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作为数学课程的“实施者、决策者和创造者”的教师，在依托教材从事数学教学活动的同时，还需要对数学教材进行再一次的“深度加工”，通过对教材符合创造性原则的积极选择、有效重组及完善整合等“创新化”建构，充分挖掘数学教材本身所蕴涵着的创新教育因素，使教材潜在、可能的创造力转化为学生显性、现实的创造力，真正使数学教材成为学生创新性学习的“学材”，实现数学教材的创新教育功能和价值．
数学教学是一个流动着的开放空间，因而对于数学教材的这一“创新化”建构，应从以下两个不同的方面展开
1 从“教”的层面对教材进行理性重建
1.1 “布白”，拓宽教材的探究空间
问题结论及解题方法的过早呈现必然会压缩学生的思维过程，使本该曲折、复杂并富有挑战性的探究过程化成通向答案的“捷径”，削弱教材应有的创新教育价值．如讲函数的单调性，我们在对教材进行再设计时，创造性地对教材进行了加工，通过思维布白，为学生留下更为自由、广阔的创新思维空间．
（1） 首先进行感知教学．给出一组函数图象：
y=2x+1, y=(x-1)2-1, y= 1 x , x∈(0,+∞), y=f(x), x∈［0,24］ (苏教版普通高中课程标准实验教科书（必修1）第34页图2-1-13)，让学生观察函数图象的变化趋势，并用语言加以描述：随着x的值的增大，函数的图象有的呈逐渐上升的趋势，有的呈逐渐下降的趋势，有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一个区内呈逐渐下降的趋势．
（2） 引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述．先提示学生“形”的上升（或下降）趋势在“数”上是如何体现的？再提示学生“许多函数的图象都具备上升（或下降）的特征，我们能不能用定义的形式对函数的这种特性做出刻划呢？”
（3） 抽象和概括．引导学生表述函数单调性的定义，同时明确有些函数不具备单调性．
（4） 概念的深化与应用．如判断函数在某个区间上的单调性；根据图象写出函数的单调区间等．
当然，这样的设计或许不能让每一个学生都受益，但它至少给每个学生都提供了自由探究与创造的空间，学生的探究意识、创新能力正是在这个过程中得到了培养．
1.2 “拓展”，挖掘教材的个性内涵
不同的学生由于数学现实、认知水平及思维方式的差异，往往会导致他们对同一数学知识作出不同的认识、理解与分析，从而表现出数学学习上鲜明的个性差异．作为教师，应充分考虑到学生的这一差异，使不同程度的学生得到不同层次的发展．
如苏教版普通高中课程标准实验教科书（必修4）中，公式S（α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ的推导，教材为学生设计了相对统一的探究引入过程：将求sin15°的过程，转化为求cos75°，再利用两角和的余弦公式来计算．为了激活学生的个性化思考，在教学实践中，我们对这一探究过程进行了相应的拓展，并设法使学生的研究沿着各自独特的理解展开：
（1） 问题：利用所学过的方法求sin75°的值（不用计算器）．
（2） 学生探究：①先求cos75°的值，再利用同角三角函数中的平方关系求解； ② 先诱导成cos15°，再利用两角差的余弦公式求解； ③ 通过构造直角三角形求解（如图1，苏教版普通高中课程标准实验教科书（必修4）第101页14题）； ④ 通过向量的数量积OP ·OQ 求解（如图2）．
图1 图2 （3） 交流与完善：与别人交流你的解法，并在交流中对自己的解法作出必要的补充与完善．
（4） 比较：以上哪一种思路更容易推广到一般情形？
结果表明：通过对教材的挖掘、拓展，增强了学生的学习兴趣，激活了学生的思维，培养了学生的创造能力．
1.3 “回归”，还原教材的生活本色
数学源于生活、寓于生活，这为数学题材的“生活化”及“现实情境化”提供了可能，为使抽象的数学材料还原为学生喜闻乐见的生活原型创造了机会．比如指数函数的教学，原本就具有丰富的现实背景，因而对这一内容的再设计，我们尽量从贴近学生现实生活的题材切入．
以指数函数的引入教学为例：2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政府今天宣布，本市垃圾的体积达到50000m3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．我在数学课上宣读了这条消息，并且利用该新闻引入指数函数的学习．
任务：把三年作为垃圾体积的加倍周期，要求学生填写下表：
垃圾体积的加
倍周期（三年） 垃圾的体积V（m3) 0 50000×20=50000 1 50000×21=10000 2 50000×22=20000 … … n 上一个周期的体积×2=原有体积×2n研究：（1） 设想报纸标题所述的城市垃圾的体积每三年继续加倍，24年后该市垃圾的体积是多少？
（2） 根据报纸所述的信息，你估计三年前垃圾的体积是多少？
（3） 如果n=-2，这时的n、V表示什么信息？
（4） 写出n与V的函数图象．
（5） 函数图象可能会与横轴相交吗？为什么？
学生们从具体问题的研究出发，逐步探讨指数函数的意义，它的一般形式y=a·2x,它的图象及性质，在实践过程中我们发现，学生对这类实际问题表现出了极大的兴趣与热情．不少学生还就各自研究的情况进行了交流与比较，并就对方的图象进行了合理的估计．
不难发现，从这一角度对教学内容进行再设计，使学生在数学学习的同时，自然从垃圾的体积的指数增长联系到环境污染问题，生态环境保护问题，废物利用问题等等．既培养了学生关注生活，改造生活的意识，同时，学生的创新意识和创新能力也在研究与交流的过程中得到了极大的发展．
2 从“学”的层面对教材实现互动生成
2.1 关注学生的数学现实——实现教材内容
的再确定 备课中所谓有“备”学生，究其实质，往往只是对学生原有知识、经验、能力等所作的理想化假构．而真正对于学生的了解与认识，只有在教学动态过程的展开中才能得以实现．这就使我们的数学教学面临一个新问题：如果理想的假设与课堂中现实的反馈并不一致，那么我们的数学教学该如何作出反应与调整：是按照预设的教学流程推进，还是适应学生的现有数学现实，对教材内容作出重新调整？答案是显而易见的．
记得“指数函数”一课，引导学生总结完函数性质后，我给出教材上的例1：比较大小 ① 1.52.3, 1.53.2, ② 0.5-1.2, 0.5-1.5, ③ 1.50.3, 0.81.2．
原本以为学生立刻就会说出结果和比较方法，谁知学生们思考了好一会儿，才有个别同学说出了用函数y=1.5x的单调性来比较1.52.3与1．53．2的大小，课后了解到，学生接触到问题后，大部分是在考虑怎样计算出1．52．3与1．53．2的值，再进行比较，还不能自觉应用函数性质解题．显然，教材的要求与学生现有的水平之间存在一段距离．因此，在另一个班上课时，我首先让学生比较1．52与1．53的大小，学生很快得出了结果，接着再问怎样比较1．52．3与1．53．2的大小？学生发现通过计算已不能解决问题，再引导学生应用指数函数性质解决问题．将问题置于学生的最近发展区，学生的创造能力，才能得到有效的培养．
2．2 关注学生的学习需要——实现教材进度
的再把握 学生在数学学习过程中表现出来的内在需要是数学教学赖以推进的重要尺度．教学过程中教师应尊重学生数学学习的实现，并以此为唯一依据，灵活而创造性地把握好教材实施的进度．
比如在引导学生探究二项式(a+b)4的展开式中各项的系数规律时，我是这样设计的：(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=( )a4+( )a3b+( )a2b+( )ab3+( )b4. a4, a3b, a2b2, ab3, b4，这些项是如何形成的？以a3b为例，它是由1个b和3个a相乘而得．这里的a和b从何而来？——四个括号中，一个括号取b，其余三个括号取a，这样的取法有多少种呢？通过教师语言上的引导，学生自然会联想到刚刚学过的排列组合知识，知道有C14（或C34）种．类似地，其他项的系数学生也可以归纳出来．
实际教学过程中，许多学生已经能够直接发现系数是一些组合数．此时，如果按照教学进度一味地进行下去，就会失去一次对学生进行思维训练的良好机会．我及时调整课堂教学设计，先给予学生充分的肯定，再鼓励他们进一步思考这些组合数从何而来？并由此归纳出二项式定理，然后引导学生观察不同展开式各系数间的关系，得出杨辉三角形．
试想，如果在上述教学中，教师只顾遵循教材进度，视学生动态生成的学习需要而不顾，那么，学生除了就题论题外，又能获得怎样的发展？
2．3 关注学生的认知规律——实现教材要求
的再定位 学生对于不同数学内容的掌握往往需要调度不同的知识经验、学习策略：有时需要在原有知识经验的基础上通过类比、迁移掌握；有时需要在探索中发现；有时需要在操作中内化……．在教学中，教师应根据学生数学学习过程中表现出的认知特点，灵活地调整教学内容，以适应学生数学学习的内在规律，促进学生对于数学继承有效的“意义建构”．
以“两个非零向量的夹角”为例，教材将定义作为规定给出，要求学生理解．而实际教学过程中，学生从“求功运算”抽象、概括出两个非零向量的数量积定义后，已经能够画出各种不同的力（摩擦力、重力等）与位移方向的夹角，并能通过交流，归纳出与位移的夹角的范围，因此，教师应及时调整自己的教学思路，将原来的要求提升为从力与位移的夹角及其范围中抽象、概括出两个非零向量的夹角的定义，并在概念的建构过程中，切实落实对概念实质的理解．
参考文献
美国数学教学的若干新理念．数学通报，2002（1）
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
数学教学是一个流动着的开放空间，因而对于数学教材的这一“创新化”建构，应从以下两个不同的方面展开
1 从“教”的层面对教材进行理性重建
1.1 “布白”，拓宽教材的探究空间
问题结论及解题方法的过早呈现必然会压缩学生的思维过程，使本该曲折、复杂并富有挑战性的探究过程化成通向答案的“捷径”，削弱教材应有的创新教育价值．如讲函数的单调性，我们在对教材进行再设计时，创造性地对教材进行了加工，通过思维布白，为学生留下更为自由、广阔的创新思维空间．
（1） 首先进行感知教学．给出一组函数图象：
y=2x+1, y=(x-1)2-1, y= 1 x , x∈(0,+∞), y=f(x), x∈［0,24］ (苏教版普通高中课程标准实验教科书（必修1）第34页图2-1-13)，让学生观察函数图象的变化趋势，并用语言加以描述：随着x的值的增大，函数的图象有的呈逐渐上升的趋势，有的呈逐渐下降的趋势，有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一个区内呈逐渐下降的趋势．
（2） 引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述．先提示学生“形”的上升（或下降）趋势在“数”上是如何体现的？再提示学生“许多函数的图象都具备上升（或下降）的特征，我们能不能用定义的形式对函数的这种特性做出刻划呢？”
（3） 抽象和概括．引导学生表述函数单调性的定义，同时明确有些函数不具备单调性．
（4） 概念的深化与应用．如判断函数在某个区间上的单调性；根据图象写出函数的单调区间等．
当然，这样的设计或许不能让每一个学生都受益，但它至少给每个学生都提供了自由探究与创造的空间，学生的探究意识、创新能力正是在这个过程中得到了培养．
1.2 “拓展”，挖掘教材的个性内涵
不同的学生由于数学现实、认知水平及思维方式的差异，往往会导致他们对同一数学知识作出不同的认识、理解与分析，从而表现出数学学习上鲜明的个性差异．作为教师，应充分考虑到学生的这一差异，使不同程度的学生得到不同层次的发展．
如苏教版普通高中课程标准实验教科书（必修4）中，公式S（α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ的推导，教材为学生设计了相对统一的探究引入过程：将求sin15°的过程，转化为求cos75°，再利用两角和的余弦公式来计算．为了激活学生的个性化思考，在教学实践中，我们对这一探究过程进行了相应的拓展，并设法使学生的研究沿着各自独特的理解展开：
（1） 问题：利用所学过的方法求sin75°的值（不用计算器）．
（2） 学生探究：①先求cos75°的值，再利用同角三角函数中的平方关系求解； ② 先诱导成cos15°，再利用两角差的余弦公式求解； ③ 通过构造直角三角形求解（如图1，苏教版普通高中课程标准实验教科书（必修4）第101页14题）； ④ 通过向量的数量积OP ·OQ 求解（如图2）．
图1 图2 （3） 交流与完善：与别人交流你的解法，并在交流中对自己的解法作出必要的补充与完善．
（4） 比较：以上哪一种思路更容易推广到一般情形？
结果表明：通过对教材的挖掘、拓展，增强了学生的学习兴趣，激活了学生的思维，培养了学生的创造能力．
1.3 “回归”，还原教材的生活本色
数学源于生活、寓于生活，这为数学题材的“生活化”及“现实情境化”提供了可能，为使抽象的数学材料还原为学生喜闻乐见的生活原型创造了机会．比如指数函数的教学，原本就具有丰富的现实背景，因而对这一内容的再设计，我们尽量从贴近学生现实生活的题材切入．
以指数函数的引入教学为例：2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政府今天宣布，本市垃圾的体积达到50000m3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．我在数学课上宣读了这条消息，并且利用该新闻引入指数函数的学习．
任务：把三年作为垃圾体积的加倍周期，要求学生填写下表：
垃圾体积的加
倍周期（三年） 垃圾的体积V（m3) 0 50000×20=50000 1 50000×21=10000 2 50000×22=20000 … … n 上一个周期的体积×2=原有体积×2n研究：（1） 设想报纸标题所述的城市垃圾的体积每三年继续加倍，24年后该市垃圾的体积是多少？
（2） 根据报纸所述的信息，你估计三年前垃圾的体积是多少？
（3） 如果n=-2，这时的n、V表示什么信息？
（4） 写出n与V的函数图象．
（5） 函数图象可能会与横轴相交吗？为什么？
学生们从具体问题的研究出发，逐步探讨指数函数的意义，它的一般形式y=a·2x,它的图象及性质，在实践过程中我们发现，学生对这类实际问题表现出了极大的兴趣与热情．不少学生还就各自研究的情况进行了交流与比较，并就对方的图象进行了合理的估计．
不难发现，从这一角度对教学内容进行再设计，使学生在数学学习的同时，自然从垃圾的体积的指数增长联系到环境污染问题，生态环境保护问题，废物利用问题等等．既培养了学生关注生活，改造生活的意识，同时，学生的创新意识和创新能力也在研究与交流的过程中得到了极大的发展．
2 从“学”的层面对教材实现互动生成
2.1 关注学生的数学现实——实现教材内容
的再确定 备课中所谓有“备”学生，究其实质，往往只是对学生原有知识、经验、能力等所作的理想化假构．而真正对于学生的了解与认识，只有在教学动态过程的展开中才能得以实现．这就使我们的数学教学面临一个新问题：如果理想的假设与课堂中现实的反馈并不一致，那么我们的数学教学该如何作出反应与调整：是按照预设的教学流程推进，还是适应学生的现有数学现实，对教材内容作出重新调整？答案是显而易见的．
记得“指数函数”一课，引导学生总结完函数性质后，我给出教材上的例1：比较大小 ① 1.52.3, 1.53.2, ② 0.5-1.2, 0.5-1.5, ③ 1.50.3, 0.81.2．
原本以为学生立刻就会说出结果和比较方法，谁知学生们思考了好一会儿，才有个别同学说出了用函数y=1.5x的单调性来比较1.52.3与1．53．2的大小，课后了解到，学生接触到问题后，大部分是在考虑怎样计算出1．52．3与1．53．2的值，再进行比较，还不能自觉应用函数性质解题．显然，教材的要求与学生现有的水平之间存在一段距离．因此，在另一个班上课时，我首先让学生比较1．52与1．53的大小，学生很快得出了结果，接着再问怎样比较1．52．3与1．53．2的大小？学生发现通过计算已不能解决问题，再引导学生应用指数函数性质解决问题．将问题置于学生的最近发展区，学生的创造能力，才能得到有效的培养．
2．2 关注学生的学习需要——实现教材进度
的再把握 学生在数学学习过程中表现出来的内在需要是数学教学赖以推进的重要尺度．教学过程中教师应尊重学生数学学习的实现，并以此为唯一依据，灵活而创造性地把握好教材实施的进度．
比如在引导学生探究二项式(a+b)4的展开式中各项的系数规律时，我是这样设计的：(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=( )a4+( )a3b+( )a2b+( )ab3+( )b4. a4, a3b, a2b2, ab3, b4，这些项是如何形成的？以a3b为例，它是由1个b和3个a相乘而得．这里的a和b从何而来？——四个括号中，一个括号取b，其余三个括号取a，这样的取法有多少种呢？通过教师语言上的引导，学生自然会联想到刚刚学过的排列组合知识，知道有C14（或C34）种．类似地，其他项的系数学生也可以归纳出来．
实际教学过程中，许多学生已经能够直接发现系数是一些组合数．此时，如果按照教学进度一味地进行下去，就会失去一次对学生进行思维训练的良好机会．我及时调整课堂教学设计，先给予学生充分的肯定，再鼓励他们进一步思考这些组合数从何而来？并由此归纳出二项式定理，然后引导学生观察不同展开式各系数间的关系，得出杨辉三角形．
试想，如果在上述教学中，教师只顾遵循教材进度，视学生动态生成的学习需要而不顾，那么，学生除了就题论题外，又能获得怎样的发展？
2．3 关注学生的认知规律——实现教材要求
的再定位 学生对于不同数学内容的掌握往往需要调度不同的知识经验、学习策略：有时需要在原有知识经验的基础上通过类比、迁移掌握；有时需要在探索中发现；有时需要在操作中内化……．在教学中，教师应根据学生数学学习过程中表现出的认知特点，灵活地调整教学内容，以适应学生数学学习的内在规律，促进学生对于数学继承有效的“意义建构”．
以“两个非零向量的夹角”为例，教材将定义作为规定给出，要求学生理解．而实际教学过程中，学生从“求功运算”抽象、概括出两个非零向量的数量积定义后，已经能够画出各种不同的力（摩擦力、重力等）与位移方向的夹角，并能通过交流，归纳出与位移的夹角的范围，因此，教师应及时调整自己的教学思路，将原来的要求提升为从力与位移的夹角及其范围中抽象、概括出两个非零向量的夹角的定义，并在概念的建构过程中，切实落实对概念实质的理解．
参考文献
美国数学教学的若干新理念．数学通报，2002（1）
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文