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摘 要：本节课运用问题提出教学模式，循序渐进，层层设问，引导学生探究归纳出指数函数定义。运用几何画板动态效果，生动形象地绘制出指数函数的图像，让学生对知识函数的定义和性质体会更深。同时在学习指数函数的过程中渗透辩证唯物主义的思想，把学生培养成为具有哲学思想的人。
关键词：指数函数;底数;指数;辩证唯物主义
一、 创设情境，引入实例
教师提出问题：同学们玩过折纸吗？你相信一张纸能带你上月球吗？带着这个问题，我们来进入今天的学习内容。
接下来教师播放1分10秒的小视频《指数爆炸》，并请学生在观看后回答问题：折纸的过程中，纸张的哪两个属性会发生变化？
学生回答：纸的厚度和面积。
教师：假设一张纸的厚度为1个单位，面积为1个单位。理想状态下，如果不考虑纸的延展性，这张纸可以折叠无数次。当这张纸折叠1次，2次，3次，乃至x次时，你能推算出纸的厚度和纸的面积分别是多少吗？请同学们通过小组合作，完成下表。（小组合作探究后请两个小组代表发言）
学生填写表格：
折叠次数纸的厚度纸的面积
12=2112=121
24=2214=122
38=2318=123
………
x2x12x
教师：由表格，我们能得到哪两个函数解析式呢？
学生：一是纸折叠后的厚度与折叠次数的函数y=2x，二是纸折叠后的面积与折叠次数的函数y=12x。
设计意图：学生通过反复折叠纸的操作过程，分别抽象出指数函数y=2x，y=12x，既满足了指数函数按底数划分的两类函数，又满足了教材上所举的函数例子，达到了灵活处理教材的目的。纸在反复折叠的过程中，随着折叠次数的增加，厚度呈指数型增长，而面积却呈指数型减少，学生可初步感受由底数不同带来的指数函数性质的不同，充分经历从数学情境中抽象出指數函数特例的过程，为后面引出指数函数的概念做铺垫。
二、 讨论底数，归纳结论
教师提出问题：函数y=2x，y=12x，与我们之前所学的函数有何不同？
（提示：未知数的位置在哪？）
教师：像这种指数位置为x，底数位置为常数2或者12的函数，我们称之为指数函数。也就是说，形如y=ax的函数叫作指数函数（此时板书定义的一部分）。大家还能举几个例子吗？
教师提出问题：底数a为负数可不可以？如y=-3x。
学生回答：指数函数底数为负数会导致某些值没有意义，比如x=12。
教师：为了让x取遍所有的实数，规定指数函数的底数为正数，即底数a>0。
教师提出问题：除了底数a>0，同时底数还要满足什么条件？
学生回答：底数不等于1。当底数a=1，那么1x=1，没有研究的意义。
教师继续板书补充指数函数的定义：形如y=ax（a>0，且a≠1）的函数叫作指数函数。
设计意图：指数函数是高中阶段学习的第一个函数，不同于初中学的函数。引导学生观察指数函数底数位置和指数位置，未知数x在指数位置，再辨析底数a的取值范围，这一过程经历了特殊到一般，具体到抽象的过程，有利于培养学生的数学抽象素养。
教师介绍指数函数的历史出处：
1748年时，世界著名数学家欧拉，在著作《无穷分析引论》（Introduction to Analysis of the Infinite）中对指数函数进行了明确和详细的介绍。
设计意图：让学生了解指数函数的出处和产生时间，有利于让学生了解知识产生的背后，数学家起着重要的作用。
【例1】 下列函数是否是指数函数。
（1）y=2·3x
（2）y=-3x（系数错误）
（3）y=（-4）x（底数错误）
（4）y=x3（指数错误）
（5）y=3-x
（6）y=πx（正确）
当学生回答正确时，追问学生回答为什么不是指数函数，分别表扬学生突破了系数、指数、底数错误关卡。
接着，教师帮助学生总结判断一个函数为指数函数y=ax（a>0，且a≠1）需满足的条件：（1）系数为1;（2）底数a>0，且a≠1;（3）指数位置仅有自变量x。
设计意图：例题1有利于加深学生对指数函数概念的理解与掌握，同时通过关卡这一游戏氛围，激发学生的学习兴趣。
三、 对象阶段：利用技术，探索性质
教师：研究函数一般从函数的图像分析函数的性质，你还记得用什么方法画函数的图像吗？
学生回答：描点法。
教师提问：你能用描点法画出指数函数y=2x的函数图像吗？
学生画好图像后，教师也用几何画板展示出图像（这里可以适当表扬学生）
设计意图：学生动手操作，初步感知指数函数的图像，积累数学活动经验。
教师提出问题：同学们现在可以根据这个特殊的函数图像发现指数函数的性质，如奇偶性、周期性、对称性、单调性吗？
学生摇摇头说：发现它在定义域上单调递减的。
教师：除了这一点，别的发现不了对不对？回到我们指数函数的定义，同学们有没有注意到指数函数的底数是会变化的呢？
学生：对，会变化。
教师：那我们可不可以利用底数的变化来找到指数函数的性质呢？其实，马克思的辩证唯物主义思想给了我们答案。我们一起来看一下。马克思曾说，事物的运动发展是变与不变的统一。我们要认识与把握不变中有变，变中有不变。这个“变中有不变”即如：虽然我国成为世界第二大经济体，经济实力和综合国力显著增强，但我国仍处于并将长期处于社会主义初级阶段的基本国情没有变。所以我们仍需不断努力，不断奋斗。那么，同学们说，我们应如何利用“变中有不变”这一思想来发现指数函数蕴含的规律呢？ 学生：改变a的大小。
教师：对了。同学们真聪明。下面是老师用几何画板画出来的指数函数图像（见图1）。
这里的AP就代表着底数a的大小，那么你们能利用我的课件探索出指数函数蕴含的规律吗？下面请一位小老师带领我们一起探究吧！这次的探究任务是小老师带领大家完成下面图2的表格。
教师：好，小方同学，你来。好了，非常好。我们的小方同学顺利完成了探究任务。
（教师对刚才的探究成果进行回顾与强调，学生反思领悟）
设计意图：让学生利用哲学中“变中有不变”的思想经历数学发现的过程，一方面可以让学生明白哲学可以指导我们的探索发现，另一方面也把课堂还给了学生，让学生成为学习的主体，体现了以人为本的教学理念。
教师：好了，同学们，我们利用辩证唯物主义中“变中有不变”的思想已经找到了指数函数的单调性，那我们看看，还能不能找出其他的性质。这时，马克思的辩证唯物主义思想又给了我们启發：世界是一个相互联系的统一整体，其中没有任何事物是孤立存在的，整个世界就是一幅由种种联系交织起来的丰富多彩的画面。那么，我们该如何利用联系的观点探究指数函数的性质呢？
学生：再画一个函数，看看两个函数之间的联系。
教师：对了，我们的同学非常聪明。下面请同学们画出指数函数y=12x的图像吧。
教师提问：函数y=2x的图像与函数y=12x的图像有什么关系？
学生回答：关于y轴对称。
教师追问：为什么这两个函数对称呢？（教师利用几何画板作图进行提示见图3）
因为两图像中任意一对对称点到y轴的距离是相等的。
教师提问：可否利用对称性，y=2x的图像画出y=12x的图像？
教师追问：能否根据指数运算的性质的角度解释以下为什么可以利用y=2x的图像画出y=12x的图像吗？（教师利用几何画板作图进行提示）
根据指数运算性质，y=12x=（2-1）x=2-x，点（x，y）与点（-x，y）关于y轴对称，y=2x图像上任一点P（x，y）关于y轴对称的点P1（-x，y）都在y=12x的图像上。所以，根据这种对称性，就可以利用y=2x的图像画出y=12x的图像。
教师：既然我们发现了y=2x和y=12x这两个特殊函数的图像是对称的，那么，由此，你能提出什么猜想呢？
学生：对于任意的底数a，当两个指数函数的底数互为倒数时，这两个指数函数的图像对称。此时教师用几何画板作图进行验证。
设计意图：引导学生再一次运用哲学中“联系”的观点来探究指数函数的性质——对称性，让学生体会哲学与数学探究之间的联系。利用几何画板进行教学，形象直观，有利于学生用抽象的数学符号语言解释问题。
教师引导学生对上述探究得出的性质做出归纳总结。
四、 应用知识，总结方法
【例2】 求下列函数的定义域与值域
（1）y=22x-x2 （2）y=13x-2
练习题：课本第68页第二题第（1）（2）小题。
【例3】 已知不等式am 练习题：课本第70页B组第1题。
【例4】 折纸情境二：现有一张厚度为0.01cm的正方形A4纸。（小组合作）
（1）请你计算这张纸折叠7次后，纸的厚度是多少cm？折叠x次后，纸的厚度y应如何表示？
折叠7次后，纸的厚度是0.01×27=1.28cm;折叠x次后，纸的厚度y=0.01×2x。
教师总结（1）小问：在实际问题中，我们经常会遇到像y=0.01×2x这样的函数，我们把形如y=kax（k∈R，a>0，且a≠1）的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型。
（2）你能结合纸的厚度和面积的两个函数图像，谈谈理想状态下，为什么这张纸的折叠厚度可达月球高度甚至更远呢？谈谈实际上，为什么这张纸的折叠次数是有限的呢？（教师拖动几何画板提示学生，如图4）
学生回答：理想状态下，结合图像可知，这张纸折叠的次数越多，它的厚度会呈指数型增长，那么折叠很多很多次之后，纸的厚度就可以达到月球的高度甚至更远。
学生回答：实际上，结合图像知，这张纸折叠的次数越多，其厚度与面积的差距会越来越大，纸折叠的阻力就会越来越大，所以折叠次数是有限的。
设计意图：一方面介绍指数型函数，另一方面让学生从数学的角度去考虑和解释实际问题，让学生初步体会有限与无限的过程，以及极限的思想，有利于达成情感目标。
教师进行课堂总结：
1. 什么是指数函数？
2. 什么是指数型函数？
3. 指数函数有什么性质？我们是如何找到这些性质的？用到了哪些思想方法？
4. 指数函数与我们以前学习过的函数有什么联系呢？（建立思维导图）
设计意图：让学生强化本节课主要知识的记忆，让学生将本节课知识与前后知识联系起来，有利于达成教学目标中的知识目标。让学生回顾探究过程，体会探究过程中所蕴含的数学思想方法，有利于达成教学目标中的过程与方法目标。
教师进行课后作业的布置：
1. 必做题：课本第69页上的5、6、9、10、11、12题。
2. 选做题：（1）请同学们课后查阅资料，寻找指数函数在生活中有哪些应用？
（2）理想状态下，一张纸折叠多少次能接近你的身高？如何计算？
参考文献：
[1]王学潮.高中哲学教材中两处“看本质”的异同[J].教学月刊（中学版下），2005（1）：12-13.
[2]缪芳.基于“过程教学”下的数学定理教学的研究[D].福建师范大学，2009.
[3]周星辰.Maple在高中数学教学中的应用[D].广州大学，2017.
作者简介：
王文义，朱惠英，何男，广西壮族自治区桂林市，桂林中学。
关键词：指数函数;底数;指数;辩证唯物主义
一、 创设情境，引入实例
教师提出问题：同学们玩过折纸吗？你相信一张纸能带你上月球吗？带着这个问题，我们来进入今天的学习内容。
接下来教师播放1分10秒的小视频《指数爆炸》，并请学生在观看后回答问题：折纸的过程中，纸张的哪两个属性会发生变化？
学生回答：纸的厚度和面积。
教师：假设一张纸的厚度为1个单位，面积为1个单位。理想状态下，如果不考虑纸的延展性，这张纸可以折叠无数次。当这张纸折叠1次，2次，3次，乃至x次时，你能推算出纸的厚度和纸的面积分别是多少吗？请同学们通过小组合作，完成下表。（小组合作探究后请两个小组代表发言）
学生填写表格：
折叠次数纸的厚度纸的面积
12=2112=121
24=2214=122
38=2318=123
………
x2x12x
教师：由表格，我们能得到哪两个函数解析式呢？
学生：一是纸折叠后的厚度与折叠次数的函数y=2x，二是纸折叠后的面积与折叠次数的函数y=12x。
设计意图：学生通过反复折叠纸的操作过程，分别抽象出指数函数y=2x，y=12x，既满足了指数函数按底数划分的两类函数，又满足了教材上所举的函数例子，达到了灵活处理教材的目的。纸在反复折叠的过程中，随着折叠次数的增加，厚度呈指数型增长，而面积却呈指数型减少，学生可初步感受由底数不同带来的指数函数性质的不同，充分经历从数学情境中抽象出指數函数特例的过程，为后面引出指数函数的概念做铺垫。
二、 讨论底数，归纳结论
教师提出问题：函数y=2x，y=12x，与我们之前所学的函数有何不同？
（提示：未知数的位置在哪？）
教师：像这种指数位置为x，底数位置为常数2或者12的函数，我们称之为指数函数。也就是说，形如y=ax的函数叫作指数函数（此时板书定义的一部分）。大家还能举几个例子吗？
教师提出问题：底数a为负数可不可以？如y=-3x。
学生回答：指数函数底数为负数会导致某些值没有意义，比如x=12。
教师：为了让x取遍所有的实数，规定指数函数的底数为正数，即底数a>0。
教师提出问题：除了底数a>0，同时底数还要满足什么条件？
学生回答：底数不等于1。当底数a=1，那么1x=1，没有研究的意义。
教师继续板书补充指数函数的定义：形如y=ax（a>0，且a≠1）的函数叫作指数函数。
设计意图：指数函数是高中阶段学习的第一个函数，不同于初中学的函数。引导学生观察指数函数底数位置和指数位置，未知数x在指数位置，再辨析底数a的取值范围，这一过程经历了特殊到一般，具体到抽象的过程，有利于培养学生的数学抽象素养。
教师介绍指数函数的历史出处：
1748年时，世界著名数学家欧拉，在著作《无穷分析引论》（Introduction to Analysis of the Infinite）中对指数函数进行了明确和详细的介绍。
设计意图：让学生了解指数函数的出处和产生时间，有利于让学生了解知识产生的背后，数学家起着重要的作用。
【例1】 下列函数是否是指数函数。
（1）y=2·3x
（2）y=-3x（系数错误）
（3）y=（-4）x（底数错误）
（4）y=x3（指数错误）
（5）y=3-x
（6）y=πx（正确）
当学生回答正确时，追问学生回答为什么不是指数函数，分别表扬学生突破了系数、指数、底数错误关卡。
接着，教师帮助学生总结判断一个函数为指数函数y=ax（a>0，且a≠1）需满足的条件：（1）系数为1;（2）底数a>0，且a≠1;（3）指数位置仅有自变量x。
设计意图：例题1有利于加深学生对指数函数概念的理解与掌握，同时通过关卡这一游戏氛围，激发学生的学习兴趣。
三、 对象阶段：利用技术，探索性质
教师：研究函数一般从函数的图像分析函数的性质，你还记得用什么方法画函数的图像吗？
学生回答：描点法。
教师提问：你能用描点法画出指数函数y=2x的函数图像吗？
学生画好图像后，教师也用几何画板展示出图像（这里可以适当表扬学生）
设计意图：学生动手操作，初步感知指数函数的图像，积累数学活动经验。
教师提出问题：同学们现在可以根据这个特殊的函数图像发现指数函数的性质，如奇偶性、周期性、对称性、单调性吗？
学生摇摇头说：发现它在定义域上单调递减的。
教师：除了这一点，别的发现不了对不对？回到我们指数函数的定义，同学们有没有注意到指数函数的底数是会变化的呢？
学生：对，会变化。
教师：那我们可不可以利用底数的变化来找到指数函数的性质呢？其实，马克思的辩证唯物主义思想给了我们答案。我们一起来看一下。马克思曾说，事物的运动发展是变与不变的统一。我们要认识与把握不变中有变，变中有不变。这个“变中有不变”即如：虽然我国成为世界第二大经济体，经济实力和综合国力显著增强，但我国仍处于并将长期处于社会主义初级阶段的基本国情没有变。所以我们仍需不断努力，不断奋斗。那么，同学们说，我们应如何利用“变中有不变”这一思想来发现指数函数蕴含的规律呢？ 学生：改变a的大小。
教师：对了。同学们真聪明。下面是老师用几何画板画出来的指数函数图像（见图1）。
这里的AP就代表着底数a的大小，那么你们能利用我的课件探索出指数函数蕴含的规律吗？下面请一位小老师带领我们一起探究吧！这次的探究任务是小老师带领大家完成下面图2的表格。
教师：好，小方同学，你来。好了，非常好。我们的小方同学顺利完成了探究任务。
（教师对刚才的探究成果进行回顾与强调，学生反思领悟）
设计意图：让学生利用哲学中“变中有不变”的思想经历数学发现的过程，一方面可以让学生明白哲学可以指导我们的探索发现，另一方面也把课堂还给了学生，让学生成为学习的主体，体现了以人为本的教学理念。
教师：好了，同学们，我们利用辩证唯物主义中“变中有不变”的思想已经找到了指数函数的单调性，那我们看看，还能不能找出其他的性质。这时，马克思的辩证唯物主义思想又给了我们启發：世界是一个相互联系的统一整体，其中没有任何事物是孤立存在的，整个世界就是一幅由种种联系交织起来的丰富多彩的画面。那么，我们该如何利用联系的观点探究指数函数的性质呢？
学生：再画一个函数，看看两个函数之间的联系。
教师：对了，我们的同学非常聪明。下面请同学们画出指数函数y=12x的图像吧。
教师提问：函数y=2x的图像与函数y=12x的图像有什么关系？
学生回答：关于y轴对称。
教师追问：为什么这两个函数对称呢？（教师利用几何画板作图进行提示见图3）
因为两图像中任意一对对称点到y轴的距离是相等的。
教师提问：可否利用对称性，y=2x的图像画出y=12x的图像？
教师追问：能否根据指数运算的性质的角度解释以下为什么可以利用y=2x的图像画出y=12x的图像吗？（教师利用几何画板作图进行提示）
根据指数运算性质，y=12x=（2-1）x=2-x，点（x，y）与点（-x，y）关于y轴对称，y=2x图像上任一点P（x，y）关于y轴对称的点P1（-x，y）都在y=12x的图像上。所以，根据这种对称性，就可以利用y=2x的图像画出y=12x的图像。
教师：既然我们发现了y=2x和y=12x这两个特殊函数的图像是对称的，那么，由此，你能提出什么猜想呢？
学生：对于任意的底数a，当两个指数函数的底数互为倒数时，这两个指数函数的图像对称。此时教师用几何画板作图进行验证。
设计意图：引导学生再一次运用哲学中“联系”的观点来探究指数函数的性质——对称性，让学生体会哲学与数学探究之间的联系。利用几何画板进行教学，形象直观，有利于学生用抽象的数学符号语言解释问题。
教师引导学生对上述探究得出的性质做出归纳总结。
四、 应用知识，总结方法
【例2】 求下列函数的定义域与值域
（1）y=22x-x2 （2）y=13x-2
练习题：课本第68页第二题第（1）（2）小题。
【例3】 已知不等式am
【例4】 折纸情境二：现有一张厚度为0.01cm的正方形A4纸。（小组合作）
（1）请你计算这张纸折叠7次后，纸的厚度是多少cm？折叠x次后，纸的厚度y应如何表示？
折叠7次后，纸的厚度是0.01×27=1.28cm;折叠x次后，纸的厚度y=0.01×2x。
教师总结（1）小问：在实际问题中，我们经常会遇到像y=0.01×2x这样的函数，我们把形如y=kax（k∈R，a>0，且a≠1）的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型。
（2）你能结合纸的厚度和面积的两个函数图像，谈谈理想状态下，为什么这张纸的折叠厚度可达月球高度甚至更远呢？谈谈实际上，为什么这张纸的折叠次数是有限的呢？（教师拖动几何画板提示学生，如图4）
学生回答：理想状态下，结合图像可知，这张纸折叠的次数越多，它的厚度会呈指数型增长，那么折叠很多很多次之后，纸的厚度就可以达到月球的高度甚至更远。
学生回答：实际上，结合图像知，这张纸折叠的次数越多，其厚度与面积的差距会越来越大，纸折叠的阻力就会越来越大，所以折叠次数是有限的。
设计意图：一方面介绍指数型函数，另一方面让学生从数学的角度去考虑和解释实际问题，让学生初步体会有限与无限的过程，以及极限的思想，有利于达成情感目标。
教师进行课堂总结：
1. 什么是指数函数？
2. 什么是指数型函数？
3. 指数函数有什么性质？我们是如何找到这些性质的？用到了哪些思想方法？
4. 指数函数与我们以前学习过的函数有什么联系呢？（建立思维导图）
设计意图：让学生强化本节课主要知识的记忆，让学生将本节课知识与前后知识联系起来，有利于达成教学目标中的知识目标。让学生回顾探究过程，体会探究过程中所蕴含的数学思想方法，有利于达成教学目标中的过程与方法目标。
教师进行课后作业的布置：
1. 必做题：课本第69页上的5、6、9、10、11、12题。
2. 选做题：（1）请同学们课后查阅资料，寻找指数函数在生活中有哪些应用？
（2）理想状态下，一张纸折叠多少次能接近你的身高？如何计算？
参考文献：
[1]王学潮.高中哲学教材中两处“看本质”的异同[J].教学月刊（中学版下），2005（1）：12-13.
[2]缪芳.基于“过程教学”下的数学定理教学的研究[D].福建师范大学，2009.
[3]周星辰.Maple在高中数学教学中的应用[D].广州大学，2017.
作者简介：
王文义，朱惠英，何男，广西壮族自治区桂林市，桂林中学。