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摘要:本文论述了什么是分马策略. 分马策略在配方及求最大(最小)值、值域、定义域,在求函数表达式,分离系数法,求数列通项,求函数值,数学归纳法,构造函数与构造方程中都有广泛的应用.
关键词:分马策略;激活;配方法;数学归纳法;构造函数
分马策略有一个老牧民临终前给他的三个儿子留下一份遗嘱:“我把劳动一生所得的17匹马留给你们,分匹马(18-9-6-2=1)还给邻居.
分马问题中借一匹马起到了关键作用. 与分马问题有相同策略的是“喝水问题”.
喝水问题已知4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水,现有15个矿泉水空瓶,若不找钱,最多可以喝几瓶矿泉水?
它与分马问题的策略一样,可先借1个矿泉水空瓶,则16个矿泉水空瓶可换4瓶矿泉水,喝完4瓶矿泉水后,又笔者讲立体几何、代数问题、三角问题甚至于积分时,先讲“分马问题”或“喝水问题”以引起学生对这种解题策略的兴趣. 学生毕业后进了大学,回母校找数学老师反映说,几何、代数、三角等具体数学问题都遗忘了,但“分马问题”和“喝水问题”的策略还深深地记忆在脑子里. 数学老师说,到了大学,高等代数或微积分中还可以用“分马策略”.?摇
激活策略有宏观与微观之分. 一个公式、法则、定理、例题可激活别的数学题,复习与新知识有关的旧知识都是微观激活;而数学思想方法、经验的概括则是宏观激活. 分马激活策略是宏观激活,也是一种“和谐化策略”. 分马策略是且只是为了激活,如已知f(x)=x+2,g(x)=x2-x-6,当x满足f(x)>g(x)时,求函数■的最小值.
3.
点评两种方法的恒等变形均用“分马策略”,其一用完全平方公式;其二用的是平方差公式,这都是“分马策略”激活了均值不等式.
■在配方中的激活
1. 配方求最值
例1若x≥0,y≥0且x+2y=1,那么2x+3y2的最小值为________.
解析因为x=1-2y,
所以2x+3y2=2(1-2y)+3y2=3y2-4y+2.
点评从以上推理过程可见,配方法中,配一次项系数一半的平方实属“分马策略”. 其实“分马策略”是一种“和谐化策略”.
2. 配方求值域
例2 求下列函数的值域.
点评前面论述过,凡是用配方法的地方都是“分马策略”的具体应用. 将笫(2)题改个符号并附加限制条看.
法.
■在求数列通项中的激活
例6已知数列{an｝满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1,(n≥2),则数列{an｝的通项an=1(n=1),______(n≥2).
解析由a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)得出
a2=a1a3=a1+2a2=3a2a4=a1+2a2+3a3=4a3…?圯an=nan-1=
n(n-1)an-2=…=n(n-1)(n-2)…a2a1=
例7求证:34n+2+52n+1(n∈N)能被14整除.
解析(1)当n=0时,结论显然成立. 当n=1时,36+53=729+125=854能被14整除.
(2)当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1=34(k+1)+2-34k+2×52+34k+2×52+52k+3=34k+2(34-52)+52(34k+2+52k+1)=56×34k+2+25(34k+2+52k+1). 根椐归纳假设知(34k+ 2+52k+1)与56都能被14整除,故34n+2+52n+1(n∈N)能被14整除.
点评可见“分马策略”(即“和谐化策略”)在此用得非常自然. 为什么知道要加减同一个34k+2×52呢?因为只有34(k+1)+2减去34k+2×52在提出公因式之后才能被14整除;同时也只有34k+2×52加上52(k+1)+1才能充分利用归纳假设,这是观察力、注意力、想象力、思维力综合作用的结果.
综上所述,“分马策略”既是“和谐化策略”,又是一种解(证)题技巧. 它不但在配方、求函数值、分离常数法、求函数值域、求数列通项、解方程以及其他综合应用中充当很重要的角色,还在立体几何的构造补图在被积函数的分子中使用“分马策略”在积分中起到关键作用.
下面是分马策略在初中教学中的应用:一棵树高九丈八,一只蜗牛往上爬. 白天往上爬一丈,晚上下滑七尺八. 试问需要多少天,爬到树顶不下滑.
用“分马策略”有如下的用方程方法解:(10-7.8)(x-1)+10=98. 解得x=41. 所以蜗牛需要41天才能爬到树顶不下滑.
读者研究分析一下,什么地方用了“分马策略”,即什么地方用了加10再减10的“分马策略”.
关键词:分马策略;激活;配方法;数学归纳法;构造函数
分马策略有一个老牧民临终前给他的三个儿子留下一份遗嘱:“我把劳动一生所得的17匹马留给你们,分匹马(18-9-6-2=1)还给邻居.
分马问题中借一匹马起到了关键作用. 与分马问题有相同策略的是“喝水问题”.
喝水问题已知4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水,现有15个矿泉水空瓶,若不找钱,最多可以喝几瓶矿泉水?
它与分马问题的策略一样,可先借1个矿泉水空瓶,则16个矿泉水空瓶可换4瓶矿泉水,喝完4瓶矿泉水后,又笔者讲立体几何、代数问题、三角问题甚至于积分时,先讲“分马问题”或“喝水问题”以引起学生对这种解题策略的兴趣. 学生毕业后进了大学,回母校找数学老师反映说,几何、代数、三角等具体数学问题都遗忘了,但“分马问题”和“喝水问题”的策略还深深地记忆在脑子里. 数学老师说,到了大学,高等代数或微积分中还可以用“分马策略”.?摇
激活策略有宏观与微观之分. 一个公式、法则、定理、例题可激活别的数学题,复习与新知识有关的旧知识都是微观激活;而数学思想方法、经验的概括则是宏观激活. 分马激活策略是宏观激活,也是一种“和谐化策略”. 分马策略是且只是为了激活,如已知f(x)=x+2,g(x)=x2-x-6,当x满足f(x)>g(x)时,求函数■的最小值.
3.
点评两种方法的恒等变形均用“分马策略”,其一用完全平方公式;其二用的是平方差公式,这都是“分马策略”激活了均值不等式.
■在配方中的激活
1. 配方求最值
例1若x≥0,y≥0且x+2y=1,那么2x+3y2的最小值为________.
解析因为x=1-2y,
所以2x+3y2=2(1-2y)+3y2=3y2-4y+2.
点评从以上推理过程可见,配方法中,配一次项系数一半的平方实属“分马策略”. 其实“分马策略”是一种“和谐化策略”.
2. 配方求值域
例2 求下列函数的值域.
点评前面论述过,凡是用配方法的地方都是“分马策略”的具体应用. 将笫(2)题改个符号并附加限制条看.
法.
■在求数列通项中的激活
例6已知数列{an｝满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1,(n≥2),则数列{an｝的通项an=1(n=1),______(n≥2).
解析由a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)得出
a2=a1a3=a1+2a2=3a2a4=a1+2a2+3a3=4a3…?圯an=nan-1=
n(n-1)an-2=…=n(n-1)(n-2)…a2a1=
例7求证:34n+2+52n+1(n∈N)能被14整除.
解析(1)当n=0时,结论显然成立. 当n=1时,36+53=729+125=854能被14整除.
(2)当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1=34(k+1)+2-34k+2×52+34k+2×52+52k+3=34k+2(34-52)+52(34k+2+52k+1)=56×34k+2+25(34k+2+52k+1). 根椐归纳假设知(34k+ 2+52k+1)与56都能被14整除,故34n+2+52n+1(n∈N)能被14整除.
点评可见“分马策略”(即“和谐化策略”)在此用得非常自然. 为什么知道要加减同一个34k+2×52呢?因为只有34(k+1)+2减去34k+2×52在提出公因式之后才能被14整除;同时也只有34k+2×52加上52(k+1)+1才能充分利用归纳假设,这是观察力、注意力、想象力、思维力综合作用的结果.
综上所述,“分马策略”既是“和谐化策略”,又是一种解(证)题技巧. 它不但在配方、求函数值、分离常数法、求函数值域、求数列通项、解方程以及其他综合应用中充当很重要的角色,还在立体几何的构造补图在被积函数的分子中使用“分马策略”在积分中起到关键作用.
下面是分马策略在初中教学中的应用:一棵树高九丈八,一只蜗牛往上爬. 白天往上爬一丈,晚上下滑七尺八. 试问需要多少天,爬到树顶不下滑.
用“分马策略”有如下的用方程方法解:(10-7.8)(x-1)+10=98. 解得x=41. 所以蜗牛需要41天才能爬到树顶不下滑.
读者研究分析一下,什么地方用了“分马策略”,即什么地方用了加10再减10的“分马策略”.