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虽然在平时的学习过程中，考生已经接触过大量的高考题，但缺乏对高考试题整体认识和针对性的研究. 考前最后几天，考生可以先把2006年—2011年本省高考数学试题系统地做一遍，并对照参考答案批改一下；然后把每题考查的知识点和方法总结一下，个别难题可以了解大致解题思路，不要拘泥于细节；接着可以从函数与导数、三角函数与平面向量、数列、不等式、立体几何、解析几何、统计与概率等几部分综观五年来考点的分布、考查的频率和变化、题型特点，找出考查重点中掌握不到位的内容、方法和题型进行强化训练. 譬如，近五年高考数学中每年都考查一道复数容易题，主要关于复数的有关概念、复数的四则运算，掌握不牢固的同学可以系统训练一下.
■ （2011全国卷）复数z=1+i，■为z的共轭复数，则z■－z－1=（ ）
A． －2i B． －i C． i D． 2i
解析 z■－z－1=（1+i）·（1－i）－（1+i）－1=2－2－i=－i，故本题答案选B.
答案 B
最后冲刺的阶段，建议考生把以前的大型考试试卷、综合复习中的随堂试卷收集整理，建立自己的专项错题库，特别是对于那些因为概念理解不深刻、知识记忆失误、思维不够严谨、方法使用不当的典型错误，一定要收集成册并加强研究，找出错误的原因. 做错题笔记包括3个方面: （1）记下错误是什么，最好用红笔画出；（2）错误原因是什么，从审题、题目归类、重现知识和找出答案这4个环节来分析；（3）错误纠正方法及注意事项. 譬如说，若你不能区分交集符号“∩”和并集符号“∪”，则可以背口诀“交集符号是个桥‘∩’，并集符号是个槽‘∪’”来区分. 通过自编口诀来记忆易混淆的知识点既形象又不易遗忘. 再譬如，若做“已知Sn求an”的题型时，经常忽视Sn－Sn-1=an成立的条件是“n≥2”.
■ （1）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）－f（4）=_______.
（2）已知cosx－■=■， x∈■，■，则sinx的值等于____.
（3）观察下列各式：则72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（ ）
A. 01 B. 43
C. 07 D. 49
解析 （1）f（3）－f（4）=f（－2）－f（－1）=
－f（2）+f（1）=－1；（2）把所求角x表示为x=x－■+■，然后展开后就可以计算出sinx=■；（3）设an=7n，a2=49，a3=343，a4=2401，a5=16807，a6=117649，故相隔四项末属两位数字相同，a2011与a3的末尾项相等，故选B.
点评 这三道小题都是“知值求值”问题，但是有些同学常常找不到思路，或者把运算复杂化，导致浪费考试时间，甚至结果运算错误. 其实只要树立“把所求函数值中自变量通过周期性、单调性和奇偶性化到已知值”的意识即可. 因此，在最后的复习中要善于总结自己的疏漏和缺失知识点.
近几年，数学高考试题中对基础知识、基本技能、基本方法的考查所占分值已达试卷分值的80%左右. 另一方面，解题速度的快慢主要取决于基本技能、基本方法的熟练程度及能力的高低. 可见，在考前切实重温基础知识的同时应加强对基本技能和基本方法的回顾.
■ （2011天津卷）设函数f（x）=x2-1． 对任意x∈■，+∞， f■-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析 我们不难把题目化为1-■+4m2≥g（x）=■，对任意x∈■，+∞恒成立的问题． 为此需求g（x）=■，x∈■，+∞的最大值，这就需要用换元法求解，一种换元法是设u=■，则0 点评 本题主要考查了不等式恒成立问题，涉及了二次函数、对勾函数、反比例函数、因式分解、高次不等式、分式不等式和一元二次不等式等基本知识点，还使用了分离变量法、换元法、配方法等基本方法.
很多同学觉得解析几何要解得全分十分困难，因此缺乏足够的自信. 其实解析几何题目也有其固定的规律，题目的大致形式是：先根据条件求出圆锥曲线的方程，再出现满足一定条件的直线，研究某些问题. 因此，只要你现在开始真正重视解析几何，揣摩几道十分典型的好题，相信解析几何得全分不是梦想. 提供一道典型的解析几何题目.
■ （2011湖南卷）如图1，椭圆C1：■+■=1（a>b>0）的离心率为■，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长.
（1）求C1、C2的方程；
（2）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A、B，直线MA、MB分别与C1相交与D、E．
①证明：MD⊥ME；
②记△MAB、△MDE的面积分别是S1、S2 ． 问：是否存在直线l，使得■=■？请说明理由.
■
解析 （1）依题意有■=■，解得a=2b；又因C2和x轴上的交点（±■，0），其线段长2■=a，解得a=2，b=1. 故C1、C2的方程分别为■+y2=1，y=x2-1.
（2）①设直线l的方程为y=kx. 由y=kxy=x2-1得x2-kx-1=0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=-1.
又点M的坐标为（0，-1），
所以kMA·kMB=■·■=■=■=■=-1.
故MA⊥MB，即MD⊥ME.
②设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x-1，由y=k1x-1y=x2-1解得点A的坐标为（k1，k21-1）. 又直线MB的斜率为-■，同理可得点B的坐标为-■，■-1.
于是S1=■MA·MB=■·■·k1·■·-■=■.
又解y=k1x-1x2+4y2-4=0得
（1+4k21）x2-8k1x=0.
解得x=0y=-1或x=■，y=■，则点D的坐标为■，■，
又直线ME的斜率为-■，同理可得点E的坐标为■，■.
于是S2=■MD·ME =■.
因此■=■4k21+■+17.
由题意知，■4k21+■+17=■，解得k21=4，或k21=■.
又由点A、B的坐标可知，k=■=k1-■，所以k=±■.
故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y=■x和y=-■x.
点评 （1）曲线方程的常见求法有：直接法、待定系数法、定义法和相关点法. 解析几何的第一问往往是送分题，一定要做正确. 做好后先检验一下再做下面的问题，如果错误，将影响后面的结果.
（2）一般地，已知一点设点斜式直线方程时，要考虑斜率不存在的情形；已知斜率设斜截式直线方程. 如本题②中利用①的结果，使两条直线的方程中只含有一个参数k1，这个也是一个重要的小技巧——尽量少设参数，减少运算量.
（3）对于阶梯式解答题，要关注问题的前后联系，使用前面的已知结论解题.
（4）本题②问中一元二次方程的常数项为0，比较特殊，采取了直接求解法. 若本题的一元二次方程的常数项不为0，怎么求交点呢？其实，本题已知了直线l和曲线C2的一个公共点M（0，－1），可以借助韦达定理来求另外一个根.
引起分类讨论的原因大致可归结为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类定义的；（2）运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果；（5）较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的.
分类讨论的基本准则是：确定分类标准，逐次分级分层；找准临界位置，不重复不遗漏.
■ （2011广东卷）设a>0，讨论函数f（x）=lnx+a（1－a）x2－2（1－a）x的单调性.
解析 已知函数f（x）的定义域为（0，+∞）. 于是可得f ′（x）=■，
设h（x）=2a（1－a）x2－2（1－a）x+1.
（1）当a=1时， f ′（x）=■>0（x>0），f（x）在（0，+∞）内为增函数；
（2）当a≠1时，方程h（x）=2a（1-a）x2－2（1－a）x+1=0的判别式Δ=12（a－1）·a－■.
①当00，h（x）有两个零点，即x1=■－■，x2=■+■，x2>x1 .
且当0x2时，f ′（x）>0，f（x）在（0，x1）与（x2，+∞）内为增函数；
当x1 ②当■≤a<1时，Δ≤0，h（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）内为增函数；
③当a>1时，1-a<0，Δ>0，x1=■－■>0，x2=■+■<0，
所以f ′（x）在定义域内有唯一零点x1，且当00，f（x）在（0，x1）内为增函数；当x>x1时，f ′（x）<0，f（x）在（x1，+∞）内为减函数.
综上，f（x）的单调区间如下表：
■
（其中x1=■－■，x2=■+■）.
点评 本题的二级讨论还可以更加清晰明了地分成如下几层：第一层，讨论二次函数2a（1－a）x2－2（1－a）x+1=0的开口方向和根的个数；第二层，讨论根与定义域的位置关系. 但这种方式较繁琐，所以我们可以先按照函数类型→二次函数开口方向→一元二次方程根的个数→根与定义域的位置关系来思考，然后把具有相同单调区间的字母a的范围进行合并来书写即可.
一般地，应用题的解题步骤分为三步：建模、解模和评价，而考生害怕应用题的主要原因是不会建模. 下面结合实例来说明建模的一般过程.
■ （2011湖南卷）如图2，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）. E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，其值与v-c×S成正比，比例系数为■；（2）其它面的淋雨量之和，其值为■. 记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=■时，写出y的表达式.
解析 物体E作匀速移动，速度为v、单位时间内的淋雨量、P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量、其它面的淋雨量之和■、总淋雨量、移动距离d=100，联系如上条件联想到常规函数模型为：
总淋雨量y=时间×单位时间内的淋雨量；而单位时间内的淋雨量=P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量+其它面的淋雨量之和■；P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量与v-c×S成正比，比例系数为■；时间=■.
代入上面的数量关系，建立数学模型：■
y=■■v-c+■=■（3v-c+10）
点评 一般地，各类典型应用题的基本模式如下：
1. 函数模型经常涉及成本投入、利润产出及关于效益、价格、流量、面积、体积等实际问题. 建立函数模型的关键是利用数量关系，列出目标函数式，注意问题中隐含量与量之间的关系.
2. 数列模型经常涉及增长率（或降低率）、利息、分期付款、产量、降价、繁殖、溶液的稀释、污水处理、土地沙化等实际问题. 建立数列模型的关键是通过观察、分析、归纳出等差数列或者等比数列，然后再利用数列知识加以解决. 有时也运用简单的递推方法建模.
3. 不等式（组）模型经常涉及统筹安排、最佳决策、最优化、水土流失、安全责任等一些有关不等量或最值的实际问题. 建立不等式（组）模型的关键是找出各变量的关系. 4. 立体与平面解析几何模型. 立体几何型经常涉及空间观测、面积、体积等实际问题. 这类问题主要是用立体几何、三角函数方面的有关知识来建模；解析几何型经常涉及人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁等实际问题，这类问题通常是通过建立直角坐标系，运用解析几何方面的有关知识来建模.
5. 三角模型经常涉及几何、物理、测量、航海、天文等方面的实际问题. 这类实际问题的数学模型的建立，关键是运用三角的知识和方法.
6. 概率模型主要涉及比赛的输赢、产品的正次等. 建模的策略是：分清事件的性质，是互斥、独立、还是等可能性事件，从而选择正确的公式建模.
7. 统计模型是以图表作为数字信息的主要载体的应用题. 解此类题型的关键是：理解图形内容，找出变化趋势和变化规律，利用相关的统计知识建模.
小题有其独特的解法，常见解法有：①直解法——跳步骤解答；②特例法——特殊值（点）法、特殊函数法、特殊数列法等；③图解法——借助图形解含有几何背景题；④归纳法——写出前几项，找规律；⑤结论法——直接运用小结论解题；⑥类比法——据两类对象在某些属性上相同或相似推理；⑦对等法. 对等法就是根据“对等的条件应有对等的结果”的理念实现问题简化，从而使问题获得解决. 对等法主要用于题设条件和题设结论中变量都含有对等特征的题目.
■ （2011浙江卷）设x，y为实数，若x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是________.
解析 本题的常规解法是综合运用基本不等式和一元二次不等式进行解题，但是这样没有实现小题小做的理念. 不难发现，变量x，y在题设条件和题设结论中地位对等，因此x，y相等时x+y应该取得最大值. 把x=y代入x2+y2+xy=1解得，x=y=±■，此时x+y=±■，故x+y的最大值是■.
答案 ■.
点评 高考数学中的选择题为单项选择题，而且都是“四择一”形式. 因此，还可以采用筛选判断法解选择题. 筛选判断法包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证，或用逻辑排除法，即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定．
熟记一些小结论，不仅能启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，还对提升数学成绩起到很大的作用. 下面我们列举出26个非常重要的结论.
1. 集合｛a1，a2，…，an｝的子集个数共有2n个；真子集有2n－1个；非空子集有2n－1个；非空的真子集有2n－2个.
2. 若f（x）是偶函数，那么f（x）=f（－x）=f（x）；定义域含零的奇函数必过原点（f（0）=0）.
3. 在公共定义域内，增函数f（x）+增函数g（x）是增函数；减函数f（x）+减函数g（x）是减函数；增函数f（x）－减函数g（x）是增函数；减函数f（x）－增函数g（x）是减函数.
4. 复合函数y=f［g（x）］在公共定义域上的单调性：若f与g的单调性相同，则f［g（x）］为增函数； 若f与g的单调性相反，则f［g（x）］为减函数.
5. 若y=f（x）对x∈R时，f（a+x）=f（b－x）恒成立?圳y=f（x）图像关于直线x=■对称；若y=f（x）对x∈R时，f（a+x）=－f（b－x）恒成立?圳y=f（x）图像关于点（■，0）对称；若y=f（x）对x∈R时，f（a+x）=f（b+x）恒成立?圳y=f（x）的周期为|a－b|对称.
6. 若f（x+a）=－f（x）或f（x+a）=■（f（x）≠0）或f（x+a）=－■（f（x）≠0），则f（x）的周期T=2a（a≠0）.
7. 方程k=f（x）有解?圳k∈D（D为f（x）的值域）；a≥f（x）恒成立?圳a≥［f（x）］最大值， a≤f（x）恒成立?圳a≤［f（x）］最小值 .
8. 函数y=ax+■（a>0，b>0）的增区间为－∞，－■，■，+∞，减区间为－■，0，0，■.
9. 若m+n=l+k（m，n，l，k∈N*），则在等差数列中有am+an=al+ak，在等比数列中有aman=alak，但反之不一定成立.
10. 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等差数列；在等比数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…（注：各项均不为0）仍是等比数列（m∈N*）.
11. 已知Sn求an用作差法：an=S1， （n=1）Sn－Sn-1，（n≥2）；已知a1·a2·…·an=f（n）求an，用作商法：an=f（1）， （n=1）■，（n≥2）；已知an+1－an=f（n）求an用迭加法；已知■=f（n），求an用迭乘法.
12. 常见裂项公式■=■－■；■=■（■－■）；■=■［■－■］.
13. asinx+bcosx=■sin（x+φ）（其中tanφ=■）；（sinx±cosx）2=1±2sinxcosx=1±sin2x.
14. P1，P，P2三点共线?圳存在实数λ、μ使得■=λ■+μ■且λ+μ=1.
15. a、b同向或有0?圳a+b=a+b≥a+b=a-b；a、b反向或有0?圳a-b=a+b≥a-b=a+b；a·b不共线?圳a-b 16. 若a，b>0，则■≥■≥■≥■（当且仅当a=b时取等号）；若a，b，c∈R，则■≥■2，ab≤■2，a2+b2+c2≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）.
17. （1）定点直线系方程：经过定点P0（x0，y0）的直线系方程为y－y0=k（x－x0）（除直线x=x0），其中k是待定系数. （2）与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+λ=0（λ≠C），λ是待定系数. （3）垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0 （A≠0，B≠0）垂直的直线系方程是Bx－Ay+λ=0，λ是待定系数.
18. 解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用（如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等）. 19. （1）过直线l:Ax+By+C=0与圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0，λ是待定的系数.
（2）过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程是x2+y2+D1x+E1y+F1+λ［（Ｄ1-D2）x+（E2-E1）y+F2-F1］=0，λ是待定的系数.
20. 在椭圆中，有由a，b，c构成的三角形，a2=b2+c2；若点P在椭圆上运动，则当点P在短轴端点时，张角∠F1PF2最大，点P在点A时，点P到右焦点距离最近，点P在点B时，点P到右焦点距离最远.
21. （1）若双曲线方程为■－■=1?圯渐近线方程：■－■=0?圳y=±■x. （2）若渐近线方程为y=±■x?圳■±■=0?圯双曲线方程为■－■=λ. （3）若双曲线与■－■=1有公共渐近线，可设为■－■=λ（λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上）.
22. （1）抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1，y1）、B（x2，y2），则有如下结论：①AB=x1+x2+p；②x1x2=■，y1y2=－p2； ③■+■=■. （2）对于y2=2px（p≠0）抛物线上的点的坐标可设为■，y0，以简化计算.
23. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =■或AB=■x1－x2=■=■·y1－y2（弦端点A（x1，y1），B（x2，y2），由方程y=kx+cF（x，y）=0消去y得到ax2+bx+c=0，Δ>0，k为斜率）. 这里体现了解几中“设而不求”的思想；
24. （1）AB和平面所成的角是θ1，AC在平面内，AC和AB的射影AB1成θ2，设∠BAC=θ3，则cosθ1cosθ2=cosθ3；（2）面积射影公式S射=S斜cosθ.
25. 数学期望和方差：（1）E（aξ+b）=aEξ+b：D（aξ+b）=a2Dξ. （2）Dξ=Eξ2－（Eξ）2.
26. 复数中的重要结论：（1）z·z=z2=■2；（2）（1±i）2=±2i；（3）■=i，■=－i；（4）in+in+1+in+2+in+3=0（n∈N）.
拿到试卷后，不要立即着手答题，而应先通览一遍整套试卷，摸清题型，并关注以下三个方面：1. 看看试卷上的参考公式应该在哪道题中用到；2. 把题目中小括号括起来的部分做个标志，那往往是解题的关键；3. 找出各小问之间有阶梯关系的解答题，前问的结论在后问中可以直接使用.
孙子云：“知己知彼，百战不殆.”下面谈谈评分原则.
阅卷老师是直接寻找正确的答案给分的，多写不扣分，写了就可能得分. 在阅卷时，笔者时常会见到这样的情形，学生自己把“得分点”给划掉了. 其实即使是错误的内容保留在那里没有划掉，阅卷老师也会“视而不见”的，不倒扣你的分.
解答题是按步骤给分，按“点”给分的. 当遇到不能完全解答的题目时，可根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或者判断，把解题思路写到答卷上. 有时，写出一些相关的公式或知识，往往会有一些分数的，尤其当试卷非常难的时候.
同一道题， 如果考生第一问答错了或未答， 但答对了第二问， 第二问仍给满分. 所以当解题过程中卡在某一环节上时， 考生可以先跳过这个环节， 承认其相关结论，再往后推， 看能否得到最终结论.
一般地，评卷时对中档题（三角函数、立体几何、概率、应用题等）的答题规范要求非常高. 考生解题时要特别注意表达准确、书写规范、不胡乱跳步，不缺失关键条件， 避免因“对而不全”失分. 譬如说，立体几何证明题按推理过程的逻辑段给分，一个或几个逻辑段组成一个给分段，每个给分段整体给分. 只有给或不给，不能拆分给. 每个逻辑段由条件和结论组成，无结论不成段，不给分，关键条件缺省也不给分（最好把每个条件都写上！）. 每小问中独立的给分段独立给分，具有逻辑先后关系的给分段，一个给分段错，则下面给分段都错. 比如批阅2011江苏考卷15题（满分14分）时，若由“sinAcos■+cosAsin■=2cosA”直接推出“tanA=■”，缺失步骤“sinA=■cosA”会减2分，由“sinA=■”直接得到“A=■”，缺失“0 我坚信，只要你按照《高考数学考前九大捞分策略》中的策略来做，2012年高考数学成绩会高得让你难以置信！
■ （2011全国卷）复数z=1+i，■为z的共轭复数，则z■－z－1=（ ）
A． －2i B． －i C． i D． 2i
解析 z■－z－1=（1+i）·（1－i）－（1+i）－1=2－2－i=－i，故本题答案选B.
答案 B
最后冲刺的阶段，建议考生把以前的大型考试试卷、综合复习中的随堂试卷收集整理，建立自己的专项错题库，特别是对于那些因为概念理解不深刻、知识记忆失误、思维不够严谨、方法使用不当的典型错误，一定要收集成册并加强研究，找出错误的原因. 做错题笔记包括3个方面: （1）记下错误是什么，最好用红笔画出；（2）错误原因是什么，从审题、题目归类、重现知识和找出答案这4个环节来分析；（3）错误纠正方法及注意事项. 譬如说，若你不能区分交集符号“∩”和并集符号“∪”，则可以背口诀“交集符号是个桥‘∩’，并集符号是个槽‘∪’”来区分. 通过自编口诀来记忆易混淆的知识点既形象又不易遗忘. 再譬如，若做“已知Sn求an”的题型时，经常忽视Sn－Sn-1=an成立的条件是“n≥2”.
■ （1）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）－f（4）=_______.
（2）已知cosx－■=■， x∈■，■，则sinx的值等于____.
（3）观察下列各式：则72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（ ）
A. 01 B. 43
C. 07 D. 49
解析 （1）f（3）－f（4）=f（－2）－f（－1）=
－f（2）+f（1）=－1；（2）把所求角x表示为x=x－■+■，然后展开后就可以计算出sinx=■；（3）设an=7n，a2=49，a3=343，a4=2401，a5=16807，a6=117649，故相隔四项末属两位数字相同，a2011与a3的末尾项相等，故选B.
点评 这三道小题都是“知值求值”问题，但是有些同学常常找不到思路，或者把运算复杂化，导致浪费考试时间，甚至结果运算错误. 其实只要树立“把所求函数值中自变量通过周期性、单调性和奇偶性化到已知值”的意识即可. 因此，在最后的复习中要善于总结自己的疏漏和缺失知识点.
近几年，数学高考试题中对基础知识、基本技能、基本方法的考查所占分值已达试卷分值的80%左右. 另一方面，解题速度的快慢主要取决于基本技能、基本方法的熟练程度及能力的高低. 可见，在考前切实重温基础知识的同时应加强对基本技能和基本方法的回顾.
■ （2011天津卷）设函数f（x）=x2-1． 对任意x∈■，+∞， f■-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析 我们不难把题目化为1-■+4m2≥g（x）=■，对任意x∈■，+∞恒成立的问题． 为此需求g（x）=■，x∈■，+∞的最大值，这就需要用换元法求解，一种换元法是设u=■，则0
很多同学觉得解析几何要解得全分十分困难，因此缺乏足够的自信. 其实解析几何题目也有其固定的规律，题目的大致形式是：先根据条件求出圆锥曲线的方程，再出现满足一定条件的直线，研究某些问题. 因此，只要你现在开始真正重视解析几何，揣摩几道十分典型的好题，相信解析几何得全分不是梦想. 提供一道典型的解析几何题目.
■ （2011湖南卷）如图1，椭圆C1：■+■=1（a>b>0）的离心率为■，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长.
（1）求C1、C2的方程；
（2）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A、B，直线MA、MB分别与C1相交与D、E．
①证明：MD⊥ME；
②记△MAB、△MDE的面积分别是S1、S2 ． 问：是否存在直线l，使得■=■？请说明理由.
■
解析 （1）依题意有■=■，解得a=2b；又因C2和x轴上的交点（±■，0），其线段长2■=a，解得a=2，b=1. 故C1、C2的方程分别为■+y2=1，y=x2-1.
（2）①设直线l的方程为y=kx. 由y=kxy=x2-1得x2-kx-1=0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=-1.
又点M的坐标为（0，-1），
所以kMA·kMB=■·■=■=■=■=-1.
故MA⊥MB，即MD⊥ME.
②设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x-1，由y=k1x-1y=x2-1解得点A的坐标为（k1，k21-1）. 又直线MB的斜率为-■，同理可得点B的坐标为-■，■-1.
于是S1=■MA·MB=■·■·k1·■·-■=■.
又解y=k1x-1x2+4y2-4=0得
（1+4k21）x2-8k1x=0.
解得x=0y=-1或x=■，y=■，则点D的坐标为■，■，
又直线ME的斜率为-■，同理可得点E的坐标为■，■.
于是S2=■MD·ME =■.
因此■=■4k21+■+17.
由题意知，■4k21+■+17=■，解得k21=4，或k21=■.
又由点A、B的坐标可知，k=■=k1-■，所以k=±■.
故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y=■x和y=-■x.
点评 （1）曲线方程的常见求法有：直接法、待定系数法、定义法和相关点法. 解析几何的第一问往往是送分题，一定要做正确. 做好后先检验一下再做下面的问题，如果错误，将影响后面的结果.
（2）一般地，已知一点设点斜式直线方程时，要考虑斜率不存在的情形；已知斜率设斜截式直线方程. 如本题②中利用①的结果，使两条直线的方程中只含有一个参数k1，这个也是一个重要的小技巧——尽量少设参数，减少运算量.
（3）对于阶梯式解答题，要关注问题的前后联系，使用前面的已知结论解题.
（4）本题②问中一元二次方程的常数项为0，比较特殊，采取了直接求解法. 若本题的一元二次方程的常数项不为0，怎么求交点呢？其实，本题已知了直线l和曲线C2的一个公共点M（0，－1），可以借助韦达定理来求另外一个根.
引起分类讨论的原因大致可归结为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类定义的；（2）运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果；（5）较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的.
分类讨论的基本准则是：确定分类标准，逐次分级分层；找准临界位置，不重复不遗漏.
■ （2011广东卷）设a>0，讨论函数f（x）=lnx+a（1－a）x2－2（1－a）x的单调性.
解析 已知函数f（x）的定义域为（0，+∞）. 于是可得f ′（x）=■，
设h（x）=2a（1－a）x2－2（1－a）x+1.
（1）当a=1时， f ′（x）=■>0（x>0），f（x）在（0，+∞）内为增函数；
（2）当a≠1时，方程h（x）=2a（1-a）x2－2（1－a）x+1=0的判别式Δ=12（a－1）·a－■.
①当0
且当0
当x1
③当a>1时，1-a<0，Δ>0，x1=■－■>0，x2=■+■<0，
所以f ′（x）在定义域内有唯一零点x1，且当0
综上，f（x）的单调区间如下表：
■
（其中x1=■－■，x2=■+■）.
点评 本题的二级讨论还可以更加清晰明了地分成如下几层：第一层，讨论二次函数2a（1－a）x2－2（1－a）x+1=0的开口方向和根的个数；第二层，讨论根与定义域的位置关系. 但这种方式较繁琐，所以我们可以先按照函数类型→二次函数开口方向→一元二次方程根的个数→根与定义域的位置关系来思考，然后把具有相同单调区间的字母a的范围进行合并来书写即可.
一般地，应用题的解题步骤分为三步：建模、解模和评价，而考生害怕应用题的主要原因是不会建模. 下面结合实例来说明建模的一般过程.
■ （2011湖南卷）如图2，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）. E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，其值与v-c×S成正比，比例系数为■；（2）其它面的淋雨量之和，其值为■. 记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=■时，写出y的表达式.
解析 物体E作匀速移动，速度为v、单位时间内的淋雨量、P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量、其它面的淋雨量之和■、总淋雨量、移动距离d=100，联系如上条件联想到常规函数模型为：
总淋雨量y=时间×单位时间内的淋雨量；而单位时间内的淋雨量=P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量+其它面的淋雨量之和■；P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量与v-c×S成正比，比例系数为■；时间=■.
代入上面的数量关系，建立数学模型：■
y=■■v-c+■=■（3v-c+10）
点评 一般地，各类典型应用题的基本模式如下：
1. 函数模型经常涉及成本投入、利润产出及关于效益、价格、流量、面积、体积等实际问题. 建立函数模型的关键是利用数量关系，列出目标函数式，注意问题中隐含量与量之间的关系.
2. 数列模型经常涉及增长率（或降低率）、利息、分期付款、产量、降价、繁殖、溶液的稀释、污水处理、土地沙化等实际问题. 建立数列模型的关键是通过观察、分析、归纳出等差数列或者等比数列，然后再利用数列知识加以解决. 有时也运用简单的递推方法建模.
3. 不等式（组）模型经常涉及统筹安排、最佳决策、最优化、水土流失、安全责任等一些有关不等量或最值的实际问题. 建立不等式（组）模型的关键是找出各变量的关系. 4. 立体与平面解析几何模型. 立体几何型经常涉及空间观测、面积、体积等实际问题. 这类问题主要是用立体几何、三角函数方面的有关知识来建模；解析几何型经常涉及人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁等实际问题，这类问题通常是通过建立直角坐标系，运用解析几何方面的有关知识来建模.
5. 三角模型经常涉及几何、物理、测量、航海、天文等方面的实际问题. 这类实际问题的数学模型的建立，关键是运用三角的知识和方法.
6. 概率模型主要涉及比赛的输赢、产品的正次等. 建模的策略是：分清事件的性质，是互斥、独立、还是等可能性事件，从而选择正确的公式建模.
7. 统计模型是以图表作为数字信息的主要载体的应用题. 解此类题型的关键是：理解图形内容，找出变化趋势和变化规律，利用相关的统计知识建模.
小题有其独特的解法，常见解法有：①直解法——跳步骤解答；②特例法——特殊值（点）法、特殊函数法、特殊数列法等；③图解法——借助图形解含有几何背景题；④归纳法——写出前几项，找规律；⑤结论法——直接运用小结论解题；⑥类比法——据两类对象在某些属性上相同或相似推理；⑦对等法. 对等法就是根据“对等的条件应有对等的结果”的理念实现问题简化，从而使问题获得解决. 对等法主要用于题设条件和题设结论中变量都含有对等特征的题目.
■ （2011浙江卷）设x，y为实数，若x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是________.
解析 本题的常规解法是综合运用基本不等式和一元二次不等式进行解题，但是这样没有实现小题小做的理念. 不难发现，变量x，y在题设条件和题设结论中地位对等，因此x，y相等时x+y应该取得最大值. 把x=y代入x2+y2+xy=1解得，x=y=±■，此时x+y=±■，故x+y的最大值是■.
答案 ■.
点评 高考数学中的选择题为单项选择题，而且都是“四择一”形式. 因此，还可以采用筛选判断法解选择题. 筛选判断法包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证，或用逻辑排除法，即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定．
熟记一些小结论，不仅能启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，还对提升数学成绩起到很大的作用. 下面我们列举出26个非常重要的结论.
1. 集合｛a1，a2，…，an｝的子集个数共有2n个；真子集有2n－1个；非空子集有2n－1个；非空的真子集有2n－2个.
2. 若f（x）是偶函数，那么f（x）=f（－x）=f（x）；定义域含零的奇函数必过原点（f（0）=0）.
3. 在公共定义域内，增函数f（x）+增函数g（x）是增函数；减函数f（x）+减函数g（x）是减函数；增函数f（x）－减函数g（x）是增函数；减函数f（x）－增函数g（x）是减函数.
4. 复合函数y=f［g（x）］在公共定义域上的单调性：若f与g的单调性相同，则f［g（x）］为增函数； 若f与g的单调性相反，则f［g（x）］为减函数.
5. 若y=f（x）对x∈R时，f（a+x）=f（b－x）恒成立?圳y=f（x）图像关于直线x=■对称；若y=f（x）对x∈R时，f（a+x）=－f（b－x）恒成立?圳y=f（x）图像关于点（■，0）对称；若y=f（x）对x∈R时，f（a+x）=f（b+x）恒成立?圳y=f（x）的周期为|a－b|对称.
6. 若f（x+a）=－f（x）或f（x+a）=■（f（x）≠0）或f（x+a）=－■（f（x）≠0），则f（x）的周期T=2a（a≠0）.
7. 方程k=f（x）有解?圳k∈D（D为f（x）的值域）；a≥f（x）恒成立?圳a≥［f（x）］最大值， a≤f（x）恒成立?圳a≤［f（x）］最小值 .
8. 函数y=ax+■（a>0，b>0）的增区间为－∞，－■，■，+∞，减区间为－■，0，0，■.
9. 若m+n=l+k（m，n，l，k∈N*），则在等差数列中有am+an=al+ak，在等比数列中有aman=alak，但反之不一定成立.
10. 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等差数列；在等比数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…（注：各项均不为0）仍是等比数列（m∈N*）.
11. 已知Sn求an用作差法：an=S1， （n=1）Sn－Sn-1，（n≥2）；已知a1·a2·…·an=f（n）求an，用作商法：an=f（1）， （n=1）■，（n≥2）；已知an+1－an=f（n）求an用迭加法；已知■=f（n），求an用迭乘法.
12. 常见裂项公式■=■－■；■=■（■－■）；■=■［■－■］.
13. asinx+bcosx=■sin（x+φ）（其中tanφ=■）；（sinx±cosx）2=1±2sinxcosx=1±sin2x.
14. P1，P，P2三点共线?圳存在实数λ、μ使得■=λ■+μ■且λ+μ=1.
15. a、b同向或有0?圳a+b=a+b≥a+b=a-b；a、b反向或有0?圳a-b=a+b≥a-b=a+b；a·b不共线?圳a-b
17. （1）定点直线系方程：经过定点P0（x0，y0）的直线系方程为y－y0=k（x－x0）（除直线x=x0），其中k是待定系数. （2）与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+λ=0（λ≠C），λ是待定系数. （3）垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0 （A≠0，B≠0）垂直的直线系方程是Bx－Ay+λ=0，λ是待定系数.
18. 解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用（如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等）. 19. （1）过直线l:Ax+By+C=0与圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0，λ是待定的系数.
（2）过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程是x2+y2+D1x+E1y+F1+λ［（Ｄ1-D2）x+（E2-E1）y+F2-F1］=0，λ是待定的系数.
20. 在椭圆中，有由a，b，c构成的三角形，a2=b2+c2；若点P在椭圆上运动，则当点P在短轴端点时，张角∠F1PF2最大，点P在点A时，点P到右焦点距离最近，点P在点B时，点P到右焦点距离最远.
21. （1）若双曲线方程为■－■=1?圯渐近线方程：■－■=0?圳y=±■x. （2）若渐近线方程为y=±■x?圳■±■=0?圯双曲线方程为■－■=λ. （3）若双曲线与■－■=1有公共渐近线，可设为■－■=λ（λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上）.
22. （1）抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1，y1）、B（x2，y2），则有如下结论：①AB=x1+x2+p；②x1x2=■，y1y2=－p2； ③■+■=■. （2）对于y2=2px（p≠0）抛物线上的点的坐标可设为■，y0，以简化计算.
23. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =■或AB=■x1－x2=■=■·y1－y2（弦端点A（x1，y1），B（x2，y2），由方程y=kx+cF（x，y）=0消去y得到ax2+bx+c=0，Δ>0，k为斜率）. 这里体现了解几中“设而不求”的思想；
24. （1）AB和平面所成的角是θ1，AC在平面内，AC和AB的射影AB1成θ2，设∠BAC=θ3，则cosθ1cosθ2=cosθ3；（2）面积射影公式S射=S斜cosθ.
25. 数学期望和方差：（1）E（aξ+b）=aEξ+b：D（aξ+b）=a2Dξ. （2）Dξ=Eξ2－（Eξ）2.
26. 复数中的重要结论：（1）z·z=z2=■2；（2）（1±i）2=±2i；（3）■=i，■=－i；（4）in+in+1+in+2+in+3=0（n∈N）.
拿到试卷后，不要立即着手答题，而应先通览一遍整套试卷，摸清题型，并关注以下三个方面：1. 看看试卷上的参考公式应该在哪道题中用到；2. 把题目中小括号括起来的部分做个标志，那往往是解题的关键；3. 找出各小问之间有阶梯关系的解答题，前问的结论在后问中可以直接使用.
孙子云：“知己知彼，百战不殆.”下面谈谈评分原则.
阅卷老师是直接寻找正确的答案给分的，多写不扣分，写了就可能得分. 在阅卷时，笔者时常会见到这样的情形，学生自己把“得分点”给划掉了. 其实即使是错误的内容保留在那里没有划掉，阅卷老师也会“视而不见”的，不倒扣你的分.
解答题是按步骤给分，按“点”给分的. 当遇到不能完全解答的题目时，可根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或者判断，把解题思路写到答卷上. 有时，写出一些相关的公式或知识，往往会有一些分数的，尤其当试卷非常难的时候.
同一道题， 如果考生第一问答错了或未答， 但答对了第二问， 第二问仍给满分. 所以当解题过程中卡在某一环节上时， 考生可以先跳过这个环节， 承认其相关结论，再往后推， 看能否得到最终结论.
一般地，评卷时对中档题（三角函数、立体几何、概率、应用题等）的答题规范要求非常高. 考生解题时要特别注意表达准确、书写规范、不胡乱跳步，不缺失关键条件， 避免因“对而不全”失分. 譬如说，立体几何证明题按推理过程的逻辑段给分，一个或几个逻辑段组成一个给分段，每个给分段整体给分. 只有给或不给，不能拆分给. 每个逻辑段由条件和结论组成，无结论不成段，不给分，关键条件缺省也不给分（最好把每个条件都写上！）. 每小问中独立的给分段独立给分，具有逻辑先后关系的给分段，一个给分段错，则下面给分段都错. 比如批阅2011江苏考卷15题（满分14分）时，若由“sinAcos■+cosAsin■=2cosA”直接推出“tanA=■”，缺失步骤“sinA=■cosA”会减2分，由“sinA=■”直接得到“A=■”，缺失“0