平行四边形的一个向量性质及其空间推广

• 作 者: 林再生
• 出 处: 数学教学通讯(教师阅读)
• 发表日期: 2012年7期
• 关键词: 平行四边形:向量性质:空间推广

　　摘 要：本文主要证明了平行四边形的一个向量性质：不过点A的直线l分别交平行四边形ABCD边所在直线AB，AD于点P，Q，交对角线所在直线AC于点M，若满足并探讨了该向量性质的逆定理及进行空间上的推广．
　　关键词：平行四边形；向量性质；空间推广
　　利用平面向量的知识，平行四边形有以下性质：
　　定理1：不过点A的直线l分别交平行四边形ABCD边所在直线AB，AD于点P，Q，交对角线所在直线AC于点M，若满足=x，=y，=k，则+=．
　　证：如图1所示，因为=+，所以=k+k．……①
　　又P，Q，M三点共线（A不在直线l上），所以=λ+μ（其中λ+μ=1），……②
　　结合题设，由②得=λx+μy．……③
　　联立①③得k+k=λx+μy?．
　　又因为与不共线，故有λ+μ=1，λx=μy=k，所以+=1，即+=．
　　定理1的逆定理：P，Q，M分别是平行四边形ABCD边所在直线AB，AD及对角线所在直线AC都异于点A的点，且=x，=y，=k，若满足+=，则P，Q，M三点共线．
　　证：如图1所示，因为=+，所以=k+k．
　　由题设知=，=，则=+．
　　由于+=k×+=k×=1，从而有P，Q，M三点共线．
　　利用类比的方法易将平行四边形的性质推广到空间，于是有以下性质：
　　定理2：不过点A的平面α分别交平行六面体ABCD－A1B1C1D1棱所在直线AB，AD，AA1于点P，Q，R，交对角线所在直线AC1于点M，若满足=x，=y，=z，=k，则++=．
　　证：如图2所示，在平行六面体中有=++，
　　所以=k+k+k．……①
　　又P，Q，R，M四点共面（A不在平面α上），
　　所以=λ+μ+t（其中λ+μ+t=1），……②
　　结合题设，由②得=λx+μy+tz．……③
　　联立①③得k+k+k=λx+μy+tz．
　　又因为，与不共面，故有λ+μ+t=1，λx=μy=tz=k，所以++=1，即++=．
　　定理2的逆定理：?摇P，Q，R，M分别是平行六面体ABCD－A1B1C1D1棱所在直线AB，AD，AA1及对角线所在直线AC1都异于点A的点，且=x，=y，=z，=k，若满足++=，则P，Q，R，M四点共面．
　　证：如图2所示，因为=++，所以=k+k+k．
　　由题设知=，=，=，则=++．
　　由于++=k×++=k×=1，从而有P，Q，R，M四点共面．