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开放式数学教学研究已经进行了很多年。1971年，日本一个27人的学者群体，率先研究数学开放题的教学问题，并于1977年发表了名为《算术、数学课的开放式问题改善教学的新方案》的报告。随着数学开放题成为中、高考的新题型，研究数学开放题的人越来越多。为了探索开放式数学教学，我从课外活动课到新课的讲授，做了十分有益的开放式教学尝试，由此，我认为目前的开放式数学教学研究应该是一个从数学开放题教学到开放式数学教学不断渐进的过程。
一、数学开放题
1.数学开放题的概念
所谓开放题，国外叫做“open-ended problem”，即开放结果的问题。我们不应该狭义地去理解数学开放题，因为数学开放题是直接针对课堂教学改革而提出的，在研究数学开放题时，应该更多地考虑教学的因素。我认为：解决方向不唯一的数学题是数学开放题。因为它不仅仅考虑题，更重要的是考虑人，也就是说，它从数学和教学两个方面来规定数学开放题。
2.数学开放题的基本类型
数学命题一般可以根据思维形式分成∶假设—推理—判断三部分，据此数学开放题可分为4种基本类型。
（1）条件开放题：开放题未知的要素是假设;
例如：为使下列各式可以分解因式（整数范围内） 可以取哪些整数？试分别写出 几个值.① ②
（2）结论开放题：未知的要素是判断。
例如：CD是 的斜边AB上的高，尽可能找出图形的形状和大小之间存在的各种关系.
（3）策略开放题：未知的要素是推理;
例如：有一块长4米，宽3米的园地，现要在园地上辟一个花圃，使花圃的面积是园地的一半，问如何设计？给出你设计的图案并作出有关的计算.
（4）综合开放题：有的问题只给出情景，其条件、解题方法与结论都要主体自行设定与寻找，这类题称为综合开放题。
二、开放式数学教学
1.开放式数学教学的特点
（1）开放式数学教学有利于发掘每个学生的数学潜能。
（2）开放式数学教学有利于学生更多地交流与合作。
（3）开放式数学教学有利于满足学生的心理需要。
（4）开放式数学教学有利于培养学生的创新思维。
2.开放式数学教学方法
（1）培养学生数学语言的开放性，提高学生数学语言表达能力。
数学语言是培养学生良好的个性品质和初步的辨证唯物主义观点的有效途径。通过对适应日常生活、参加生产和进一步学习三个方面所必须的代数、几何的基础知识的学习和基本技能的培养，逐步掌握和丰富优美的数学语言。通过师生对话、学生讨论、课堂练习等形式充分表达出来。因此，我引导学生重视∶①提高口头语言表达能力，注意简洁性;②提高文字语言表达能力，注意书写的严谨性;③提高图形语言、符号语言和文字语言的转化能力。
（2）重视学生能力的培养，全面实施开放式数学教学。
在开放式数学教学中，要培养学生三个方面十种能力。第一个方面是基本能力，它包括运算能力、空间能力和逻辑思维能力;第二个方面是一般能力，它包括观察能力、理解能力、记忆能力和应用能力;第三个方面是特殊能力，它包括学生个体的自学能力、抽象能力和探究能力。
①培养学生的求同思维能力
求同思维是从已知材料中进行比较、归纳、总结，得出规律性的知识，寻找问题的同一答案，进行联想与类比，这与培养学生的求同思维密切相关。
在“相似三角形”的教学中，我让学生把“全等三角形”的相关知识进行比较，找出异同点，如“相似三角形”的判定与“全等三角形”判定的SAS，ASA，AAS，SSS等有些相似，但也有所区别，可以让学生通过类比得出结论。
②培养学生逆向思维能力
在教学中，除了向学生进行正向思维训练外，还应不失时机地设计逆向性问题，培养学生逆向思维能力，使两者相互促进。实践中，我设计了这样的开放问题：当条件变化时，结论如何变化？即矩形（菱形、正方形、梯形、等腰梯形、对角线垂直的四边形、对角线相等的四边形等）各边中点依次连结而成什么样的四边形？另外，还可以设计为：当结论变化时要求条件如何？即要依次连结四边中点得到的四边形为矩形（菱形、正方形）时，条件应如何变化？最后，可以问学生：结论能否為梯形，为什么？这样的设计就迫使学生做逆向探求，思维要求更高，逆向思维能力得到培养。
③增强学生思维的批判性
由于开放题的结论常常是未知的或不确定的，有的有待于猜想，有的存在多种可能，这就为培养学生思维的批判性提供了极好的机遇与素材。在“圆”的教学中，有这样的题：相交两圆的公共弦长为24，两圆半径分别为15和20，求圆心距。有部分学生能够应用所学的知识作答，结果有两种答案，但大部分学生处于困惑状态，于是，我积极引导学生进行讨论，在争议中变得聪明起来，通过“批判自己”，使学生思维的批判性不断完善与提高。
④提高学生思维的创造性
教学中通过多角度、多方位、多层次地探求解题思路和方法，开阔学生的思路。由于开放题常会给思维的定向带来困难，这就要求学生既掌握常规的思维过程，又能独巨匠心，出奇制胜。
例如：已知a≠b，3a2+4a-1=0， ，求 的值。本题可用常规法求出a、b 后代入求值;但引导学生用a、 构造一个一元二次方程，由根与系数关系，轻松求解。
在初中数学教材中，有很多内容与物理、化学、生物、历史、地理等相联系，这就不但要求数学教师在熟悉和掌握教学课标的同时，还要了解相关学科的知识，切实教好数学内容，使数学课向物理、化学、生物、历史、地理等学科进行教学开放，做到数学教学为相关学科的教学服务，增强学生横向学习数学的积极性，提高创新思维能力，真正把数学变成各学科不可缺少的基础课程。实践证明开放式数学教学是可为的，是值得我们认真、深入探索的。
一、数学开放题
1.数学开放题的概念
所谓开放题，国外叫做“open-ended problem”，即开放结果的问题。我们不应该狭义地去理解数学开放题，因为数学开放题是直接针对课堂教学改革而提出的，在研究数学开放题时，应该更多地考虑教学的因素。我认为：解决方向不唯一的数学题是数学开放题。因为它不仅仅考虑题，更重要的是考虑人，也就是说，它从数学和教学两个方面来规定数学开放题。
2.数学开放题的基本类型
数学命题一般可以根据思维形式分成∶假设—推理—判断三部分，据此数学开放题可分为4种基本类型。
（1）条件开放题：开放题未知的要素是假设;
例如：为使下列各式可以分解因式（整数范围内） 可以取哪些整数？试分别写出 几个值.① ②
（2）结论开放题：未知的要素是判断。
例如：CD是 的斜边AB上的高，尽可能找出图形的形状和大小之间存在的各种关系.
（3）策略开放题：未知的要素是推理;
例如：有一块长4米，宽3米的园地，现要在园地上辟一个花圃，使花圃的面积是园地的一半，问如何设计？给出你设计的图案并作出有关的计算.
（4）综合开放题：有的问题只给出情景，其条件、解题方法与结论都要主体自行设定与寻找，这类题称为综合开放题。
二、开放式数学教学
1.开放式数学教学的特点
（1）开放式数学教学有利于发掘每个学生的数学潜能。
（2）开放式数学教学有利于学生更多地交流与合作。
（3）开放式数学教学有利于满足学生的心理需要。
（4）开放式数学教学有利于培养学生的创新思维。
2.开放式数学教学方法
（1）培养学生数学语言的开放性，提高学生数学语言表达能力。
数学语言是培养学生良好的个性品质和初步的辨证唯物主义观点的有效途径。通过对适应日常生活、参加生产和进一步学习三个方面所必须的代数、几何的基础知识的学习和基本技能的培养，逐步掌握和丰富优美的数学语言。通过师生对话、学生讨论、课堂练习等形式充分表达出来。因此，我引导学生重视∶①提高口头语言表达能力，注意简洁性;②提高文字语言表达能力，注意书写的严谨性;③提高图形语言、符号语言和文字语言的转化能力。
（2）重视学生能力的培养，全面实施开放式数学教学。
在开放式数学教学中，要培养学生三个方面十种能力。第一个方面是基本能力，它包括运算能力、空间能力和逻辑思维能力;第二个方面是一般能力，它包括观察能力、理解能力、记忆能力和应用能力;第三个方面是特殊能力，它包括学生个体的自学能力、抽象能力和探究能力。
①培养学生的求同思维能力
求同思维是从已知材料中进行比较、归纳、总结，得出规律性的知识，寻找问题的同一答案，进行联想与类比，这与培养学生的求同思维密切相关。
在“相似三角形”的教学中，我让学生把“全等三角形”的相关知识进行比较，找出异同点，如“相似三角形”的判定与“全等三角形”判定的SAS，ASA，AAS，SSS等有些相似，但也有所区别，可以让学生通过类比得出结论。
②培养学生逆向思维能力
在教学中，除了向学生进行正向思维训练外，还应不失时机地设计逆向性问题，培养学生逆向思维能力，使两者相互促进。实践中，我设计了这样的开放问题：当条件变化时，结论如何变化？即矩形（菱形、正方形、梯形、等腰梯形、对角线垂直的四边形、对角线相等的四边形等）各边中点依次连结而成什么样的四边形？另外，还可以设计为：当结论变化时要求条件如何？即要依次连结四边中点得到的四边形为矩形（菱形、正方形）时，条件应如何变化？最后，可以问学生：结论能否為梯形，为什么？这样的设计就迫使学生做逆向探求，思维要求更高，逆向思维能力得到培养。
③增强学生思维的批判性
由于开放题的结论常常是未知的或不确定的，有的有待于猜想，有的存在多种可能，这就为培养学生思维的批判性提供了极好的机遇与素材。在“圆”的教学中，有这样的题：相交两圆的公共弦长为24，两圆半径分别为15和20，求圆心距。有部分学生能够应用所学的知识作答，结果有两种答案，但大部分学生处于困惑状态，于是，我积极引导学生进行讨论，在争议中变得聪明起来，通过“批判自己”，使学生思维的批判性不断完善与提高。
④提高学生思维的创造性
教学中通过多角度、多方位、多层次地探求解题思路和方法，开阔学生的思路。由于开放题常会给思维的定向带来困难，这就要求学生既掌握常规的思维过程，又能独巨匠心，出奇制胜。
例如：已知a≠b，3a2+4a-1=0， ，求 的值。本题可用常规法求出a、b 后代入求值;但引导学生用a、 构造一个一元二次方程，由根与系数关系，轻松求解。
在初中数学教材中，有很多内容与物理、化学、生物、历史、地理等相联系，这就不但要求数学教师在熟悉和掌握教学课标的同时，还要了解相关学科的知识，切实教好数学内容，使数学课向物理、化学、生物、历史、地理等学科进行教学开放，做到数学教学为相关学科的教学服务，增强学生横向学习数学的积极性，提高创新思维能力，真正把数学变成各学科不可缺少的基础课程。实践证明开放式数学教学是可为的，是值得我们认真、深入探索的。