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[摘 要]在传统教学中，学习“笔算两位数乘两位数”时，学生对算法、算理的理解只能通过教师的语言描述，由于缺乏直观图式的呈现，造成学生只是表面上会算但不理解算理。在教学中借助点子图，不但能让学生理解算理、归纳算法、体验算趣，还有助于培养学生的推理能力，提升学生的数学素养。
[关键词]点子图；算理；算法；算趣
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）32-0027-02
《义务教育数学课程标准（2011版）》将“运算能力”作为10个核心概念之一重新提出，充分表明运算能力在数学教学中的地位和作用。然而，纵观平时的课堂教学，很少有教师会把计算教学作为公开课的内容，因为觉得计算课枯燥乏味，上课时难以高潮迭起，而且很多教师的计算教学可谓是有“套路”的：课堂上重视计算方法，轻视探索过程，让学生一遍遍地练，教师只是一遍遍地纠正、点拨、强调。如何才能在现有“套路”的计算教学中做到不落俗套呢？下面以“笔算两位数乘两位数”的教学为例进行实践探索。
一、理解算理，真实还原思考过程
费赖登塔尔说过：“理解算理最好的途径是发现它，没有什么比自己的发现更令人信服，如果不给学生必要的时间，如果算法是生硬地灌输，随之而来的必然是一个糟糕的反映。”教学时，学生利用点子图进行圈、分、算时总要耗费一定的时间，有的教师提出质疑：为什么一定要用点子图呢？不用点子图的话多出的时间不是能让学生完成更多的练习吗？新教材中增加了用点子图解释算法，这样的编排依据是学生这一阶段的认知规律：学生需要有较多的动手操作和直观表象作为支撑，通过数形结合引导他们理解算理、掌握算法，有助于培养他们的推理能力。
在“笔算两位数乘两位数”的教学中，理解算理是难点，难点的突破需要借助“數形结合”。“数”与“形”在何处结合？必然是在学生的困惑处结合。当学生发现不能直接计算14×12时，教师适时引出点子图，学生利用点子图圈一圈、分一分、算一算，把未知的数学问题转化成已知的知识来探索，这样得出的每一种方法都真实记录了学生的思维过程，展示了学生多样化的学习方式。
在利用四步乘法口诀求积时，可借助点子图寻找竖式中每一步的计算结果在图中相应的位置，接着将点子图抽象成矩形图，说明“由于整十数与整十数相加，所以在竖式计算中才会出现第二层错位的现象”，进而帮助学生理解笔算两位数乘两位数的计算顺序及背后的算理。
例如：23×13
二、归纳算法，有效突破思维拐点
计算教学中，算理是对算法的解释，是理解算法的前提，算法是对算理的提炼，是技能形成的关键。虽然算理很重要，但学生掌握并能运用算法这一教学目标必须达成，因为即使有好的教学理念，没有相应的教学效果同样不可取。口算和估算最终都要落实到笔算上，因此探索笔算的算法是教学的重点，而重点的突出则需要“转化”思想。在教学笔算时，教师先让学生独立思考，尝试列出竖式计算，接着在比较的过程中优胜劣汰，呈现规范、简明的竖式写法，并指名学生梳理两位数乘两位数的笔算方法。
学生已经有两位数乘一位数的笔算经验，两位数乘两位数就是在两位数乘一位数的基础上增加两位数乘整十数，然后将两次相乘的积相加。在这个过程中，乘的顺序及各部分积的书写位置是学生的困惑点和教学的重点。虽然新教材没有出现明确概括算法，但在教学中让学生梳理算法还是很有必要的。说的环节是单纯说算法，观看微课的环节是点子图、口算和笔算方法同步出示，将算法和算理相结合。这样，通过直观、具体的“形”，为学生理解抽象、深奥的“理”架起了一座桥梁，既突出了学生的“学”，又留给学生充分从事数学活动的机会，让学生去尝试、比较、表达、发现、总结。如果有错误，则不断修正；如果是正确的，则予以放大。以学生的讲代替教师的教，以教师的“退”来激发学生的“进”，这就是学生再创造的过程。
三、体验算趣，逐步提升数学素养
在展示学生的点子图作品时，我借用了萧伯纳的名言“你有一个苹果，我有一个苹果，我们彼此交换，每人还是一个苹果；你有一种思想，我有一种思想，我们彼此交换，每人可拥有两种思想。”提醒学生在表达自己想法的同时，也要向同伴学习。在学生的观点发生碰撞时，我不急于评价哪一种方法的优劣，而是适时引导：“在追求真理的过程中，不是看谁的嗓门大，而是要以理服人。”促使学生对问题进行深入的思考。在学生展示作品时，我鼓励他们做最专业、最挑剔的评委，从直接写出答案的竖式，到分别列出的三个竖式，再到合在一起的竖式，最后到规范简洁的标准竖式，让学生的学习自然发生，让学生享受探究的乐趣。在这个过程中，既有活动经验的分享，也有数学思想的渗透，学生收获的不仅是知识，更重要的是在有价值的数学活动中形成能力。
作为直观模型的点子图，它具有抽象性和概括性，为学生直观地理解知识的内涵提供帮助，能让学生在计算的过程中眼中有“数”，脑中有“形”，数形结合，算理相通，从而清晰构建出两位数乘两位数的竖式模型。学习要拥有“带得走”的东西，就数学学科而言，要着眼于从不同角度沟通数学知识内部的联系，培养学生必备的数学品格和关键的数学能力，从而不断提升学生的数学素养。
（责编 童 夏）
[关键词]点子图；算理；算法；算趣
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）32-0027-02
《义务教育数学课程标准（2011版）》将“运算能力”作为10个核心概念之一重新提出，充分表明运算能力在数学教学中的地位和作用。然而，纵观平时的课堂教学，很少有教师会把计算教学作为公开课的内容，因为觉得计算课枯燥乏味，上课时难以高潮迭起，而且很多教师的计算教学可谓是有“套路”的：课堂上重视计算方法，轻视探索过程，让学生一遍遍地练，教师只是一遍遍地纠正、点拨、强调。如何才能在现有“套路”的计算教学中做到不落俗套呢？下面以“笔算两位数乘两位数”的教学为例进行实践探索。
一、理解算理，真实还原思考过程
费赖登塔尔说过：“理解算理最好的途径是发现它，没有什么比自己的发现更令人信服，如果不给学生必要的时间，如果算法是生硬地灌输，随之而来的必然是一个糟糕的反映。”教学时，学生利用点子图进行圈、分、算时总要耗费一定的时间，有的教师提出质疑：为什么一定要用点子图呢？不用点子图的话多出的时间不是能让学生完成更多的练习吗？新教材中增加了用点子图解释算法，这样的编排依据是学生这一阶段的认知规律：学生需要有较多的动手操作和直观表象作为支撑，通过数形结合引导他们理解算理、掌握算法，有助于培养他们的推理能力。
在“笔算两位数乘两位数”的教学中，理解算理是难点，难点的突破需要借助“數形结合”。“数”与“形”在何处结合？必然是在学生的困惑处结合。当学生发现不能直接计算14×12时，教师适时引出点子图，学生利用点子图圈一圈、分一分、算一算，把未知的数学问题转化成已知的知识来探索，这样得出的每一种方法都真实记录了学生的思维过程，展示了学生多样化的学习方式。
在利用四步乘法口诀求积时，可借助点子图寻找竖式中每一步的计算结果在图中相应的位置，接着将点子图抽象成矩形图，说明“由于整十数与整十数相加，所以在竖式计算中才会出现第二层错位的现象”，进而帮助学生理解笔算两位数乘两位数的计算顺序及背后的算理。
例如：23×13
二、归纳算法，有效突破思维拐点
计算教学中，算理是对算法的解释，是理解算法的前提，算法是对算理的提炼，是技能形成的关键。虽然算理很重要，但学生掌握并能运用算法这一教学目标必须达成，因为即使有好的教学理念，没有相应的教学效果同样不可取。口算和估算最终都要落实到笔算上，因此探索笔算的算法是教学的重点，而重点的突出则需要“转化”思想。在教学笔算时，教师先让学生独立思考，尝试列出竖式计算，接着在比较的过程中优胜劣汰，呈现规范、简明的竖式写法，并指名学生梳理两位数乘两位数的笔算方法。
学生已经有两位数乘一位数的笔算经验，两位数乘两位数就是在两位数乘一位数的基础上增加两位数乘整十数，然后将两次相乘的积相加。在这个过程中，乘的顺序及各部分积的书写位置是学生的困惑点和教学的重点。虽然新教材没有出现明确概括算法，但在教学中让学生梳理算法还是很有必要的。说的环节是单纯说算法，观看微课的环节是点子图、口算和笔算方法同步出示，将算法和算理相结合。这样，通过直观、具体的“形”，为学生理解抽象、深奥的“理”架起了一座桥梁，既突出了学生的“学”，又留给学生充分从事数学活动的机会，让学生去尝试、比较、表达、发现、总结。如果有错误，则不断修正；如果是正确的，则予以放大。以学生的讲代替教师的教，以教师的“退”来激发学生的“进”，这就是学生再创造的过程。
三、体验算趣，逐步提升数学素养
在展示学生的点子图作品时，我借用了萧伯纳的名言“你有一个苹果，我有一个苹果，我们彼此交换，每人还是一个苹果；你有一种思想，我有一种思想，我们彼此交换，每人可拥有两种思想。”提醒学生在表达自己想法的同时，也要向同伴学习。在学生的观点发生碰撞时，我不急于评价哪一种方法的优劣，而是适时引导：“在追求真理的过程中，不是看谁的嗓门大，而是要以理服人。”促使学生对问题进行深入的思考。在学生展示作品时，我鼓励他们做最专业、最挑剔的评委，从直接写出答案的竖式，到分别列出的三个竖式，再到合在一起的竖式，最后到规范简洁的标准竖式，让学生的学习自然发生，让学生享受探究的乐趣。在这个过程中，既有活动经验的分享，也有数学思想的渗透，学生收获的不仅是知识，更重要的是在有价值的数学活动中形成能力。
作为直观模型的点子图，它具有抽象性和概括性，为学生直观地理解知识的内涵提供帮助，能让学生在计算的过程中眼中有“数”，脑中有“形”，数形结合，算理相通，从而清晰构建出两位数乘两位数的竖式模型。学习要拥有“带得走”的东西，就数学学科而言，要着眼于从不同角度沟通数学知识内部的联系，培养学生必备的数学品格和关键的数学能力，从而不断提升学生的数学素养。
（责编 童 夏）