 要：2009年高考江西卷理科第21题是一个关于双曲线的定点问题.本文通过对该题的解答，抽象出一个双曲线的一般命题，并将其推广到椭圆中去.
　　关键词：双曲线；圆；定点
　　
　　提出问题
　　（2009年江西理科第21题）已知点P1（x0，y0）为双曲线－=1（b为正常数）上任一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连结F2A并延长交y轴于P2．
　　
　　图1
　　（Ⅰ）求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程；
　　（Ⅱ）设轨迹E与x轴交于B，D两点，在E上任取一点Q（x1，y1）（y1≠0），直线QB，QD分别交y轴于M，N两点． 求证：以MN为直径的圆过两定点．
　　
　　问题的解答
　　解：（Ⅰ）轨迹E的方程为－=1．
　　（Ⅱ）在－=1中，令y=0，得x2=2b2，不妨设B（－b，0），D（b，0）.
　　直线QB的方程为y=（x+b），直线QD的方程为y=•（x－b），则M0，，N0，-. 以MN为直径的圆的方程为x2+y－y+=0，令y=0，得x2=，而Q（x1，y1）在－=1上，则x-2b2=y，于是x=±5b，即以MN为直径的圆过两定点（－5b，0），（5b，0）．
　　
　　结论的推广
　　笔者通过对第（Ⅱ）问的观察分析，得到双曲线中的一般结论：
　　结论1：设双曲线：－=1（a，b>0）与x轴交于B，D两点，在双曲线上任取一点Q（x1，y1）（y1≠0），直线QB，QD分别交y轴于M，N两点，则以MN为直径的圆过两定点．
　　证明：不妨设B（-a，0），D（a，0），于是直线QB的方程为y=（x+a），直线QD的方程为y=（x－a），则M（0，），N（0，-），则以MN为直径的圆的方程为x2+y－y+=0，令y=0，得x2=，而Q（x1，y1）在－=1上，即－=1，得=，所以x2=b2，于是x=±b，即以MN为直径的圆过两定点（－b，0），（b，0）．
　　结论的类比
　　由于双曲线与椭圆有很多类似的性质，因此将此结论类比到椭圆中，可以得到以下结论：
　　结论2：设椭圆：+=1（a>b>0）与x轴交于B，D两点，在椭圆上任取一点Q（x1，y1）（y1≠0），直线QB，QD分别交同一条准线于M，N两点，则以MN为直径的圆也过两定点．
　　证明：不妨设B（-a，0），D（a，0），右准线x=，其中c=． 直线QB的方程为y=（x+a），直线QD的方程为y=（x－a），则M，+a，N，－a. 以MN为直径的圆的方程为x－2+y－+a•y－－a=0，令y=0，得x-2= --a2=，而Q（x1，y1）在+=1上，即+=1，得=，
　　所以x－2=，于是x=，即以MN为直径的圆会过两定点，0，（c，0）．
　　同理，若是左准线，则MN为直径的圆会过两定点-，0，（－c，0）．