论文部分内容阅读
摘要：理性思维是数学核心素养的灵魂，发展学生的思维能力是数学教学的主要目标，因此通过可视化把原本不可见的思维结构及规律、思考路径及方法呈现出来，让学生的数学思维看得见。本文从三个角度谈谈如何在课堂教学中，促进学生的数学思维可视化：可视化问题，促进思维参与;可视化操作，展现思维过程;可视化解题，还原思维路径。
关键词：数学思维;可视化;数学教学
中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）07-033
所谓思维可视化是指以图示或图示组合的方式，把原本不可见的思维结构及规律、思考路径及方法呈现出来，使其清晰可见的过程[1]。目前，高中数学教学中存在思维缺失化、浅显化、低效化的问题，不少教师把培养学生的数学思维简单地等同于课堂提问、归纳总结、题目练习。针对上述问题，笔者认为通过精心提问和运用信息技术等途径实现学生数学思维“可视化”。
一、“可视化”问题，促进思维参与
案例1 新人教A版第一册《诱导公式》公式二的探究
师：前面我们利用单位圆的几何性质研究了同角三角函数之间的关系。我们知道，圆最重要的性质是对称性，而对称性也是函数的重要性质。那么，我们能否利用圆的对称性来研究三角函数的对称性呢？
如图，设任意角α的终边与单位圆交于点P1。
问题1：在单位圆上，点P1有哪些特殊的对称点？
生1：关于原点的对称点、关于坐标轴的对称点
师：我们以单位圆上的点关于原点对称为例研究三角函数的对称性。
问题2：角α的终边OP1与角β的终边OP2的对称关系？
生2：两个角的终边关于原点中心对称
问题3：以OP2为终边的角β与角α有什么关系？
生3：β=π α
师：以OP2为终边的角只有一个角π α吗？
生3：不是，有无数个
师：好，这无数个角的终边都与角π α的终边相同，那么怎么用数学符号表示呢？
生3：β=2kπ （π α）（k∈Z）
问题4：角β，α的三角函数值之间有什么关系？
生4：终边相同的角的同一三角函数值相等，只需要探究角π α与α的三角函数值之间的关系就可以
师：很好！那怎么探究这两个角的三角函数值之间的关系呢？
生5：三角函数值由它的终边与单位圆的交点坐标唯一确定，只需要探究交点坐标间的关系。
问题5：点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）坐标之间的关系？
生6：两个点横坐标互为相反数、纵坐标也互为相反数
师：如何用数学符号表示？
生6：x2=-x1，y2=-y1
问题6：那终边关于原点中心对称的角的三角函数值的关系如何？
问题7：在公式二的探究过程中，任意角α的终边落在了第一象限，如果角α的终边落在其他象限或坐标轴上，我们得到的三角函数值之间的关系是否发生变化？
生7：终边的位置发生变化，但终边与单位圆的交点的对称关系不变。
师：我们一起通过几何画板动态演示来验证结论
问题8：一起总结归纳公式二的探究思路
生（众）：圆的对称性→终边的对称关系→角与角的关系→坐标间的关系→三角函数的关系
设计意图：诱导公式二的探究过程，学生经历了思维参与的三个阶段：思维的“起点”，思维的“路径”和思维的“终点”。思维的“起点”（问题1、2）是学生利用单位圆研究了三角函数的定义和终边相同的角的三角函数值之间的关系，同时也利用单位圆得到了同角三角函数值之间的关系。思维的“路径”（问题3、4、5、6）是以四个问题为载体，学生在解决问题的过程中经历：角与角的关系→坐标间的关系→三角函数的关系，充分体验了知识的生成过程，同时通过问题的设置将学生的点状的零散思维进行了聚焦，实现数学思维可视化，优化学生数学思维品质。思维的“终点”（问题7、8）是对诱导公式二中角α的任意性的进一步认识以及将探究的思路归纳总结，借助几何画板直观演示，实现从静态单一思维到动态辩证思维，从结果思维到过程思维，让学生的思维走得更深、更远。
二、“可视化”操作，展现思维过程
案例2 椭圆离心率e=ca的探究过程
（1）将细绳的两端点固定在焦点处，用铅笔笔尖拉紧绳子，在平面上画一个椭圆，然后調整绳子的长度（分别加长、缩短），观察椭圆的“扁”的程度的变化规律;
（2）细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，观察椭圆“扁”的程度的变化规律。
师：请大家分组操作后，由小组代表和同学们分享交流。
组1：当焦点固定即2c确定时，2a的值越小，椭圆越“扁”。
组2：当绳长固定即2a确定时，2c的值越大，椭圆越“扁”。
师：用什么样的量刻画椭圆“扁”的程度呢？
生：这个量与2a成反比;与2c成正比，所以猜想可以用2c2a即ca这个量来刻画椭圆“扁”的程度。
教师用“几何画板”动态直观演示，ca越大（接近于1），椭圆越扁;ca越小（接近于0），椭圆越圆。
师：焦距与长轴长的比ca叫作椭圆的离心率，记为e。
设计意图：用2c2a来刻画椭圆的“扁”的程度，对学生来讲过于抽象，既没有理性认识又没有直观感受。因此，通过“可视化”探究操作，学生手脑协同、做思共生，在实际动手操作中观察、发现，改变2c和2a的值可以改变椭圆的“扁”的程度，直观的操作让学生的数学思维触手可及、有迹可循，将抽象的、静态的数学问题转化为直观的、动态的操作。在此基础上，学生自然会提出问题：到底用什么样的量刻画椭圆“扁”的程度呢？此时借助“几何画板”软件动态操作，让学生看见不可见。
三、“可视化”导图，还原思维路径
案例3 解析几何的综合问题的可视化解题分析
在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC，M是PC的中点，求证：DM⊥平面PBC。
设计意图：本例中，证明DM⊥平面PDC的目标直线是DM，在证明DM⊥BC时，目标直线又转化为BC，那么接下来的证明方向清晰明确，即证明BC垂直于DM所在的平面，有这一目标后就可以结合已知条件寻找与BC垂直的两条相交直线。在证明BC⊥PC时的思维轨迹和方法和上述过程一样进行目标直线的转化。借助可视化的思维导图可以帮助学生将零散的已知条件和已证结论形成网络系统，将思考程序呈现出来，使得思路更加清晰。在此过程中，提高了学生的逻辑推理与数学抽象能力。
综上所述，“可视化”教学是符合学生认知规律的一种教学方式，学生通过“可视化”的学习可以将抽象的数学概念、数量关系、公式规律等直观表征出来，实现零散知识系统化、隐性知识显性化、解题规律模型化，进而提高学生逻辑推理与数学抽象能力。
参考文献：
[1]刘濯源.当学习力遇到思维可视化——基于思维可视化的中小学学习力发展策略[J].基础教育参考，2014.
（作者单位：无锡市堰桥高级中学，江苏 无锡214000）
关键词：数学思维;可视化;数学教学
中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）07-033
所谓思维可视化是指以图示或图示组合的方式，把原本不可见的思维结构及规律、思考路径及方法呈现出来，使其清晰可见的过程[1]。目前，高中数学教学中存在思维缺失化、浅显化、低效化的问题，不少教师把培养学生的数学思维简单地等同于课堂提问、归纳总结、题目练习。针对上述问题，笔者认为通过精心提问和运用信息技术等途径实现学生数学思维“可视化”。
一、“可视化”问题，促进思维参与
案例1 新人教A版第一册《诱导公式》公式二的探究
师：前面我们利用单位圆的几何性质研究了同角三角函数之间的关系。我们知道，圆最重要的性质是对称性，而对称性也是函数的重要性质。那么，我们能否利用圆的对称性来研究三角函数的对称性呢？
如图，设任意角α的终边与单位圆交于点P1。
问题1：在单位圆上，点P1有哪些特殊的对称点？
生1：关于原点的对称点、关于坐标轴的对称点
师：我们以单位圆上的点关于原点对称为例研究三角函数的对称性。
问题2：角α的终边OP1与角β的终边OP2的对称关系？
生2：两个角的终边关于原点中心对称
问题3：以OP2为终边的角β与角α有什么关系？
生3：β=π α
师：以OP2为终边的角只有一个角π α吗？
生3：不是，有无数个
师：好，这无数个角的终边都与角π α的终边相同，那么怎么用数学符号表示呢？
生3：β=2kπ （π α）（k∈Z）
问题4：角β，α的三角函数值之间有什么关系？
生4：终边相同的角的同一三角函数值相等，只需要探究角π α与α的三角函数值之间的关系就可以
师：很好！那怎么探究这两个角的三角函数值之间的关系呢？
生5：三角函数值由它的终边与单位圆的交点坐标唯一确定，只需要探究交点坐标间的关系。
问题5：点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）坐标之间的关系？
生6：两个点横坐标互为相反数、纵坐标也互为相反数
师：如何用数学符号表示？
生6：x2=-x1，y2=-y1
问题6：那终边关于原点中心对称的角的三角函数值的关系如何？
问题7：在公式二的探究过程中，任意角α的终边落在了第一象限，如果角α的终边落在其他象限或坐标轴上，我们得到的三角函数值之间的关系是否发生变化？
生7：终边的位置发生变化，但终边与单位圆的交点的对称关系不变。
师：我们一起通过几何画板动态演示来验证结论
问题8：一起总结归纳公式二的探究思路
生（众）：圆的对称性→终边的对称关系→角与角的关系→坐标间的关系→三角函数的关系
设计意图：诱导公式二的探究过程，学生经历了思维参与的三个阶段：思维的“起点”，思维的“路径”和思维的“终点”。思维的“起点”（问题1、2）是学生利用单位圆研究了三角函数的定义和终边相同的角的三角函数值之间的关系，同时也利用单位圆得到了同角三角函数值之间的关系。思维的“路径”（问题3、4、5、6）是以四个问题为载体，学生在解决问题的过程中经历：角与角的关系→坐标间的关系→三角函数的关系，充分体验了知识的生成过程，同时通过问题的设置将学生的点状的零散思维进行了聚焦，实现数学思维可视化，优化学生数学思维品质。思维的“终点”（问题7、8）是对诱导公式二中角α的任意性的进一步认识以及将探究的思路归纳总结，借助几何画板直观演示，实现从静态单一思维到动态辩证思维，从结果思维到过程思维，让学生的思维走得更深、更远。
二、“可视化”操作，展现思维过程
案例2 椭圆离心率e=ca的探究过程
（1）将细绳的两端点固定在焦点处，用铅笔笔尖拉紧绳子，在平面上画一个椭圆，然后調整绳子的长度（分别加长、缩短），观察椭圆的“扁”的程度的变化规律;
（2）细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，观察椭圆“扁”的程度的变化规律。
师：请大家分组操作后，由小组代表和同学们分享交流。
组1：当焦点固定即2c确定时，2a的值越小，椭圆越“扁”。
组2：当绳长固定即2a确定时，2c的值越大，椭圆越“扁”。
师：用什么样的量刻画椭圆“扁”的程度呢？
生：这个量与2a成反比;与2c成正比，所以猜想可以用2c2a即ca这个量来刻画椭圆“扁”的程度。
教师用“几何画板”动态直观演示，ca越大（接近于1），椭圆越扁;ca越小（接近于0），椭圆越圆。
师：焦距与长轴长的比ca叫作椭圆的离心率，记为e。
设计意图：用2c2a来刻画椭圆的“扁”的程度，对学生来讲过于抽象，既没有理性认识又没有直观感受。因此，通过“可视化”探究操作，学生手脑协同、做思共生，在实际动手操作中观察、发现，改变2c和2a的值可以改变椭圆的“扁”的程度，直观的操作让学生的数学思维触手可及、有迹可循，将抽象的、静态的数学问题转化为直观的、动态的操作。在此基础上，学生自然会提出问题：到底用什么样的量刻画椭圆“扁”的程度呢？此时借助“几何画板”软件动态操作，让学生看见不可见。
三、“可视化”导图，还原思维路径
案例3 解析几何的综合问题的可视化解题分析
在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC，M是PC的中点，求证：DM⊥平面PBC。
设计意图：本例中，证明DM⊥平面PDC的目标直线是DM，在证明DM⊥BC时，目标直线又转化为BC，那么接下来的证明方向清晰明确，即证明BC垂直于DM所在的平面，有这一目标后就可以结合已知条件寻找与BC垂直的两条相交直线。在证明BC⊥PC时的思维轨迹和方法和上述过程一样进行目标直线的转化。借助可视化的思维导图可以帮助学生将零散的已知条件和已证结论形成网络系统，将思考程序呈现出来，使得思路更加清晰。在此过程中，提高了学生的逻辑推理与数学抽象能力。
综上所述，“可视化”教学是符合学生认知规律的一种教学方式，学生通过“可视化”的学习可以将抽象的数学概念、数量关系、公式规律等直观表征出来，实现零散知识系统化、隐性知识显性化、解题规律模型化，进而提高学生逻辑推理与数学抽象能力。
参考文献：
[1]刘濯源.当学习力遇到思维可视化——基于思维可视化的中小学学习力发展策略[J].基础教育参考，2014.
（作者单位：无锡市堰桥高级中学，江苏 无锡214000）