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【摘 要】著名的物理学家、数学家克劳修斯提出熵增理论，他认为：万物都遵循熵增定律，如果无法抵抗熵值的增加，那么就会成为被环境所迭代的人。教学过程要充分应用“反熵增思维”，让教学“熵”助力儿童数学思维从“消减”走向“重建”。
【关键词】教学熵 学习系统 问题情境 多元评价
当下教育所提倡的教育视野要从“知识课堂”走向“生命课堂”，教学方式要从“独白”走向“对话”，教学活动要从“封闭”走向“开放”，这正是反“熵增”思维。在为思维发展而教的背景下，教学“熵”有助于儿童从原来静听的模式中走出来，让他们不仅是接受者、听者、答者、学习者，而且是发现者、参与者、问者、讨论者、活动的策划者、践行者、自控互控和自评互评者。从而真正实现儿童数学概念在教学“熵”场景下的有效建构。
一、何谓“教学熵”
根据热力学第二定律：熵永远在增加。学生在学习“系统”中也存在着“熵增”，儿童数学思维的活跃度就是由“熵”决定的，当熵增达到最大值时，则走向孤立、闭塞，学生的思维就走向“死”结。“教学熵”就是反“熵增”思维，建立一个流动的、开放的儿童学习系统，打破思维平衡，构建从无序到有序的学习过程，来避免“熵增”。
因此，在“教学熵”视域下教学，赋予儿童学习思维的高度自由、学习方式的高度自主、学习体系的高度结构化，让儿童学习在与外界的交换中使得整个系统产生耗散，同时产生“负熵”，从而让儿童思维不断进行“重建”，即从无序走向有序、从低阶走向高阶、从零散走向结构化。
二、“教学熵”给儿童数学思维带来了什么
1.开放系统：让儿童认知从散点向体系的纵深集结
教学过程要为学生提供能与现实生活世界和个体经验世界沟通的内容，要有助于学生形成内外世界既区别又融通的观念。“教学熵”主张开放学习系统，关注作为人的生命实践活动的过程形态和关系形态的知识，从而促进儿童认知从散点向体系的纵深集结。
2.问题驱动：让儿童思考从无序向有序的层级递进
“思维是从问题的提出开始的，问题是思维的影子。”“教学熵”主张打破“热平衡”，不断地远离平衡。因此，数学教学设计要贴近学生生活实际，引发学生积极地思考和探究，然后以思考为目的，环环相扣、层层推进，引导学生把生活问题抽象成数学问题。学生经历相互启发与等待、纠正与肯定的过程，发挥学生的自主性，从而让儿童思考从无序向有序的层级递进。
3.碰撞融通：让儿童思维从低阶向高阶的多维跃迁
每个学生积极主动的参与、生生深度的合作交流、师生的有效互动是思维涌动的原动力。“教学熵”视域下，教师要指向目标实现的开放性问题，为全体学生参与到课堂教学活动中创设平台，关注教学过程中师生、生生思维碰撞，捕捉和展现学生思维过程中有教育价值的资源，并通过这些资源的有效利用来促进每个学生思维从低阶向高阶的多维跃迁。
三、“教学熵”场景下小学数学概念建构的行动研究
（一）開放“学习系统”，让数学概念在“外联”与“内驱”中集成生发
1.打开学习“朋友圈”，统计思维在“碰撞”与“联动”中激活
在万物互联的当下，学习不可能成为“单边”活动，建构学习“朋友圈”已经成为学习的重要方式，师生互动、生生共联、家校共育、线上共学共享都是学习的重要“同盟军”，面对“活”起来的大课堂，面对“动”起来的新儿童，只有开发学习系统，积极有效回应“动”，才有可能促进形成新的具有连续兴奋点的思维提升，使学习过程真正成为师生、生生共同参与的动态生成的递进过程，让学习向纵深推进。
例如苏教版数学四年级上册《可能性》的数学。
教学中通过生生互动、师生互动、亲子互动、网络互动，多元打造学生学习“朋友圈”，帮助学生解决学习过程中的困难，促进他们的思维发展，从而形成结构化的思维方式。小学生社会生活经验不足，通过亲子互动，可以提升儿童收集信息、整合资源的能力;通过生生互动，可以产生思维火花，让他们找到解决问题的路径，从而实现儿童思维在“碰撞”与“联动”中激活。
2.触发生长“引力波”，问题思考在“悟错”与“化错”中突围
在教学过程中教师往往谈到“错误”就色变，其实错误往往也是把脉学生思维逻辑起点的凭借。教师有效地利用学生的错误资源，努力做好资源回收呈现、交流互动的准备，再通过点拨性的问题思考引导学生大胆尝试，恰恰能够打开学生思路。在面对学生错误资源的时候，教师不仅要注意正确答案与错误答案的区别，也要注意学生思维逻辑的内在关联，还要注意思维正向与逆向之间在转换意义上的多向关联，从而促进学生从“错误”到“悟错”，再到“化错”的思维转变。
例如，苏教版数学四年级下册《解决问题的策略（画图）》中，教师提问：“你能想到什么办法，帮助我们直观地、清楚地看清数量关系，找到解决问题的办法吗？”
随后依次展示、点评、完善学生作品。
以上教学中，教师指向教学目标，对学生的思维错误或不完善的思考进行逐层递进的呈现，减少认知的盲目性，不断让学生唤醒和提取自己已有认知结构中的相关知识，建立新知识与已有认知结构的联系，促进学生应用已有知识理解新知识，也有利于对新知识的组织和系统化。
（二）设计“问题情境”，数学概念在“低阶”与“高阶”中能动建构
1.在“是什么”的发问中归纳总结，促进数学概念从模糊走向清晰
在数学知识的教学过程中，教师不能仅仅停留在知识的告知层面，要通过“多元联系表示”，利用数学对象表现形式的多样性，对同一数学问题用多种形式进行表征，比如，根据数学原理的内容特点和学习需要，以组合的方式给出，或者以动态的方式灵活地向学生提供图、表、文字或符号等各种表示方法，使学生能了解数学对象更多不同方面的特征，再通过比较、分析、沟通、联系，引发学生的数学思考，促进学生在归纳总结中真正理解“是什么”。 例如苏教版数学五年级下册《分数的意义》教学：
师：这是一块饼的四分之三，这是四块饼的四分之三，这是五块饼的四分之三，这三幅图中的单位“1”相同吗？谁来说一说分别把谁看作单位“1”。
师：谁来说说四分之三表示什么？
生1：把一块饼平均分成4份，取其中的3份。
师：这里只表示了1个饼的，那下面的两个没有包含进去，你能概括地说一说吗？
生2：四分之三就是表示把单位“1”平均分成4份，取其中的3份。
师：（小结）无论是一块饼、四块饼还是五块饼，都可以把它看作单位“1”，把它平均分成4份，取其中的3份，就表示。
教学中，通过学生自主探索与研究，对同一对象进行不同方式的表征，在此情境中，学生可以在把握数学对象不同方面的基础上，将不同表示中所蕴含的信息组合在一起，这就大大增加了建立数学对象不同方面联系性，理解并把握数学对象本质特征的可能性。
2.在“为什么”的追问中探索理解，促进数学思考从浅表走向深层
心理学研究表明，每个学生都有发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力和创造潜能，所有数学知识的学习只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为被学生內化的知识。因此，数学学习过程中“为什么”的追问尤其重要，它既有促进学生理解知识的效能，更有促进学生对新知识进行合理编码，使之更有效地促进数学思考，理解数学原理的效能。
例如苏教版数学三年级上册《认识分数》教学：
师展示学生作品，并按，分类呈现在黑板上。
师：（纵向观察）涂色部分都是表示，他们是怎样得到图形的的？
师：（追问）这些涂色部分的形状和大小不一样，为什么都能用表示？
生：他们都是把图形平均分成了4份。
师：为什么这些图形涂色部分都能用表示？
生：都是把图形平均分成8份，每一份都是它的。
师：（追问）由上面的操作你还能想到什么？
师：（横向观察）都是相同的图形，涂色的都是其中的一份，为什么表示的分数却不同？
从上面的教学片段中，可以看出教师聚焦分数概念的本质，层层递进地追问“为什么”，引导学生思考分数概念建构的过程形态的知识，关注学生学习过程中点状知识背后的关系形态的知识。
（三）重建“多元评价”，数学概念在“感性”与“理性”中聚合奔腾
为“理解而教”已然成为当下教育的需求，理解的过程也是一个循序渐进的过程，为了能够精准地助力儿童数学思维发展，应该如何评价学生所处在的不同层次呢？SOLO分类评价法无疑成为一个较好的选择。SOLO分类评价法是把学习结果从低到高划分为五个层次（如下表）。根据这样的评价体系，在教学过程中我们对学生思维发展建立评测点。
学习是动态的，理解水平是变化的，理解是循序渐进的。学生数学学习过程中，以SOLO分类理论为开放式评价探索，根据能力、思维操作、一致性与收敛和应答结构等方面对学生的学习进行层级对应，关注学生对知识理解深度来进行学习效能的评价，不仅能反映学生学习的“量”，还能反映学习的“质”。而这个“质”，就是学生的思维水平。
在为“理解而教”的当下教育，儿童思维生长已经刻不容缓。为了让儿童思维不断重建，通过实践证明，在“教学熵”理论视域下，开放“学习系统”，让数学概念在“外联”与“内驱”中集成生发;设计“问题情境”，让数学概念在“追问”与“探寻”中能动建构;重建“多元评价”，让儿童概念在“感性”与“理性”中聚合奔腾，不断抵消儿童数学学习过程中“熵增”现象，并产生“负熵”。从而真正实现儿童数学思维从散点向体系纵深集结，从无序向有序层级递进，从低阶向高阶多维跃迁。
【关键词】教学熵 学习系统 问题情境 多元评价
当下教育所提倡的教育视野要从“知识课堂”走向“生命课堂”，教学方式要从“独白”走向“对话”，教学活动要从“封闭”走向“开放”，这正是反“熵增”思维。在为思维发展而教的背景下，教学“熵”有助于儿童从原来静听的模式中走出来，让他们不仅是接受者、听者、答者、学习者，而且是发现者、参与者、问者、讨论者、活动的策划者、践行者、自控互控和自评互评者。从而真正实现儿童数学概念在教学“熵”场景下的有效建构。
一、何谓“教学熵”
根据热力学第二定律：熵永远在增加。学生在学习“系统”中也存在着“熵增”，儿童数学思维的活跃度就是由“熵”决定的，当熵增达到最大值时，则走向孤立、闭塞，学生的思维就走向“死”结。“教学熵”就是反“熵增”思维，建立一个流动的、开放的儿童学习系统，打破思维平衡，构建从无序到有序的学习过程，来避免“熵增”。
因此，在“教学熵”视域下教学，赋予儿童学习思维的高度自由、学习方式的高度自主、学习体系的高度结构化，让儿童学习在与外界的交换中使得整个系统产生耗散，同时产生“负熵”，从而让儿童思维不断进行“重建”，即从无序走向有序、从低阶走向高阶、从零散走向结构化。
二、“教学熵”给儿童数学思维带来了什么
1.开放系统：让儿童认知从散点向体系的纵深集结
教学过程要为学生提供能与现实生活世界和个体经验世界沟通的内容，要有助于学生形成内外世界既区别又融通的观念。“教学熵”主张开放学习系统，关注作为人的生命实践活动的过程形态和关系形态的知识，从而促进儿童认知从散点向体系的纵深集结。
2.问题驱动：让儿童思考从无序向有序的层级递进
“思维是从问题的提出开始的，问题是思维的影子。”“教学熵”主张打破“热平衡”，不断地远离平衡。因此，数学教学设计要贴近学生生活实际，引发学生积极地思考和探究，然后以思考为目的，环环相扣、层层推进，引导学生把生活问题抽象成数学问题。学生经历相互启发与等待、纠正与肯定的过程，发挥学生的自主性，从而让儿童思考从无序向有序的层级递进。
3.碰撞融通：让儿童思维从低阶向高阶的多维跃迁
每个学生积极主动的参与、生生深度的合作交流、师生的有效互动是思维涌动的原动力。“教学熵”视域下，教师要指向目标实现的开放性问题，为全体学生参与到课堂教学活动中创设平台，关注教学过程中师生、生生思维碰撞，捕捉和展现学生思维过程中有教育价值的资源，并通过这些资源的有效利用来促进每个学生思维从低阶向高阶的多维跃迁。
三、“教学熵”场景下小学数学概念建构的行动研究
（一）開放“学习系统”，让数学概念在“外联”与“内驱”中集成生发
1.打开学习“朋友圈”，统计思维在“碰撞”与“联动”中激活
在万物互联的当下，学习不可能成为“单边”活动，建构学习“朋友圈”已经成为学习的重要方式，师生互动、生生共联、家校共育、线上共学共享都是学习的重要“同盟军”，面对“活”起来的大课堂，面对“动”起来的新儿童，只有开发学习系统，积极有效回应“动”，才有可能促进形成新的具有连续兴奋点的思维提升，使学习过程真正成为师生、生生共同参与的动态生成的递进过程，让学习向纵深推进。
例如苏教版数学四年级上册《可能性》的数学。
教学中通过生生互动、师生互动、亲子互动、网络互动，多元打造学生学习“朋友圈”，帮助学生解决学习过程中的困难，促进他们的思维发展，从而形成结构化的思维方式。小学生社会生活经验不足，通过亲子互动，可以提升儿童收集信息、整合资源的能力;通过生生互动，可以产生思维火花，让他们找到解决问题的路径，从而实现儿童思维在“碰撞”与“联动”中激活。
2.触发生长“引力波”，问题思考在“悟错”与“化错”中突围
在教学过程中教师往往谈到“错误”就色变，其实错误往往也是把脉学生思维逻辑起点的凭借。教师有效地利用学生的错误资源，努力做好资源回收呈现、交流互动的准备，再通过点拨性的问题思考引导学生大胆尝试，恰恰能够打开学生思路。在面对学生错误资源的时候，教师不仅要注意正确答案与错误答案的区别，也要注意学生思维逻辑的内在关联，还要注意思维正向与逆向之间在转换意义上的多向关联，从而促进学生从“错误”到“悟错”，再到“化错”的思维转变。
例如，苏教版数学四年级下册《解决问题的策略（画图）》中，教师提问：“你能想到什么办法，帮助我们直观地、清楚地看清数量关系，找到解决问题的办法吗？”
随后依次展示、点评、完善学生作品。
以上教学中，教师指向教学目标，对学生的思维错误或不完善的思考进行逐层递进的呈现，减少认知的盲目性，不断让学生唤醒和提取自己已有认知结构中的相关知识，建立新知识与已有认知结构的联系，促进学生应用已有知识理解新知识，也有利于对新知识的组织和系统化。
（二）设计“问题情境”，数学概念在“低阶”与“高阶”中能动建构
1.在“是什么”的发问中归纳总结，促进数学概念从模糊走向清晰
在数学知识的教学过程中，教师不能仅仅停留在知识的告知层面，要通过“多元联系表示”，利用数学对象表现形式的多样性，对同一数学问题用多种形式进行表征，比如，根据数学原理的内容特点和学习需要，以组合的方式给出，或者以动态的方式灵活地向学生提供图、表、文字或符号等各种表示方法，使学生能了解数学对象更多不同方面的特征，再通过比较、分析、沟通、联系，引发学生的数学思考，促进学生在归纳总结中真正理解“是什么”。 例如苏教版数学五年级下册《分数的意义》教学：
师：这是一块饼的四分之三，这是四块饼的四分之三，这是五块饼的四分之三，这三幅图中的单位“1”相同吗？谁来说一说分别把谁看作单位“1”。
师：谁来说说四分之三表示什么？
生1：把一块饼平均分成4份，取其中的3份。
师：这里只表示了1个饼的，那下面的两个没有包含进去，你能概括地说一说吗？
生2：四分之三就是表示把单位“1”平均分成4份，取其中的3份。
师：（小结）无论是一块饼、四块饼还是五块饼，都可以把它看作单位“1”，把它平均分成4份，取其中的3份，就表示。
教学中，通过学生自主探索与研究，对同一对象进行不同方式的表征，在此情境中，学生可以在把握数学对象不同方面的基础上，将不同表示中所蕴含的信息组合在一起，这就大大增加了建立数学对象不同方面联系性，理解并把握数学对象本质特征的可能性。
2.在“为什么”的追问中探索理解，促进数学思考从浅表走向深层
心理学研究表明，每个学生都有发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力和创造潜能，所有数学知识的学习只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为被学生內化的知识。因此，数学学习过程中“为什么”的追问尤其重要，它既有促进学生理解知识的效能，更有促进学生对新知识进行合理编码，使之更有效地促进数学思考，理解数学原理的效能。
例如苏教版数学三年级上册《认识分数》教学：
师展示学生作品，并按，分类呈现在黑板上。
师：（纵向观察）涂色部分都是表示，他们是怎样得到图形的的？
师：（追问）这些涂色部分的形状和大小不一样，为什么都能用表示？
生：他们都是把图形平均分成了4份。
师：为什么这些图形涂色部分都能用表示？
生：都是把图形平均分成8份，每一份都是它的。
师：（追问）由上面的操作你还能想到什么？
师：（横向观察）都是相同的图形，涂色的都是其中的一份，为什么表示的分数却不同？
从上面的教学片段中，可以看出教师聚焦分数概念的本质，层层递进地追问“为什么”，引导学生思考分数概念建构的过程形态的知识，关注学生学习过程中点状知识背后的关系形态的知识。
（三）重建“多元评价”，数学概念在“感性”与“理性”中聚合奔腾
为“理解而教”已然成为当下教育的需求，理解的过程也是一个循序渐进的过程，为了能够精准地助力儿童数学思维发展，应该如何评价学生所处在的不同层次呢？SOLO分类评价法无疑成为一个较好的选择。SOLO分类评价法是把学习结果从低到高划分为五个层次（如下表）。根据这样的评价体系，在教学过程中我们对学生思维发展建立评测点。
学习是动态的，理解水平是变化的，理解是循序渐进的。学生数学学习过程中，以SOLO分类理论为开放式评价探索，根据能力、思维操作、一致性与收敛和应答结构等方面对学生的学习进行层级对应，关注学生对知识理解深度来进行学习效能的评价，不仅能反映学生学习的“量”，还能反映学习的“质”。而这个“质”，就是学生的思维水平。
在为“理解而教”的当下教育，儿童思维生长已经刻不容缓。为了让儿童思维不断重建，通过实践证明，在“教学熵”理论视域下，开放“学习系统”，让数学概念在“外联”与“内驱”中集成生发;设计“问题情境”，让数学概念在“追问”与“探寻”中能动建构;重建“多元评价”，让儿童概念在“感性”与“理性”中聚合奔腾，不断抵消儿童数学学习过程中“熵增”现象，并产生“负熵”。从而真正实现儿童数学思维从散点向体系纵深集结，从无序向有序层级递进，从低阶向高阶多维跃迁。