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一、选择题
1.设全集U=R，集合，则
2.已知直线ι、m，平面α、β，且ι⊥α，，给出四个命题：①若α∥β，则ι⊥m；②若ι⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则ι∥m；④若ι∥m，则α⊥β。其中真命题的个数是（）。
A.l
B.2
C.3
D.4
3.已知a为锐角，且tan（π a） 6sin（π β）=，则sina的值是（）。
4.一个多面体是由正方体割去两个三棱锥得到的，其正视图、侧视图、俯视图均是边长为2的正方形，如图1所示，则该多面体的表面积是（）。 5.若f（x）是奇函数，且x。是的一个零点，则，一定是下列某个函数的零点，该函数是（）。
6.函数f（x）=Asin（ωχ ψ9）（A、ω、ψ是常数，A>0，ω>0）的部分图像如图2所示，有下列结论：①最小正周期为π；②将f（x）的图像向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③f（0）=1；④；⑤
其中正确的是（）。
A.①②③
B.②③④
C.①④⑤
D.②③⑤
7.图3是某算法的程序框图，该程序运行后输出的结果是（）。
A.8
B.9
D.11
8.函数的图像与直线y=x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（）。
A.[-1，2）
B.[-l，2]
C.[2， ∞） D.（-∞，1]
二、填空题
9.已知实数a、b分别满足，则a b的值为_____。
10.在平面直角坐标系x○y中，已知点A（O，2），直线ι：x y-4=0。点B（x，y）是圆2x-I=O上的动点，AD⊥ι，BE⊥ι.垂足分别为D、E，则线段DE的长度的最大值是_____。
ll.y=f（x）是定义在R上的函数，2是其一个周期，且f（x）是偶函数，当x∈[O，1]时，则函数的零点个数为____。
12.如图4，A、B、C是直线ι上三点，P是直线ι外一点，若AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，则_____。（用a表示）
三、解答题
13.已知向量a=（2，sinθ），b=（1，cosθ），θ为锐角。
（1）若，求sinθ cosθ的值。
（2）若a∥b，求的值。
14.如图5，点P是单位圆在第一象限内的任意一点，点A（-1，0）、B（O，-1），PA与y轴交于点N，PB与x轴交于点M，设P（cosθ，sinθ）。
（1）求点M、N的坐标。（用θ表示）
（2）求x y的取值范围。
15.在平面直角坐标系x○y中，已知圆，圆Ol与圆0相交，圆心为01（9，O），且圆O1上的点与圆0上的点之间的最大距离为21。
（l）求圆O1的标准方程。
（2）过定点P（a，6）作动直线ι与圆0、圆O1都相交，且直线ι被圆0、圆Ol截得的弦长分别为d、d1。若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值。
參考答案与提示
1.D 提示：A={y|y≥-2），B={x|x<3），则
2.B提示：①④正确，②③错误。
3.C 提示：可得tana-6sinβ=1，-2tana 3sinβ 5=0，解得tana=3，则
4.A 提示：由三视图可得多面体如图6所示，其表面积为S一
5.C 提示：可得f（xo）一，则。又f（x）是奇函数，故，从而一定是函数的零点。
6.C提示：由图易得
最小正周期为，①正确。，②不正确。，③不正确。
因为f（x）的图像关于直线对称，且是f（x）的最大值，所以，④正确。
设（x，f（x））为函数的图像上任意一点，其关于对称中心的对称点也在函数的图像上，即，⑤正确。
7.C提示：第一次循环：n=2；第二次循环：；第三次循环：第四次循环：此时S>9，则输出的S的值为10。
8.A提示：根据题意，直线y=x与射线y=2（x>m）有一个交点A（2，2），并且直线y=x与抛物线上的部分有两个交点B、C。
联立y=x和，解得B（-l，-1）、C（-2，-2）。
抛物线在（-∞，m]上的部分必须包含B、C两点，且点A（2，2）一定在射线y=2（x>m）上，则-1≤m<2。
9.2提示：将已知等式变形为
构造函数，这是一个单调递增的奇函数。因为f（a-l）=-2，f（b-l）=2，所以f（a-l）=-f（6-1）=f（1-b），则a-l=l-b，故a b=2。
10.提示：线段DE的长度的最大值等于圆心（1，0）到直线AD：x-y 2=0的距离加半径。
11.8 提示：数形结合，作出y=f（x）与y=logs|x|在y轴右边的图像，有4个交点。又两个函数均为偶函数，根据对称性，在y轴左边也有4个交点。
12.提示：如图7，过点c作直线AP的垂线，垂足为D，则△PDC为等腰直角三角形，PB为△ADC的中位线，故。根据2PB=CD=PD=PA，在△APB中用勾股定理求出PA，进而求出PC。
13.（1）由a·6=2 ，得
又θ为锐角，则sinθ cosθ=
（2）由a∥6，得tanθ=2。
14.（1）设N（O，t）。由于P、N、A三点共线，可设
。代入①，得1=λ（cosθ 1），t=λsinθ。
由点P是单位圆在第一象限内的任意一点，得cosθ>0，sinθ>O，且，则，此时
同理，可得M
（2）
代入中，得：
联立②和③，得
由，知，则，故x y∈，即x y的取值范围为
15.（1）设圆Ol的半径为r。由题意得8 9十r=21，则r=4。
故圆01的标准方程为
（2）当直线ι的斜率存在时，设直线ι：y-b=k（x-a），即y-kx ka-b=0。
点0、O，到直线ι的距离分别为
则得整理得
由题意得上式对于任意实数k恒成立。
则
①如果b=0，则，解得λ=2（舍去负值），故a=6或a=18。
所以λ=2，点P（6，O）、P（18，0）。
②如果，显然a=9不满足，则，故，即43a 192=0。
，因此该方程无实数根。
当点P的坐标为（6，0）时，若直线ι的斜率不存在，则，所以，满足题意。
综上所述，满足题意的λ=2，点P有2个，坐标分别为（6，0）和（18，O）。
1.设全集U=R，集合，则
2.已知直线ι、m，平面α、β，且ι⊥α，，给出四个命题：①若α∥β，则ι⊥m；②若ι⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则ι∥m；④若ι∥m，则α⊥β。其中真命题的个数是（）。
A.l
B.2
C.3
D.4
3.已知a为锐角，且tan（π a） 6sin（π β）=，则sina的值是（）。
4.一个多面体是由正方体割去两个三棱锥得到的，其正视图、侧视图、俯视图均是边长为2的正方形，如图1所示，则该多面体的表面积是（）。 5.若f（x）是奇函数，且x。是的一个零点，则，一定是下列某个函数的零点，该函数是（）。
6.函数f（x）=Asin（ωχ ψ9）（A、ω、ψ是常数，A>0，ω>0）的部分图像如图2所示，有下列结论：①最小正周期为π；②将f（x）的图像向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③f（0）=1；④；⑤
其中正确的是（）。
A.①②③
B.②③④
C.①④⑤
D.②③⑤
7.图3是某算法的程序框图，该程序运行后输出的结果是（）。
A.8
B.9
D.11
8.函数的图像与直线y=x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（）。
A.[-1，2）
B.[-l，2]
C.[2， ∞） D.（-∞，1]
二、填空题
9.已知实数a、b分别满足，则a b的值为_____。
10.在平面直角坐标系x○y中，已知点A（O，2），直线ι：x y-4=0。点B（x，y）是圆2x-I=O上的动点，AD⊥ι，BE⊥ι.垂足分别为D、E，则线段DE的长度的最大值是_____。
ll.y=f（x）是定义在R上的函数，2是其一个周期，且f（x）是偶函数，当x∈[O，1]时，则函数的零点个数为____。
12.如图4，A、B、C是直线ι上三点，P是直线ι外一点，若AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，则_____。（用a表示）
三、解答题
13.已知向量a=（2，sinθ），b=（1，cosθ），θ为锐角。
（1）若，求sinθ cosθ的值。
（2）若a∥b，求的值。
14.如图5，点P是单位圆在第一象限内的任意一点，点A（-1，0）、B（O，-1），PA与y轴交于点N，PB与x轴交于点M，设P（cosθ，sinθ）。
（1）求点M、N的坐标。（用θ表示）
（2）求x y的取值范围。
15.在平面直角坐标系x○y中，已知圆，圆Ol与圆0相交，圆心为01（9，O），且圆O1上的点与圆0上的点之间的最大距离为21。
（l）求圆O1的标准方程。
（2）过定点P（a，6）作动直线ι与圆0、圆O1都相交，且直线ι被圆0、圆Ol截得的弦长分别为d、d1。若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值。
參考答案与提示
1.D 提示：A={y|y≥-2），B={x|x<3），则
2.B提示：①④正确，②③错误。
3.C 提示：可得tana-6sinβ=1，-2tana 3sinβ 5=0，解得tana=3，则
4.A 提示：由三视图可得多面体如图6所示，其表面积为S一
5.C 提示：可得f（xo）一，则。又f（x）是奇函数，故，从而一定是函数的零点。
6.C提示：由图易得
最小正周期为，①正确。，②不正确。，③不正确。
因为f（x）的图像关于直线对称，且是f（x）的最大值，所以，④正确。
设（x，f（x））为函数的图像上任意一点，其关于对称中心的对称点也在函数的图像上，即，⑤正确。
7.C提示：第一次循环：n=2；第二次循环：；第三次循环：第四次循环：此时S>9，则输出的S的值为10。
8.A提示：根据题意，直线y=x与射线y=2（x>m）有一个交点A（2，2），并且直线y=x与抛物线上的部分有两个交点B、C。
联立y=x和，解得B（-l，-1）、C（-2，-2）。
抛物线在（-∞，m]上的部分必须包含B、C两点，且点A（2，2）一定在射线y=2（x>m）上，则-1≤m<2。
9.2提示：将已知等式变形为
构造函数，这是一个单调递增的奇函数。因为f（a-l）=-2，f（b-l）=2，所以f（a-l）=-f（6-1）=f（1-b），则a-l=l-b，故a b=2。
10.提示：线段DE的长度的最大值等于圆心（1，0）到直线AD：x-y 2=0的距离加半径。
11.8 提示：数形结合，作出y=f（x）与y=logs|x|在y轴右边的图像，有4个交点。又两个函数均为偶函数，根据对称性，在y轴左边也有4个交点。
12.提示：如图7，过点c作直线AP的垂线，垂足为D，则△PDC为等腰直角三角形，PB为△ADC的中位线，故。根据2PB=CD=PD=PA，在△APB中用勾股定理求出PA，进而求出PC。
13.（1）由a·6=2 ，得
又θ为锐角，则sinθ cosθ=
（2）由a∥6，得tanθ=2。
14.（1）设N（O，t）。由于P、N、A三点共线，可设
。代入①，得1=λ（cosθ 1），t=λsinθ。
由点P是单位圆在第一象限内的任意一点，得cosθ>0，sinθ>O，且，则，此时
同理，可得M
（2）
代入中，得：
联立②和③，得
由，知，则，故x y∈，即x y的取值范围为
15.（1）设圆Ol的半径为r。由题意得8 9十r=21，则r=4。
故圆01的标准方程为
（2）当直线ι的斜率存在时，设直线ι：y-b=k（x-a），即y-kx ka-b=0。
点0、O，到直线ι的距离分别为
则得整理得
由题意得上式对于任意实数k恒成立。
则
①如果b=0，则，解得λ=2（舍去负值），故a=6或a=18。
所以λ=2，点P（6，O）、P（18，0）。
②如果，显然a=9不满足，则，故，即43a 192=0。
，因此该方程无实数根。
当点P的坐标为（6，0）时，若直线ι的斜率不存在，则，所以，满足题意。
综上所述，满足题意的λ=2，点P有2个，坐标分别为（6，0）和（18，O）。