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摘要： 对空间漂浮航天器太阳阵展开与锁定过程的刚柔耦合动力学与控制问题进行较为全面的研究。基于Jourdain速度变分原理和单向递推组集方法，建立了太阳阵展开与锁定过程的刚柔耦合多体系统动力学模型，采用模糊自适应PD控制方法对航天器本体的姿态扰动进行主动控制。通过对考虑柔性效应的太阳阵展开与锁定过程的数值仿真，较好地预测了太阳阵展开历程及航天器本体姿态扰动情况。另外，通过采用模糊自适应PD控制方法与传统PD控制方法进行仿真比较，验证了该控制方法对航天器姿态控制的有效性。
关键词： 刚柔耦合动力学； 太阳阵； 单向递推组集； 模糊自适应PD控制； ADAMS
中图分类号： O313.7； V412.4+2 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2015）05-0770-08
引 言
太阳阵是航天器的重要部件，它为航天器的在轨工作提供电力。太阳阵在航天器入轨前呈收拢状态，入轨后太阳阵压紧机构释放和展开机构动作，以实现太阳阵各帆板的展开与锁定。太阳阵的展开过程呈现出复杂的动力学行为，太阳阵展开动作会对航天器的姿态造成扰动[1]，太阳阵展开到位后在锁定装置的作用下实现瞬间锁定，这将诱发轻质柔性太阳帆板的激振，同时也会对展开机构造成严重的损害，因此开展航天器太阳阵展开动力学的研究工作是非常有必要的[2]。另外，随着空间科学技术的发展，一方面是航天器朝着大型化和柔性化方向发展，太阳阵尺寸和规模随之变大，柔性效应不可忽略，另一方面是高速度和高精度的要求，这就需要对太阳阵展开过程进行精确的动力学建模和动力学分析，为后续的控制设计提供模型保障。
截至目前，国内外众多学者对太阳阵展开动力学进行了较为广泛的研究，例如，Wie等[3]对INSAT航天器的刚性展开机构进行了运动学建模和数值仿真；Oskar和Simon[4]采用SIMPACK程序对柔性太阳帆板展开进行建模分析，讨论了太阳阵柔性对驱动机构的影响；郭峰等[57]基于ADAMS软件建立了刚性太阳帆板展开动力学模型，分析了帆板展开过程的动力学问题；Birhanu Fufa等[89]采用ADAMS和ANSYS商业软件对太阳阵展开、锁定过程动力学与卫星本体姿态扰动等问题进行建模分析等等。由以上可以看出，太阳阵展开动力学一直是国内外的研究热点，众多学者对此开展了大量的研究工作，但是仍存在一些问题有待进行深入探讨，例如现有的研究对考虑柔性效应的太阳阵展开动力学及其对航天器姿态影响的研究尚不充分，文献[89]研究了考虑帆板柔性变形的太阳阵展开时间历程及航天器本体位姿变化情况，但是研究工作主要是基于虚拟样机技术，没有从理论上给出描述系统动态规律的动力学方程，也没有开展相应的航天器位姿控制研究。
本文采用单向递推组集方法对考虑柔性效应的太阳阵展开动力学与控制问题进行了详细研究，通过与NASTRAN和ADAM的仿真结果对比验证了本文所建模型的正确性，本文所给出的模糊自适应PD控制策略能够有效地抑制太阳阵展开引起的航天器本体位姿的漂移现象。
1 太阳阵系统结构〖*2〗1.1 系统描述 如图1所示为某航天器太阳阵系统结构简图。系统由航天器本体（Hub）、连接块（Yoke）、3块太阳帆板和铰链等所组成，其中航天器本体、连接块、太阳帆板三者之间都是通过扭簧铰链相互铰接，由此形成链式结构。太阳阵释放前处于折叠状态，在航天器入轨后各展开构件靠扭簧驱动而同步展开，展开到预定位置后触发锁定装置使太阳阵最终锁定在期望位置。
（3）式中 θ为展开构件的展开角位移如图1（c）所示，为其展开角速度；x1和x2分别为跃阶函数STEP中角位移变量的低阀值和高阀值；x3和x4分别为双侧碰撞函数BISTOP的角位移变量的低阀值和高阀值；k和e分别为刚度系数和刚度指数；c和d分别为阻尼系数和阻尼增量距离。
2 太阳阵展开动力学与控制
本节基于混合坐标即拉格朗日坐标和模态坐标，采用Jourdain速度变分原理和单向递推组集方法建立太阳阵多体系统的动力学方程。最后采用模糊自适应PD控制策略进行航天器本体位姿主动控制的设计。
2.1 系统动力学建模
航天器在太阳阵整个展开及锁定过程中处于自由悬浮状态，其多体系统动力学模型为一无根多体系统。航天器太阳阵多体系统拓扑构型如图2（a）所示，其中B1为航天器本体，B2为连接块，B3～BN为太阳阵各帆板。为了在动力学仿真中考虑航天器本体姿态的变化，在本体和轨道坐标系之间引入一个6自由度的虚铰，建立轨道坐标系x0y0z0与本体虚铰坐标系xP1yP1zP1，本体虚铰坐标系xP1yP1zP1与本体浮动坐标系x1y1z1固结，并令初始时x0y0z0与xP1yP1zP1两坐标系相互平行，Qj和Pi分别为铰Hi在邻接两物体上的内、外接铰点，坐标系xPiyPizPi和xQiyQizQi分别为铰点Pi和Qj的当地坐标，坐标系xRyRzR为参考坐标系且令其与轨道坐标系平行，坐标系xiyizi为Bi的浮动坐标系（通常建立在Bi未变形前的质心位置），i=1～N为物体Bi标号，j=L（i）为Bi内接物体标号。
（22）2.2 控制设计
太阳阵的展开过程会对航天器的位姿造成影响，影响其定位精度，采用合适的控制策略抑制这种姿态漂移现象是十分必要的[12]。在控制策略方面，传统的线性PD控制策略由于实际工程运用简便而备受关注，但其控制增益是凭借经验设定的，并不能根据控制系统具体情况自动调整，对于复杂系统其控制效果并不理想，而基于传统PD控制方法改进的模糊自适应PD控制策略能够实时地获取控制系统较为理想的增益值，对于复杂系统的控制效果良好[13]。本小节将采用模糊自适应PD控制方法，通过施加在Hub上6个自由度上的控制力和力矩来控制帆板展开所引起的系统位形变化。施加控制项后，系统方程（22）可以改写为=F（，y）+Dτ（t） 3 数值仿真
本节进行数值仿真，验证以上理论的有效性。考虑航天器带有三块帆板的情况。系统物理参数见表1。
航天器在空间处于漂浮状态，初始时刻太阳阵为收拢状态。所有扭簧刚度皆取值为Kdrive=0.1N·m/rad，CCL装置的等效扭转刚度取值为KCCL=5 N·m/rad。Yoke和三块帆板在展开过程中需要保持同步性，因此任意时刻展开角之间在数值上应满足θ2=θ3=θ4=2θ1。锁定机构的锁定力矩函数各参数的取值可以参考文献[4]，在此不再给出。
采用MSC/NASTRAN有限元分析程序对连接块和各帆板进行有限元分析以提取相关的模态信息[11]。连接块采用固支自由模型，取121个节点，其第1阶模态刚度为1.257×106，前3阶特征频率分别为178.447，235.479和385.378 Hz。各帆板采用简支自由模型，离散为225个节点并取前3阶模态（删除刚体模态）。各帆板第1阶模态刚度为389.874，前3阶特征频率分别为3.142，6.391和15.622 Hz。通过连接块和帆板第1阶刚度的比较，连接块要比帆板高出3个数量级。故在仿真计算中将航天器本体和连接块做刚体假设，帆板做柔性体假设。
根据本文理论自编程序进行数值仿真。航天器的连接块和三块帆板的角位移时程如图3所示，可以看出，太阳阵各展开构件在扭簧驱动及CCL装置的共同作用下实现同步展开动作，并在17.5 s依靠锁定机构开始锁定。另外，根据文献[2]的方法采用通用软件NASTRAN和ADAMS对上文所建立的模型进行数值仿真，仿真曲线如图3虚线所示，可以看出，采用本文方法能够取得与ADAMS软件相同的仿真结果，这验证了本文方法的有效性。
太阳阵的展开过程会引起航天器本体位姿的变化，如图4中虚线所示。为了抑制位姿漂移，分别采用传统PD方法和改进的模糊自适应PD方法进行控制。传统PD控制律可写为τ（t）=kpea（t）+kda（t），其增益取值为kp（i，i）=103，kd（i，i）=2×102，i=1～6。控制仿真结果如图4黑实线所示，可看出，施加控制后航天器本体基本维持在初始位置。为获得更有效的控制效果，采用改进的模糊自适应PD策略进行控制，其中Δkp和Δkd可由表2模糊规则确定，输入变量eja，ja和输出变量Δkjp，Δkjd的隶属度函数如图5所示。图6黑实线给出了航天器本体位姿在采用模糊自适应PD控制策略下的控制效果，可以看出采用模糊自适应控制策略可以更好地抑制航天器本体的位姿漂移现象。
4 结 论
本文采用虚功率原理和单向递推方法研究了考虑帆板柔性变形的太阳阵展开动力学建模与主动控制问题，给出了系统动力学建模的详细推导过程。传统的递推牛顿欧拉法采用描述大范围运动的笛卡尔坐标和小幅弹性变形的模态坐标建立多柔体系统的动力学方程，该方程维数较大，且不便于后续的主动控制设计。本文采用独立的拉格朗日坐标和模态坐标建立刚柔耦合的太阳阵多体系统动力学模型，该方程具有较少的自由度维数，便于主动控制的设计。通过与ADAMS软件的仿真结果进行对比，验证了所建系统模型的正确性，而且该模型具有计算效率高和程式化的特点。研究结果显示，本文模型能够有效地对太阳阵的展开动力学问题进行描述，太阳阵的展开过程会导致航天器的位姿发生漂移，基于位形本体信息反馈的模糊自适应PD控制方法能够有效地抑制这种位姿漂移。
参考文献：
[1] Jinlu Kuang， Paul A Meehan， Leung A Y T， et al. Nonlinear dynamic of a satellite with deployable solar panels [J]. International Journal of NonLinear Mechanics， 2004， 39（7）： 1 161—1 179.
[2] Gao Erwei， Zhang Xueping， Yao Zhenqiang. Simulation and analysis of flexible solar panels’ deployment and locking processes [J]. Journal of Shanghai Jiaotong University， 2008， 13（3）： 275—279.
[3] Wie B， Furumoto N， Banerjee A K， et al. Modeling and simulation of spacecraft solar array deployment [J]. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 1986， 9（5）： 593—598.
[4] Oskar W， Simon W. Simulation of deployment of a flexible solar array [J]. Multibody System Dynamics， 2002， 7： 101—125.
[5] 郭峰， 黄振华， 邓扬明. 基于ADAMS航天器刚性太阳帆板动力学仿真分析[J]. 机械设计与制造， 2004， 4： 71—72.
Guo Feng， Huang Zhenhua， Deng Yangming. Test simulation of deployment motion of satellite solar array using ADAMS [J]. Machinery Design and Manufacture， 2004， 4： 71—72.
[6] 白争锋， 田浩， 赵阳. 基于虚拟样机的太阳帆板展开动力学仿真[J]. 系统仿真学报， 2009， 21（13）： 3 975—3 979. Bai Zhengfeng， Tian Hao， Zhao Yang. Dynamics simulation of deployment of solar panels in different layouts based on ADAMS [J]. Journal of System Simulation， 2009， 21（13）： 3 975—3 979.
[7] 游斌弟， 王兴贵， 陈军. 卫星太阳阵展开锁紧过程冲击振动[J]. 机械工程学报， 2012， 48（21）： 67—76.
You Bindi， Wang Xinggui， Chen Jun. Vibration and impact for deployable solar array of satellite with locking hinges [J]. Journal of Mechanical Engineering， 2012， 48（21）： 67—76.
[8] Birhanu F， Chen Z B， Ma W S. Modeling simulation of satellite solar panel deployment and locking [J]. Information Technology Journal， 2010， 9（3）： 600—604.
[9] 白争锋， 田浩， 赵阳. 基于ADAMS航天器太阳帆板展开与锁定动力学仿真[J]. 机械设计与制造， 2006， 11： 124—126.
Bai Zhengfeng， Tian Hao， Zhao Yang. Dynamics simulation of deployment and locking of spacecraft solar panel using ADAMS [J]. Machinery Design and Manufacture， 2006， 11： 124—126.
[10] Daniel W K. Techniques for using ADAMS in spacecraft applications [A]. ADAMS： Mechanical DynamicsCustomer Service， 16th European MDI User Conference[C]. Berchtesgaden， Germany， 2001.
[11] 洪嘉振. 计算多体系统动力学[M]. 北京： 高等教育出版社， 2003.
Hong Jiazhen. Computational Dynamics of Multibody Systems[M]. Beijing： High Education Press， 1999.
[12] Bai Z， Zhao Y. Attitude motion of spacecraft during oblique solar panel deployment[J]. Aircraft Engineering and Aerospace Technology， 2012， 84（2）： 109—114.
[13] Wen SH， Yang H. Fuzzy adaptive PD control for robot and experiment study[A]. Proceedings of the Fourth International Conference on Machine Learning and Cybernetics[C]. Guangzhou， China， 2005， 2： 834—839.
Abstract： The deployment and locking of solar arrays of the freefloating spacecraft is studied comprehensively in this paper. The rigidflexible coupling dynamic model for describing the deployment and locking process is established using Jourdain′s velocity varitional principle and the approach of forward recursive formulation. The control design of the solar array system is discussed and the fuzzy adaptive PD control method is used for controller design. The deployment and locking process for solar arrays is well predicted through numerical simulation for the rigidflexible coupling dynamic model. In addition， the effectiveness of the above control approach is verified by comparing the control results with the conventional PD control.
Key words： rigidflexible coupling dynamics； solar arrays； forward recursive formulation； fuzzy adaptive PD control； ADAMS
作者简介： 段柳成（1989—），男，硕士研究生。电话： 18818214073； Email： sjtudlc@sjtu.edu.cn
通讯作者： 蔡国平（1965—），男，教授。 Email： caigp@sjtu.edu.cn eja
关键词： 刚柔耦合动力学； 太阳阵； 单向递推组集； 模糊自适应PD控制； ADAMS
中图分类号： O313.7； V412.4+2 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2015）05-0770-08
引 言
太阳阵是航天器的重要部件，它为航天器的在轨工作提供电力。太阳阵在航天器入轨前呈收拢状态，入轨后太阳阵压紧机构释放和展开机构动作，以实现太阳阵各帆板的展开与锁定。太阳阵的展开过程呈现出复杂的动力学行为，太阳阵展开动作会对航天器的姿态造成扰动[1]，太阳阵展开到位后在锁定装置的作用下实现瞬间锁定，这将诱发轻质柔性太阳帆板的激振，同时也会对展开机构造成严重的损害，因此开展航天器太阳阵展开动力学的研究工作是非常有必要的[2]。另外，随着空间科学技术的发展，一方面是航天器朝着大型化和柔性化方向发展，太阳阵尺寸和规模随之变大，柔性效应不可忽略，另一方面是高速度和高精度的要求，这就需要对太阳阵展开过程进行精确的动力学建模和动力学分析，为后续的控制设计提供模型保障。
截至目前，国内外众多学者对太阳阵展开动力学进行了较为广泛的研究，例如，Wie等[3]对INSAT航天器的刚性展开机构进行了运动学建模和数值仿真；Oskar和Simon[4]采用SIMPACK程序对柔性太阳帆板展开进行建模分析，讨论了太阳阵柔性对驱动机构的影响；郭峰等[57]基于ADAMS软件建立了刚性太阳帆板展开动力学模型，分析了帆板展开过程的动力学问题；Birhanu Fufa等[89]采用ADAMS和ANSYS商业软件对太阳阵展开、锁定过程动力学与卫星本体姿态扰动等问题进行建模分析等等。由以上可以看出，太阳阵展开动力学一直是国内外的研究热点，众多学者对此开展了大量的研究工作，但是仍存在一些问题有待进行深入探讨，例如现有的研究对考虑柔性效应的太阳阵展开动力学及其对航天器姿态影响的研究尚不充分，文献[89]研究了考虑帆板柔性变形的太阳阵展开时间历程及航天器本体位姿变化情况，但是研究工作主要是基于虚拟样机技术，没有从理论上给出描述系统动态规律的动力学方程，也没有开展相应的航天器位姿控制研究。
本文采用单向递推组集方法对考虑柔性效应的太阳阵展开动力学与控制问题进行了详细研究，通过与NASTRAN和ADAM的仿真结果对比验证了本文所建模型的正确性，本文所给出的模糊自适应PD控制策略能够有效地抑制太阳阵展开引起的航天器本体位姿的漂移现象。
1 太阳阵系统结构〖*2〗1.1 系统描述 如图1所示为某航天器太阳阵系统结构简图。系统由航天器本体（Hub）、连接块（Yoke）、3块太阳帆板和铰链等所组成，其中航天器本体、连接块、太阳帆板三者之间都是通过扭簧铰链相互铰接，由此形成链式结构。太阳阵释放前处于折叠状态，在航天器入轨后各展开构件靠扭簧驱动而同步展开，展开到预定位置后触发锁定装置使太阳阵最终锁定在期望位置。
（3）式中 θ为展开构件的展开角位移如图1（c）所示，为其展开角速度；x1和x2分别为跃阶函数STEP中角位移变量的低阀值和高阀值；x3和x4分别为双侧碰撞函数BISTOP的角位移变量的低阀值和高阀值；k和e分别为刚度系数和刚度指数；c和d分别为阻尼系数和阻尼增量距离。
2 太阳阵展开动力学与控制
本节基于混合坐标即拉格朗日坐标和模态坐标，采用Jourdain速度变分原理和单向递推组集方法建立太阳阵多体系统的动力学方程。最后采用模糊自适应PD控制策略进行航天器本体位姿主动控制的设计。
2.1 系统动力学建模
航天器在太阳阵整个展开及锁定过程中处于自由悬浮状态，其多体系统动力学模型为一无根多体系统。航天器太阳阵多体系统拓扑构型如图2（a）所示，其中B1为航天器本体，B2为连接块，B3～BN为太阳阵各帆板。为了在动力学仿真中考虑航天器本体姿态的变化，在本体和轨道坐标系之间引入一个6自由度的虚铰，建立轨道坐标系x0y0z0与本体虚铰坐标系xP1yP1zP1，本体虚铰坐标系xP1yP1zP1与本体浮动坐标系x1y1z1固结，并令初始时x0y0z0与xP1yP1zP1两坐标系相互平行，Qj和Pi分别为铰Hi在邻接两物体上的内、外接铰点，坐标系xPiyPizPi和xQiyQizQi分别为铰点Pi和Qj的当地坐标，坐标系xRyRzR为参考坐标系且令其与轨道坐标系平行，坐标系xiyizi为Bi的浮动坐标系（通常建立在Bi未变形前的质心位置），i=1～N为物体Bi标号，j=L（i）为Bi内接物体标号。
（22）2.2 控制设计
太阳阵的展开过程会对航天器的位姿造成影响，影响其定位精度，采用合适的控制策略抑制这种姿态漂移现象是十分必要的[12]。在控制策略方面，传统的线性PD控制策略由于实际工程运用简便而备受关注，但其控制增益是凭借经验设定的，并不能根据控制系统具体情况自动调整，对于复杂系统其控制效果并不理想，而基于传统PD控制方法改进的模糊自适应PD控制策略能够实时地获取控制系统较为理想的增益值，对于复杂系统的控制效果良好[13]。本小节将采用模糊自适应PD控制方法，通过施加在Hub上6个自由度上的控制力和力矩来控制帆板展开所引起的系统位形变化。施加控制项后，系统方程（22）可以改写为=F（，y）+Dτ（t） 3 数值仿真
本节进行数值仿真，验证以上理论的有效性。考虑航天器带有三块帆板的情况。系统物理参数见表1。
航天器在空间处于漂浮状态，初始时刻太阳阵为收拢状态。所有扭簧刚度皆取值为Kdrive=0.1N·m/rad，CCL装置的等效扭转刚度取值为KCCL=5 N·m/rad。Yoke和三块帆板在展开过程中需要保持同步性，因此任意时刻展开角之间在数值上应满足θ2=θ3=θ4=2θ1。锁定机构的锁定力矩函数各参数的取值可以参考文献[4]，在此不再给出。
采用MSC/NASTRAN有限元分析程序对连接块和各帆板进行有限元分析以提取相关的模态信息[11]。连接块采用固支自由模型，取121个节点，其第1阶模态刚度为1.257×106，前3阶特征频率分别为178.447，235.479和385.378 Hz。各帆板采用简支自由模型，离散为225个节点并取前3阶模态（删除刚体模态）。各帆板第1阶模态刚度为389.874，前3阶特征频率分别为3.142，6.391和15.622 Hz。通过连接块和帆板第1阶刚度的比较，连接块要比帆板高出3个数量级。故在仿真计算中将航天器本体和连接块做刚体假设，帆板做柔性体假设。
根据本文理论自编程序进行数值仿真。航天器的连接块和三块帆板的角位移时程如图3所示，可以看出，太阳阵各展开构件在扭簧驱动及CCL装置的共同作用下实现同步展开动作，并在17.5 s依靠锁定机构开始锁定。另外，根据文献[2]的方法采用通用软件NASTRAN和ADAMS对上文所建立的模型进行数值仿真，仿真曲线如图3虚线所示，可以看出，采用本文方法能够取得与ADAMS软件相同的仿真结果，这验证了本文方法的有效性。
太阳阵的展开过程会引起航天器本体位姿的变化，如图4中虚线所示。为了抑制位姿漂移，分别采用传统PD方法和改进的模糊自适应PD方法进行控制。传统PD控制律可写为τ（t）=kpea（t）+kda（t），其增益取值为kp（i，i）=103，kd（i，i）=2×102，i=1～6。控制仿真结果如图4黑实线所示，可看出，施加控制后航天器本体基本维持在初始位置。为获得更有效的控制效果，采用改进的模糊自适应PD策略进行控制，其中Δkp和Δkd可由表2模糊规则确定，输入变量eja，ja和输出变量Δkjp，Δkjd的隶属度函数如图5所示。图6黑实线给出了航天器本体位姿在采用模糊自适应PD控制策略下的控制效果，可以看出采用模糊自适应控制策略可以更好地抑制航天器本体的位姿漂移现象。
4 结 论
本文采用虚功率原理和单向递推方法研究了考虑帆板柔性变形的太阳阵展开动力学建模与主动控制问题，给出了系统动力学建模的详细推导过程。传统的递推牛顿欧拉法采用描述大范围运动的笛卡尔坐标和小幅弹性变形的模态坐标建立多柔体系统的动力学方程，该方程维数较大，且不便于后续的主动控制设计。本文采用独立的拉格朗日坐标和模态坐标建立刚柔耦合的太阳阵多体系统动力学模型，该方程具有较少的自由度维数，便于主动控制的设计。通过与ADAMS软件的仿真结果进行对比，验证了所建系统模型的正确性，而且该模型具有计算效率高和程式化的特点。研究结果显示，本文模型能够有效地对太阳阵的展开动力学问题进行描述，太阳阵的展开过程会导致航天器的位姿发生漂移，基于位形本体信息反馈的模糊自适应PD控制方法能够有效地抑制这种位姿漂移。
参考文献：
[1] Jinlu Kuang， Paul A Meehan， Leung A Y T， et al. Nonlinear dynamic of a satellite with deployable solar panels [J]. International Journal of NonLinear Mechanics， 2004， 39（7）： 1 161—1 179.
[2] Gao Erwei， Zhang Xueping， Yao Zhenqiang. Simulation and analysis of flexible solar panels’ deployment and locking processes [J]. Journal of Shanghai Jiaotong University， 2008， 13（3）： 275—279.
[3] Wie B， Furumoto N， Banerjee A K， et al. Modeling and simulation of spacecraft solar array deployment [J]. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 1986， 9（5）： 593—598.
[4] Oskar W， Simon W. Simulation of deployment of a flexible solar array [J]. Multibody System Dynamics， 2002， 7： 101—125.
[5] 郭峰， 黄振华， 邓扬明. 基于ADAMS航天器刚性太阳帆板动力学仿真分析[J]. 机械设计与制造， 2004， 4： 71—72.
Guo Feng， Huang Zhenhua， Deng Yangming. Test simulation of deployment motion of satellite solar array using ADAMS [J]. Machinery Design and Manufacture， 2004， 4： 71—72.
[6] 白争锋， 田浩， 赵阳. 基于虚拟样机的太阳帆板展开动力学仿真[J]. 系统仿真学报， 2009， 21（13）： 3 975—3 979. Bai Zhengfeng， Tian Hao， Zhao Yang. Dynamics simulation of deployment of solar panels in different layouts based on ADAMS [J]. Journal of System Simulation， 2009， 21（13）： 3 975—3 979.
[7] 游斌弟， 王兴贵， 陈军. 卫星太阳阵展开锁紧过程冲击振动[J]. 机械工程学报， 2012， 48（21）： 67—76.
You Bindi， Wang Xinggui， Chen Jun. Vibration and impact for deployable solar array of satellite with locking hinges [J]. Journal of Mechanical Engineering， 2012， 48（21）： 67—76.
[8] Birhanu F， Chen Z B， Ma W S. Modeling simulation of satellite solar panel deployment and locking [J]. Information Technology Journal， 2010， 9（3）： 600—604.
[9] 白争锋， 田浩， 赵阳. 基于ADAMS航天器太阳帆板展开与锁定动力学仿真[J]. 机械设计与制造， 2006， 11： 124—126.
Bai Zhengfeng， Tian Hao， Zhao Yang. Dynamics simulation of deployment and locking of spacecraft solar panel using ADAMS [J]. Machinery Design and Manufacture， 2006， 11： 124—126.
[10] Daniel W K. Techniques for using ADAMS in spacecraft applications [A]. ADAMS： Mechanical DynamicsCustomer Service， 16th European MDI User Conference[C]. Berchtesgaden， Germany， 2001.
[11] 洪嘉振. 计算多体系统动力学[M]. 北京： 高等教育出版社， 2003.
Hong Jiazhen. Computational Dynamics of Multibody Systems[M]. Beijing： High Education Press， 1999.
[12] Bai Z， Zhao Y. Attitude motion of spacecraft during oblique solar panel deployment[J]. Aircraft Engineering and Aerospace Technology， 2012， 84（2）： 109—114.
[13] Wen SH， Yang H. Fuzzy adaptive PD control for robot and experiment study[A]. Proceedings of the Fourth International Conference on Machine Learning and Cybernetics[C]. Guangzhou， China， 2005， 2： 834—839.
Abstract： The deployment and locking of solar arrays of the freefloating spacecraft is studied comprehensively in this paper. The rigidflexible coupling dynamic model for describing the deployment and locking process is established using Jourdain′s velocity varitional principle and the approach of forward recursive formulation. The control design of the solar array system is discussed and the fuzzy adaptive PD control method is used for controller design. The deployment and locking process for solar arrays is well predicted through numerical simulation for the rigidflexible coupling dynamic model. In addition， the effectiveness of the above control approach is verified by comparing the control results with the conventional PD control.
Key words： rigidflexible coupling dynamics； solar arrays； forward recursive formulation； fuzzy adaptive PD control； ADAMS
作者简介： 段柳成（1989—），男，硕士研究生。电话： 18818214073； Email： sjtudlc@sjtu.edu.cn
通讯作者： 蔡国平（1965—），男，教授。 Email： caigp@sjtu.edu.cn eja