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摘要：笔者试图通过对哲学思想的理解，特别是对《矛盾论》的介绍，利用辩证法的一些理论来对一些数学问题提供一些解决问题的思路，从而对一些比较难的数学问题（如证明三角条件恒等式）的解法从另外一个角度得到全新的诠释，使我们的学生对数学有更深的理解和感悟，也让我们的学生在学习数学的同时学习和体会到哲学的一些思想和精髓，让我们优秀的学生成为数学哲学家或哲学数学家.
关键词：辩证法；证明三角条件恒等式；角度；函数
《矛盾论》是毛泽东一九三七年八月写的哲学经典著作，论述了矛盾普遍性和矛盾特殊性的原理． 它指出：矛盾的普遍性包括两方面的含义，一方面是指矛盾存在于一切事物的发展过程中，另一方面是指每一事物的发展过程中存在着自始至终的矛盾运动.
在复杂的事物的发展过程中，有许多的矛盾存在，其中必有一种是主要的矛盾，由于它的存在和发展规定或影响着其他矛盾的存在和发展. 因此，不管怎样，事物在发展过程的各个阶段中，只有一种主要的矛盾起着领导的作用，是完全没有疑义的. 由此可知，任何过程如果有多数矛盾存在的话，其中必定有一种是主要的，起着领导、决定的作用，其他则处于次要和服从的地位. 因此，我们研究任何过程，如果是存在着两个以上矛盾的复杂过程的话，就要用全力找出它的主要矛盾. 而且，我们认为，只要捉住了这个主要矛盾，一切问题就迎刃而解了，这是马克思研究资本主义社会告诉我们的方法. 万千的学问家和实行家，不懂得这种方法，结果如堕烟海，找不到中心，也就找不到解决矛盾的方法.
然而，这种情形不是固定的，矛盾的主要和非主要的方面互相转化着，事物的性质也就随着起变化. 在矛盾发展的一定过程或一定阶段上，主要方面属于甲方，非主要方面属于乙方；到了另一发展阶段或另一发展过程时，就互易其位置，这是依靠事物发展中矛盾双方斗争的力量的增减程度来决定的.
我们常常说“新陈代谢”是宇宙间普遍的永远不可抵抗的规律. 依事物本身的性质和条件，经过不同的飞跃形式，一事物转化为其他事物，就是新陈代谢的过程. 任何事物的内部都有其新旧两个方面的矛盾，形成一系列的曲折的斗争. 斗争的结果，新的方面由小变大，上升为支配的东西；旧的方面则由大变小，变成逐步归于灭亡的东西. 而一当新的方面对于旧的方面取得支配地位的时候，旧事物的性质就变化为新事物的性质. 由此可见，事物的性质主要是由取得支配地位的矛盾的主要方面所规定的. 取得支配地位的矛盾的主要方面起了变化，事物的性质也就随着起变化. ?摇?摇
在研究矛盾特殊性的问题中，如果不研究过程中主要的矛盾和非主要的矛盾以及矛盾之主要的方面和非主要的方面这两种情形，也就是说不研究这两种矛盾情况的差别性，那就将陷入抽象的研究，不能具体地懂得矛盾的情况，因而也就不能找出解决矛盾的正确的方法. 这两种矛盾情况的差别性或特殊性，都是矛盾力量的不平衡性. 世界上没有绝对平衡发展的东西，我们必须反对平衡论或均衡论. 同时，这种具体的矛盾状况以及矛盾的主要方面和非主要方面在发展过程中的变化，正是表现出新事物代替旧事物的力量.
我们要在生活和工作中用好矛盾论，主要还是一个“主次矛盾”和“度量掌握”问题.
“十指皆有不齐，荷花皆有高低”，说的就是我们先要看清事物间的区别和不同，再分析你的需要目的，而取相应部分. 只有我们做到知己知彼后，尽量扬长避短，优化自己所掌握的有限资源，才能达到最大效应或效益.
因此，发现矛盾、认清矛盾的两面性甚至是多面性、特殊性，进而找出、抓住主要矛盾，集力击之，这就是我们要采取的正确的方法.
下面，我用“矛盾论”的思想就三角条件恒等式的证明方法与同学们做一些交流.
以角度为主要矛盾，得到“配角法”的思路
同学们在遇到三角条件恒等式的证明问题的时候，常常因为函数名和角的关系不知所措，我们认为，函数名和角就是一对矛盾，当我们碰到矛盾时，我们怎么解决这个问题呢？我认为，我们可以利用辩证法中的矛盾论的思想来解决. 在这类问题中，角的变化是主要矛盾，函数名的变化是次要矛盾. 因为“在复杂的事物的发展过程中，有许多的矛盾存在，其中必有一种是主要的矛盾，由于它的存在和发展规定或影响着其他矛盾的存在和发展”.
请看下面的例子：
例1已知sinβ=msin（2α+β），求证：tan（α+β）=tanα.
分析这是一个比较典型的三角条件恒等式的证明问题，我们的学生拿到这类问题之后，常常因为条件与结论之间不仅函数名不一样（sin与tan），角度也明显不同（条件是β、2α+β两种角度；结论是α+β、α两种角度），从而茫然不知所措，往往有种害怕的心理. 其实这类问题并不可怕.
我们抓住主要矛盾分析一下：主要矛盾就是角度，条件和结论中的角度之间的关系是什么样的呢？有什么联系呢？
下面的式子就是这种联系：把β看做两个角度之差，把2α+β看做两个角度之和，有β=（α＋β）－α，2α+β=（α＋β）＋α.
好了，我们暂时不关心函数名，只做角度的调整. 我们坚信，如果角度调整到位，函数名也一定会有所变化，这种变化就是条件到结论的转化. 下面，让我们看看证明的过程.
证明由条件sinβ=msin（2α+β）变形得sin（α+β－α）=msin（α+β+α）.
现在利用两角和与差的关系式展开变形得（评述：这就是转化的过程）
sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=m［sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα］.
也即：（1－m）sin（α+β）cosα=（m+1）•cos（α+β）sinα.
再将此式左右相除，即得结论：tan（α+β）=tanα.
反思此题紧紧抓住角度的变化这一主要矛盾，顺利地解决了这个貌似困难的问题. 其实，这种方法就是我们常说的“配角法”，这种方法的要点是抓住角度是这种问题的主要矛盾，发现条件和结论之间的角度关系，进而促进条件和结论的转化. 我们再举一个例子，看看“配角法”这个方法是否具有普遍性.
例2已知sinα=Asin（α+β），且A<1，求证：tan（α+β）=.
分析条件的角度是α，α+β，结果中的角度是β，α+β，它们之间是什么关系呢？
α+β－β=α.
证明我们将条件转化为sin［（α+β）-β］=Asin（α+β）
我们将此式展开即可得到结论.
例3已知2sinβ=sinα+sinγ，求证：2tan=tan+tan.
分析我们注意到本题看上去比较复杂，其主要矛盾是角度比较多，主要有六种角度：
β、α、γ、、、. 这些角度有什么关系呢？
－=；－=.
证明sinα－sinβ=sinβ－sinγ，利用和差化积公式得
2cossin=2cossin，变形有
= ，我们再利用角度变化的关系得
=.
展开即有tan－tan=tan－tan.
整理即有2tan=tan+tan.
反思辩证法的思想让我们把问题简单化了.
以参数或某种函数为主要矛盾，得到“带入消元法”的思路
我们再看看例1，例1这个问题中，我们注意到m是条件和结论的中介，如果我们把m当做矛盾中的主要矛盾，我们就得到新的解法——带入消元法.
例1的证明方法2：由条件，m=.
所以tanα=tanα=tanα=•tanα=tan（α+β）.
我们再看例2的证明方法2：分类讨论.
（1）sinα+β=0?圯sinα=0?圯sinβ=0，所以左=右.
（2）sin（α+β）≠0，因为A=，
所以有：=
=
==tan（α+β）.
例4已知cosα=cosβcosγ，求证：tantan=tan2.
分析我们把条件中的cosγ和结论中的tan看做问题的主要矛盾，我们只要找到它们之间的联系，此问题就迎刃而解了. 所以tan2=.
证明因为cosγ=. 所以tan2=====tantan.
例5已知：sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，且θ为锐角，b≠±1. 求证：cosθ=.
分析本题问题的主要矛盾是φ，抓住主要矛盾，我们很快发现结论并没有φ，这正是我们要解决的问题. 消去φ是本题的关键.
证明由条件得：cscφ=，cotφ=bcotθ. 因为=+1，则a2=b2cos2θ+1－cos2θ. 则cos2θ=，有cosθ=.
通过以上例题的分析，我们发现，只要自觉运用哲学上的一些思想得到的解决问题的方法，看似困难的问题往往并不像看上去那样难. 我们似乎得出这样的结论：因为，世上很多道理都是相通的，所以，只要我们用心去发现，智慧就在我们身边. 有了以上的分析，我们认为，三角条件恒等式的证明方法的思路是清晰的，只要我们掌握了正确的思维方式，看似比较复杂的问题我们完全可以迎刃而解. 数学也让我们不觉得那么困难了.
关键词：辩证法；证明三角条件恒等式；角度；函数
《矛盾论》是毛泽东一九三七年八月写的哲学经典著作，论述了矛盾普遍性和矛盾特殊性的原理． 它指出：矛盾的普遍性包括两方面的含义，一方面是指矛盾存在于一切事物的发展过程中，另一方面是指每一事物的发展过程中存在着自始至终的矛盾运动.
在复杂的事物的发展过程中，有许多的矛盾存在，其中必有一种是主要的矛盾，由于它的存在和发展规定或影响着其他矛盾的存在和发展. 因此，不管怎样，事物在发展过程的各个阶段中，只有一种主要的矛盾起着领导的作用，是完全没有疑义的. 由此可知，任何过程如果有多数矛盾存在的话，其中必定有一种是主要的，起着领导、决定的作用，其他则处于次要和服从的地位. 因此，我们研究任何过程，如果是存在着两个以上矛盾的复杂过程的话，就要用全力找出它的主要矛盾. 而且，我们认为，只要捉住了这个主要矛盾，一切问题就迎刃而解了，这是马克思研究资本主义社会告诉我们的方法. 万千的学问家和实行家，不懂得这种方法，结果如堕烟海，找不到中心，也就找不到解决矛盾的方法.
然而，这种情形不是固定的，矛盾的主要和非主要的方面互相转化着，事物的性质也就随着起变化. 在矛盾发展的一定过程或一定阶段上，主要方面属于甲方，非主要方面属于乙方；到了另一发展阶段或另一发展过程时，就互易其位置，这是依靠事物发展中矛盾双方斗争的力量的增减程度来决定的.
我们常常说“新陈代谢”是宇宙间普遍的永远不可抵抗的规律. 依事物本身的性质和条件，经过不同的飞跃形式，一事物转化为其他事物，就是新陈代谢的过程. 任何事物的内部都有其新旧两个方面的矛盾，形成一系列的曲折的斗争. 斗争的结果，新的方面由小变大，上升为支配的东西；旧的方面则由大变小，变成逐步归于灭亡的东西. 而一当新的方面对于旧的方面取得支配地位的时候，旧事物的性质就变化为新事物的性质. 由此可见，事物的性质主要是由取得支配地位的矛盾的主要方面所规定的. 取得支配地位的矛盾的主要方面起了变化，事物的性质也就随着起变化. ?摇?摇
在研究矛盾特殊性的问题中，如果不研究过程中主要的矛盾和非主要的矛盾以及矛盾之主要的方面和非主要的方面这两种情形，也就是说不研究这两种矛盾情况的差别性，那就将陷入抽象的研究，不能具体地懂得矛盾的情况，因而也就不能找出解决矛盾的正确的方法. 这两种矛盾情况的差别性或特殊性，都是矛盾力量的不平衡性. 世界上没有绝对平衡发展的东西，我们必须反对平衡论或均衡论. 同时，这种具体的矛盾状况以及矛盾的主要方面和非主要方面在发展过程中的变化，正是表现出新事物代替旧事物的力量.
我们要在生活和工作中用好矛盾论，主要还是一个“主次矛盾”和“度量掌握”问题.
“十指皆有不齐，荷花皆有高低”，说的就是我们先要看清事物间的区别和不同，再分析你的需要目的，而取相应部分. 只有我们做到知己知彼后，尽量扬长避短，优化自己所掌握的有限资源，才能达到最大效应或效益.
因此，发现矛盾、认清矛盾的两面性甚至是多面性、特殊性，进而找出、抓住主要矛盾，集力击之，这就是我们要采取的正确的方法.
下面，我用“矛盾论”的思想就三角条件恒等式的证明方法与同学们做一些交流.
以角度为主要矛盾，得到“配角法”的思路
同学们在遇到三角条件恒等式的证明问题的时候，常常因为函数名和角的关系不知所措，我们认为，函数名和角就是一对矛盾，当我们碰到矛盾时，我们怎么解决这个问题呢？我认为，我们可以利用辩证法中的矛盾论的思想来解决. 在这类问题中，角的变化是主要矛盾，函数名的变化是次要矛盾. 因为“在复杂的事物的发展过程中，有许多的矛盾存在，其中必有一种是主要的矛盾，由于它的存在和发展规定或影响着其他矛盾的存在和发展”.
请看下面的例子：
例1已知sinβ=msin（2α+β），求证：tan（α+β）=tanα.
分析这是一个比较典型的三角条件恒等式的证明问题，我们的学生拿到这类问题之后，常常因为条件与结论之间不仅函数名不一样（sin与tan），角度也明显不同（条件是β、2α+β两种角度；结论是α+β、α两种角度），从而茫然不知所措，往往有种害怕的心理. 其实这类问题并不可怕.
我们抓住主要矛盾分析一下：主要矛盾就是角度，条件和结论中的角度之间的关系是什么样的呢？有什么联系呢？
下面的式子就是这种联系：把β看做两个角度之差，把2α+β看做两个角度之和，有β=（α＋β）－α，2α+β=（α＋β）＋α.
好了，我们暂时不关心函数名，只做角度的调整. 我们坚信，如果角度调整到位，函数名也一定会有所变化，这种变化就是条件到结论的转化. 下面，让我们看看证明的过程.
证明由条件sinβ=msin（2α+β）变形得sin（α+β－α）=msin（α+β+α）.
现在利用两角和与差的关系式展开变形得（评述：这就是转化的过程）
sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=m［sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα］.
也即：（1－m）sin（α+β）cosα=（m+1）•cos（α+β）sinα.
再将此式左右相除，即得结论：tan（α+β）=tanα.
反思此题紧紧抓住角度的变化这一主要矛盾，顺利地解决了这个貌似困难的问题. 其实，这种方法就是我们常说的“配角法”，这种方法的要点是抓住角度是这种问题的主要矛盾，发现条件和结论之间的角度关系，进而促进条件和结论的转化. 我们再举一个例子，看看“配角法”这个方法是否具有普遍性.
例2已知sinα=Asin（α+β），且A<1，求证：tan（α+β）=.
分析条件的角度是α，α+β，结果中的角度是β，α+β，它们之间是什么关系呢？
α+β－β=α.
证明我们将条件转化为sin［（α+β）-β］=Asin（α+β）
我们将此式展开即可得到结论.
例3已知2sinβ=sinα+sinγ，求证：2tan=tan+tan.
分析我们注意到本题看上去比较复杂，其主要矛盾是角度比较多，主要有六种角度：
β、α、γ、、、. 这些角度有什么关系呢？
－=；－=.
证明sinα－sinβ=sinβ－sinγ，利用和差化积公式得
2cossin=2cossin，变形有
= ，我们再利用角度变化的关系得
=.
展开即有tan－tan=tan－tan.
整理即有2tan=tan+tan.
反思辩证法的思想让我们把问题简单化了.
以参数或某种函数为主要矛盾，得到“带入消元法”的思路
我们再看看例1，例1这个问题中，我们注意到m是条件和结论的中介，如果我们把m当做矛盾中的主要矛盾，我们就得到新的解法——带入消元法.
例1的证明方法2：由条件，m=.
所以tanα=tanα=tanα=•tanα=tan（α+β）.
我们再看例2的证明方法2：分类讨论.
（1）sinα+β=0?圯sinα=0?圯sinβ=0，所以左=右.
（2）sin（α+β）≠0，因为A=，
所以有：=
=
==tan（α+β）.
例4已知cosα=cosβcosγ，求证：tantan=tan2.
分析我们把条件中的cosγ和结论中的tan看做问题的主要矛盾，我们只要找到它们之间的联系，此问题就迎刃而解了. 所以tan2=.
证明因为cosγ=. 所以tan2=====tantan.
例5已知：sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，且θ为锐角，b≠±1. 求证：cosθ=.
分析本题问题的主要矛盾是φ，抓住主要矛盾，我们很快发现结论并没有φ，这正是我们要解决的问题. 消去φ是本题的关键.
证明由条件得：cscφ=，cotφ=bcotθ. 因为=+1，则a2=b2cos2θ+1－cos2θ. 则cos2θ=，有cosθ=.
通过以上例题的分析，我们发现，只要自觉运用哲学上的一些思想得到的解决问题的方法，看似困难的问题往往并不像看上去那样难. 我们似乎得出这样的结论：因为，世上很多道理都是相通的，所以，只要我们用心去发现，智慧就在我们身边. 有了以上的分析，我们认为，三角条件恒等式的证明方法的思路是清晰的，只要我们掌握了正确的思维方式，看似比较复杂的问题我们完全可以迎刃而解. 数学也让我们不觉得那么困难了.