基础难度和创新

• 作 者: 沈新权
• 出 处: 中学生天地·高中学习版
• 发表日期: 2011年10期
• 关键词: 创新能力 自主招生考试 数学素养 数学能力 学习潜力 学术能力 数学试题 数学科

　　大学自主招生考试的主要目的是吸引并招收最优秀的学生. 在考查数学科目时，招生高校不仅会注重学生的基本数学素养、数学能力、后继学习潜力等，还特别注重学术能力和创新能力． 因此，自主招生考试的数学试题既不同于高考，也不同于竞赛，而是有其自身的特点．
　　
　　★熟面孔稳坐江山
　　通过对清华、北大、复旦、中科大、上海交大等高校近几年自主招生数学试题的研究，我们发现，大部分试题还是比较基础的，大约有60%到80%的试题和近年高考数学卷中的基础题难度相当. 我们可以看一看2009年上海交通大学自主招生考试的第8题：
　　设｛ａｎ｝是公差ｄ≠0的等差数列，从中选出部分项以原次序可组成等比数列ａｋ1，ａｋ2，…，ａｋｍ，若ｋ1＝1，ｋ2＝5，ｋ3＝17，则ｋ1 ｋ2 … ｋｍ=．
　　这种程度的问题，相信数学成绩中等的同学都能解决．
　　就考查内容而言，近几年新课程高考中的大部分内容，如函数、集合、数列、复数、三角、排列、组合、概率统计、向量、立体几何和解析几何等，同样也是大学自主招生考试数学部分的主力军．
　　★新面孔粉墨登场
　　高校自主招生试题几乎都是由大学老师命制的，大学老师在更多时候会考虑到高等数学与初等数学的衔接，试卷也难免会体现他们的习惯和喜好．
　　自主招生考试中的“新面孔”主要有两类．
　　一类是在高中课堂上接触得比较少的知识. 比如在高考浙江卷中，复数的三角形式、复数数列、开集、矩阵和行列式等内容都是不作要求的，但由于这些知识与高等数学的关联性较大，所以在近几年的自主招生考试中频频现身． 如2007年清华大学自主招生考试的第6题：
　　对于集合M?哿R2，称M为开集，当且仅当?坌P0∈M，?埚ｒ＞0，使得｛P∈R2 ｜PP0　　“开集”是高等数学中非常重要的概念，但对高中生来讲，这样的题目就比较陌生了．
　　另一类就是我们常说的创新题. 如2009年复旦大学自主招生考试的第123题：
　　用同样大小的一种正多边形平铺整个平面（没有重叠），有几种正多边形可以铺满整个平面而不留空隙？
　　（A） 2种 （B） 3种 （C） 4种 （D） 5种
　　这个题目既和我们的生活密切相关，又需要用数学知识加以解决，对同学们来讲，确实是张“新面孔”．
　　★竞赛题时隐时现
　　除了考查新知识和实际应用的能力，还有一些试题对数学思想方法和思维策略要求较高，有些题目的难度与数学竞赛题不相上下． 2008年北京大学自主招生考试的第2题就是一个例子：
　　已知在六边形AC1BA1CB1中，AC1＝AB1，BC1＝BA1，CA1＝CB1，∠A ∠B ∠C＝∠A1 ∠B1 ∠C1.求证：△ABC的面积是六边形AC1BA1CB1的一半．
　　对于没有参加过竞赛辅导的同学来说，这道平面几何题还是有一定难度的．
　　新面孔也好，竞赛题也罢，我们总有破解它们的方法． 同学们可以适当地做些你想报考的学校近几年自主招生的试题，熟悉一下考试的题型． 在日常学习中，要多留意知识点的延伸和实际运用．平时未雨绸缪，在考试时自然就心中有数了．
　　
　　【下期预告】函数问题一直是个“大热门”，自主招生考试中，函数部分到底考什么？在下期内容中，我们会讲一讲函数与方程的问题，找一找它们的命题特点和应对方法，让你在解题时胸有成竹！