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摘要：数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法。本文试图用微积分知识探讨一些特殊数列求和的方法，从中可见高等数学与中学数学的密切联系。
关键词：数列；求和；通项
一、 微分知识在数列中的应用
首先证明一个等式：
1 x x2 … xn=C1n 1 C2n 1（x-1） C3n 1（x-1）2 … Cn 1n 1（x-1）n。
事实上利用二项式定理有：
xn 1=[1 （x-1）]n 1=1 C1n 1（x-1） C2n 1（x-1）2 … Cn 1n 1（x-1）n 1。
而（x-1）（1 x x2 … xn）=xn 1-1，
因而（x-1）（1 x x2 … xn）=C1n 1（x-1） C2n 1（x-1）2 … Cn 1n 1（x-1）n 1
當x≠1时，两边同除以x-1得：
1 x x2 … xn=C1n 1 C2n 1（x-1） … Cn 1n 1（x-1）n
而当x=1时，左边=n 1=C1n 1=右边
则恒有：1 x x2 … xn=C1n 1 C2n 1（x-1） … Cn 1n 1（x-1）n（Ⅰ）
从（Ⅰ）式出发利用微分知识可推出以下求和公式：
公式1：1 2 … n=12n（n 1）。
对（Ⅰ）式两边求导则有：
1 2x 3x2 … nxn-1=C2n 1 2C3n 2（x-1） … nCn 1n 1（x-1）n-1（Ⅱ）
令x=1则得：1 2 … n=12n（n 1）。
公式2：1·2 2·3 3·4 … n（n 1）=13n（n 1）（n 2）。
由（Ⅰ）式可知：
1 x x2 x3 … xn 1=C1n 2 C2n 2（x-1） … Cn 2n 2（x-1）n 1
两边求二阶导数，则：
1·2 2·3x … （n 1）nxn-1=1·2C3n 2 2·3C4n 2（x-1） … （n 1）nCn 2n 2（x-1）n-1
令x=1，则1·2 2·3 3·4 … n（n 1）=2C3n 2=13n（n 1）（n 2）。
公式3：12 22 32 … n2=16n（n 1）（2n 1）。
由（Ⅱ）式可知：
x 2x2 3x3 … nxn=[C2n 1 2C3n 1（x-1） … nCn 1n 1（x-1）n 1]·[（x-1） 1]
=C2n 1 （C2n 1 2C3n 1）（x-1） （2C3n 1 3C4n 1）（x-1）2 … nCn 1n 1（x-1）n
两边求导得：1 22x 32x2 … n2xn-1
=（C2n 1 2C3n 1） 2（2C3n 1 3C4n 1）（x-1） … n2Cn 1n 1（x-1）n-1（Ⅲ）
令x=1，则：12 22 32 … n2=16n（n 1）（2n 1）
仿此，若（Ⅲ）式两边同时乘x求导后再令x=1，便会有：
公式4：13 23 33 … n3=14n2（n 1）2。
二、 积分知识在数列求和中的应用
首先由二项式定理：（1 x）n=C0n C1nx C2nx2 … Cnnxn
两边对x从0到1求积分，则：
∫10（1 x）ndx=∫10（C0n C1nx C2nx2 … Cnnxn）dx
所以（1 x）n 1n 1|10=C0nx|10 12C1nx2|10 … Cnnn 1xn 1|10
2n 1-1n 1=C0n C1n2 C2n3 … Cnnn 1
从而有：
公式5：C0n C1n2 C2n3 … Cnnn 1=2n 1-1n 1。
如果两边对x从0到2积分，则：∫20（1 x）ndx=∫20（C0n C1nx … Cnnxn）dx
便可得到公式6：2C0n 22C1n2 23C2n3 … 2n 1Cnnn 1=3n 1-1n 1。
一般地便有：
公式7：kC0n k2C1n2 k3C2n3 … kn 1Cnnn 1=k 1n 1-1n 1（k∈N）。
由以上知识，解决下题：
例：θ≠2kπ（k∈N）且sinθ 2sin2θ … nsinnθ=0，求证：
（n 1）sinnθ=nsin（n 1）θ。
其巧妙证法可为：设f（θ）=sinθ 2sin2θ … nsinnθ
∫f（θ）dθ=∫（sinθ 2sin2θ … nsinnθ）dθ C
=cosθ cos2θ … cosnθ C=-sinθ2 sin2n 12θ2sinθ2 C
由f（θ）=
-12cosθ2 cos2n 12θ·2n 12·
2sinθ2 sinθ2-sin2n 12θ·cosθ24sin2θ2=0
则：（n 1）sinnθ=nsin（n 1）θ
三、 小结
数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，本文运用微积分知识解决数列求和的中遇到的问题，从中可见高等数学与初等数学的密切联系。本文未谈到的，将有待我们大家进一步研究。
参考文献：
[1]东北师大数学系编，刘玉链，傅仁沛著.数学分析（上、下册）[M].北京：高等教育出版社（第三版），1992.
[2]人民教育出版社中学数学室编著，高级中学数学教科书[M].北京：人民教育出版社，2000.
[3]赵建刚.数列求和的几种思维方法[J].延安教育学院学报，1999，1.
[4]毛毓球，贾玉友.数列求和的若干方法[D].江苏教育学院，1997.
作者简介：
郑俊辉，浙江省嵊州市，嵊州市黄泽中学。
关键词：数列；求和；通项
一、 微分知识在数列中的应用
首先证明一个等式：
1 x x2 … xn=C1n 1 C2n 1（x-1） C3n 1（x-1）2 … Cn 1n 1（x-1）n。
事实上利用二项式定理有：
xn 1=[1 （x-1）]n 1=1 C1n 1（x-1） C2n 1（x-1）2 … Cn 1n 1（x-1）n 1。
而（x-1）（1 x x2 … xn）=xn 1-1，
因而（x-1）（1 x x2 … xn）=C1n 1（x-1） C2n 1（x-1）2 … Cn 1n 1（x-1）n 1
當x≠1时，两边同除以x-1得：
1 x x2 … xn=C1n 1 C2n 1（x-1） … Cn 1n 1（x-1）n
而当x=1时，左边=n 1=C1n 1=右边
则恒有：1 x x2 … xn=C1n 1 C2n 1（x-1） … Cn 1n 1（x-1）n（Ⅰ）
从（Ⅰ）式出发利用微分知识可推出以下求和公式：
公式1：1 2 … n=12n（n 1）。
对（Ⅰ）式两边求导则有：
1 2x 3x2 … nxn-1=C2n 1 2C3n 2（x-1） … nCn 1n 1（x-1）n-1（Ⅱ）
令x=1则得：1 2 … n=12n（n 1）。
公式2：1·2 2·3 3·4 … n（n 1）=13n（n 1）（n 2）。
由（Ⅰ）式可知：
1 x x2 x3 … xn 1=C1n 2 C2n 2（x-1） … Cn 2n 2（x-1）n 1
两边求二阶导数，则：
1·2 2·3x … （n 1）nxn-1=1·2C3n 2 2·3C4n 2（x-1） … （n 1）nCn 2n 2（x-1）n-1
令x=1，则1·2 2·3 3·4 … n（n 1）=2C3n 2=13n（n 1）（n 2）。
公式3：12 22 32 … n2=16n（n 1）（2n 1）。
由（Ⅱ）式可知：
x 2x2 3x3 … nxn=[C2n 1 2C3n 1（x-1） … nCn 1n 1（x-1）n 1]·[（x-1） 1]
=C2n 1 （C2n 1 2C3n 1）（x-1） （2C3n 1 3C4n 1）（x-1）2 … nCn 1n 1（x-1）n
两边求导得：1 22x 32x2 … n2xn-1
=（C2n 1 2C3n 1） 2（2C3n 1 3C4n 1）（x-1） … n2Cn 1n 1（x-1）n-1（Ⅲ）
令x=1，则：12 22 32 … n2=16n（n 1）（2n 1）
仿此，若（Ⅲ）式两边同时乘x求导后再令x=1，便会有：
公式4：13 23 33 … n3=14n2（n 1）2。
二、 积分知识在数列求和中的应用
首先由二项式定理：（1 x）n=C0n C1nx C2nx2 … Cnnxn
两边对x从0到1求积分，则：
∫10（1 x）ndx=∫10（C0n C1nx C2nx2 … Cnnxn）dx
所以（1 x）n 1n 1|10=C0nx|10 12C1nx2|10 … Cnnn 1xn 1|10
2n 1-1n 1=C0n C1n2 C2n3 … Cnnn 1
从而有：
公式5：C0n C1n2 C2n3 … Cnnn 1=2n 1-1n 1。
如果两边对x从0到2积分，则：∫20（1 x）ndx=∫20（C0n C1nx … Cnnxn）dx
便可得到公式6：2C0n 22C1n2 23C2n3 … 2n 1Cnnn 1=3n 1-1n 1。
一般地便有：
公式7：kC0n k2C1n2 k3C2n3 … kn 1Cnnn 1=k 1n 1-1n 1（k∈N）。
由以上知识，解决下题：
例：θ≠2kπ（k∈N）且sinθ 2sin2θ … nsinnθ=0，求证：
（n 1）sinnθ=nsin（n 1）θ。
其巧妙证法可为：设f（θ）=sinθ 2sin2θ … nsinnθ
∫f（θ）dθ=∫（sinθ 2sin2θ … nsinnθ）dθ C
=cosθ cos2θ … cosnθ C=-sinθ2 sin2n 12θ2sinθ2 C
由f（θ）=
-12cosθ2 cos2n 12θ·2n 12·
2sinθ2 sinθ2-sin2n 12θ·cosθ24sin2θ2=0
则：（n 1）sinnθ=nsin（n 1）θ
三、 小结
数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，本文运用微积分知识解决数列求和的中遇到的问题，从中可见高等数学与初等数学的密切联系。本文未谈到的，将有待我们大家进一步研究。
参考文献：
[1]东北师大数学系编，刘玉链，傅仁沛著.数学分析（上、下册）[M].北京：高等教育出版社（第三版），1992.
[2]人民教育出版社中学数学室编著，高级中学数学教科书[M].北京：人民教育出版社，2000.
[3]赵建刚.数列求和的几种思维方法[J].延安教育学院学报，1999，1.
[4]毛毓球，贾玉友.数列求和的若干方法[D].江苏教育学院，1997.
作者简介：
郑俊辉，浙江省嵊州市，嵊州市黄泽中学。