论文部分内容阅读
摘 要 几何画板是辅助数学教学的工具，在高中数学教学中利用几何画板，有利于展示数量、图形的变化过程和理解概念的生成过程，有利于培养学生的发散思维、创新思维，突破教学重难点，优化高中数学教学方式。以双曲线及其标准方程为例，阐述几何画板在高中数学课堂教学中的应用价值，提出几何画板优化高中数学教学的策略，并以日常生活和生产运输应用较多的双曲线性质为例进行探究。
关键词 几何画板；高中数学；双曲线；标准方程；多媒体
中图分类号：G633.6 文献标识码：B
文章编号：1671-489X（2018）13-0025-03
1 前言
随着现代信息技术的发展，多媒体技术应用于数学课堂教学成为一种必然趋势。而作为多媒体技术的重要组成部分，几何画板凭借强大的图形界面功能和简单的操作，成为辅助数学教学的有效软件，弥补了传统教学中直观感、立体感和动态感不足等问题。因此，在高中数学教学中，充分发挥几何画板的教学价值，运用几何画板优化高中数学教学，具有重要意义。
2 几何画板在高中数学课堂教学中的应用价值
所谓几何画板，是由美国Key Curriculum Press公司制作的，以点、线、圆为基本元素，通过计算、构造、变换、动画、跟踪轨迹等方式构造和显示复杂图形的一种几何软件，常常被应用于辅助教学平面几何、解析几何、射影几何等方面。在高中数学教学中运用几何画板，具有三个重要的教学价值。
有利于培养学生的发散思维 借助几何画板，学生可以对同一图像从不同角度观看其形状，观察到图像变量和定量之间的关系，共同探讨得出结论，完善自己的知识结构，有效理解教学中的重难点知识。如在函数图像做法讲解时，利用几何画板，可以让学生在同一坐标系中观察到y=sinx、
y=sinx2、y=2sinx、y=sin2x等正弦函数所有可能的情况，并组织学生探讨从中得出三角函数变化的规律。
有利于展示数量、图形的变化过程 抽象化、公式化是高中数学知识的基本特点，在高中数学教学中引入几何画板后，可以使抽象概念变得简单，图像更加生动，数量之间的关系也更易于学生观察。如在“中心对称图形”教学中，利用变换、旋转等几何画板功能，可以让抽象的中心对称图形特征变得更加形象，让学生清晰地观看、对比旋转前后的效果。又如在观察探究圆心角与圆周角两者之间的关系时，通过拖动圆周上的某一点，可以让学生明显地猜想到两者之间的关系，并应用几何画板中角度测量工具，准确地证明出两者之间的关系。
有利于动态呈现信息，培养学生的创新思维 创新是社会进步不竭的动力。由于传统教学中展示的图像都是静止孤立的，学生很难直接观察到隐藏的隐形关系。而几何画板的使用，不仅激发了学生学习的兴趣，而且通过逼真的演示，可以让学生有创造性地解决问题，能够将静止的线条或图像变成动感的线条或图像，有助于学生从感性知识上升为理性知识。如在推导三棱柱体积公式时，利用拉开、重叠等几何画板功能，并用不同颜色标注三棱锥，创新得出三棱柱的体积与三个三棱锥的体积相等的结论。
3 运用几何画板优化高中数学教学的策略
注重教学方法和步骤 教师应围绕教学内容，在充分利用几何画板进行演示和讲解中，要向学生说明教学的目标和教学的重难点内容，要考虑如何演示和讲解，才能符合学生的认知规律。如在讲解三角函数诱导公式时，应充分考虑需要不需要重复演示，是先动画还是先拖动，等等。同时，不能完全依赖几何画板，要有效结合传统教学方法，充分发挥出各自的优势。如在探究正弦定理时，传统教学测量内角度数和三条边长长度时存在误差，并且度量占用较多时间；而利用几何画板计算功能后，学生对知识的感受不仅直观，而且测量结果精准。
注重板书设计 和传统教学模式一样，几何画板教学亦应注重板书，为了让学生观看得更加直观，理解起来更加容易，在具体教学实践时应列出相应的图表，书写出知识点提纲，特别是在概念讲解、探究性质时，一定要呈现板书。如在运用几何画板描绘函数图像时，必须在列表、取值、计算、描点、连线等传统板书教学后，再运用几何画板展示图像，在激发学生兴趣的基础上熟练掌握教授内容。
与创设问题情境相融合 学生学习的内容越贴近实际生活，学生越容易接受知识。对于几何画板教学而言，也应与实际生活联系起来，依据教学内容，把智力因素和非智力因素结合起来，充分利用几何画板创设实际生活情境，拓展学生学习内容，帮助学生养成探索学习的精神。如在组织学生复习导数知识时，笔者利用几何画板创设问题情境：已知方程x2-lnx-x=0，要求利用数形结合思想探究出该方程有几个根。对于该问题，大部分学生都将其转换为函数g（x）=lnx与函数f（x）=x2-x交点的个数。由于利用传统描点法，学生很难精准地描绘出函数的图形，因此，探究的结果也不相一致。此时，笔者组织学生利用几何画板准确地画出函数的图像，如图1所示，从而解决学生认知上的困难，帮助学生有效解题。
与搭建探索平台相融合 由于几何画板的动态性和直观性等特点，几何画板教学非常适合于问题探究。在具体探究教学中，教师应充分考虑高中学生的认知特点，精心设计探索问题，将几何画板融入进去；特别是在解决重难点知识时，要利用几何画板搭建探究平台，积极组织学生猜想、画图验证和归纳整理。
4 几何画板应用案例
为了在教学实践中探索出几何画板在高中数学教学中的有效运用途径，笔者以日常生活和生产运输运用较多的双曲线性质为例进行探究。
双曲线性质是高中数学圆锥曲线中的重要内容，与椭圆和抛物线的性质密切相关，熟练掌握双曲线的性质，不仅能够为参数方程与函数方程有机联系做好铺垫，而且能提高学生綜合解题能力。在具体教学中可以通过类比、观察、讨论等数学活动，实现位置关系和数量关系之间的转变。其教学的重点是掌握双曲线及其标准方程的定义，难点在于得出a、b、c之间的关系。同时，高中学生已经具备一定的数形结合思想，教学中应以探究分析和直观观察为主。 复习引入 组织学生回顾椭圆的定义、标准方程以及几何性质及应用，利用几何画板形象地呈现出图2所示的椭圆图像，并探讨当平面内一个点到两定点F1、F2的距离的差都等于常数时，则该点的轨迹图像是什么？
探究学习 以课前准备好的拉链为教具，将拉链的一头截掉部分，然后将不平齐的两头固定，再将拉链头逐渐拉开，观看拉链头所形成的轨迹，将其抽象出双曲线的符号[|MF1|-|MF2|=2a，（0<2a<2c）]、焦距（|F1F2|）、定点（F1、F2）等，组织学生熟练掌握双曲线的第一定义。
为了形象展示双曲线的图像，利用几何画板展示出图3所示双曲线图像，以简单双曲线方程为例，介绍实轴、虚轴、焦点、焦距等双曲线概念及其几何意义，类比椭圆草图画法，猜想双曲线草图是否可以借助特殊矩形框进行描绘。当学生探究得出利用矩形框无法确定双曲线走向时，教师应及时给予帮助和提示，让学生联系初中接触到的双曲线实例，利用反比例函数图像，呈现出渐近线的概念，通过图像大胆猜想出渐近线和矩形框的关系，并在此基础上揭示出离心率的几何意义，在几何画板中寻找出a、b、c所代表的意义。
深化認知 组织学生进一步思考双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程如何表示，并设置以下变式题目和探究性题目，不断帮助学生完善知识结构。
【例1】已知方程，请说明该方程所能描绘的曲线，并自己动手在几何画板中描绘。
设计意图：以参数m的变化带动曲线类型的多种变
化，既要求学生考虑x、y系数的正负，又要求学生探究数值的大小。
【例2】已知△ABC，其A、B的坐标分别为（-6，0）、（6，0），CA与CB直线斜率之积为，求点C的轨迹。
【例3】除CA与CB直线斜率之积为-外，其他条件同例2，则点C的轨迹是什么？
【例4】除A、B的坐标分别为（0，-6）、（0，6）外，其他条件同例2，则点C的轨迹是什么？
【例5】除CA与CB直线斜率之积为m外，其他条件同例2，则点C的轨迹是什么？
设计意图：例3、例4、例5是例2的变式，只是改变个别条件，解题方式不变，然而结论发生了变化，同时深化了数形结合、分类讨论、函数与方程等重要数学思想，有助于学生进一步完善知识结构。
小结新知 以探究双曲线与椭圆之间的相同点和不同点为主题，组织学生从定义、标准方程、焦点等方面进行总结，并要求学生自己动手在几何画板中描绘出以下轨迹：
1）F1（-6，0），F2（6，0），|PF1|-|PF2|=5；
2）F1（-6，0），F2（6，0），||PF1|-|PF2||=5。
5 结语
综上所述，几何画板是辅助数学教学的工具，在高中数学教学中利用几何画板，有利于展示数量、图形的变化过程和理解概念的生成过程，培养学生的发散思维、创新思维，突破教学重难点，优化教学方式。同时，学生可以利用几何画板动手操作，从而更深刻地理解图像、理解数学。
参考文献
[1]黄金波.几何画板在高中数学实验教学中的应用[J].西部素质教育，2015（1）：75-76.
[2]梁维高.高中数学教学中运用《几何画板》的实践与思考[J].中国教育信息化，2010（12）：57-58.
[3]刘虹.几何画板在高中数学教学中的应用[J].中国现代教育装备，2010（8）：54-57.
[4]康圣玲.高中数学教学中几何画板运用分析[J].中国校外教育，2015（9）：121.
[5]韩增红.几何画板在高中数学教学中的应用研究[J].学周刊，2016（12）：138-139.
关键词 几何画板；高中数学；双曲线；标准方程；多媒体
中图分类号：G633.6 文献标识码：B
文章编号：1671-489X（2018）13-0025-03
1 前言
随着现代信息技术的发展，多媒体技术应用于数学课堂教学成为一种必然趋势。而作为多媒体技术的重要组成部分，几何画板凭借强大的图形界面功能和简单的操作，成为辅助数学教学的有效软件，弥补了传统教学中直观感、立体感和动态感不足等问题。因此，在高中数学教学中，充分发挥几何画板的教学价值，运用几何画板优化高中数学教学，具有重要意义。
2 几何画板在高中数学课堂教学中的应用价值
所谓几何画板，是由美国Key Curriculum Press公司制作的，以点、线、圆为基本元素，通过计算、构造、变换、动画、跟踪轨迹等方式构造和显示复杂图形的一种几何软件，常常被应用于辅助教学平面几何、解析几何、射影几何等方面。在高中数学教学中运用几何画板，具有三个重要的教学价值。
有利于培养学生的发散思维 借助几何画板，学生可以对同一图像从不同角度观看其形状，观察到图像变量和定量之间的关系，共同探讨得出结论，完善自己的知识结构，有效理解教学中的重难点知识。如在函数图像做法讲解时，利用几何画板，可以让学生在同一坐标系中观察到y=sinx、
y=sinx2、y=2sinx、y=sin2x等正弦函数所有可能的情况，并组织学生探讨从中得出三角函数变化的规律。
有利于展示数量、图形的变化过程 抽象化、公式化是高中数学知识的基本特点，在高中数学教学中引入几何画板后，可以使抽象概念变得简单，图像更加生动，数量之间的关系也更易于学生观察。如在“中心对称图形”教学中，利用变换、旋转等几何画板功能，可以让抽象的中心对称图形特征变得更加形象，让学生清晰地观看、对比旋转前后的效果。又如在观察探究圆心角与圆周角两者之间的关系时，通过拖动圆周上的某一点，可以让学生明显地猜想到两者之间的关系，并应用几何画板中角度测量工具，准确地证明出两者之间的关系。
有利于动态呈现信息，培养学生的创新思维 创新是社会进步不竭的动力。由于传统教学中展示的图像都是静止孤立的，学生很难直接观察到隐藏的隐形关系。而几何画板的使用，不仅激发了学生学习的兴趣，而且通过逼真的演示，可以让学生有创造性地解决问题，能够将静止的线条或图像变成动感的线条或图像，有助于学生从感性知识上升为理性知识。如在推导三棱柱体积公式时，利用拉开、重叠等几何画板功能，并用不同颜色标注三棱锥，创新得出三棱柱的体积与三个三棱锥的体积相等的结论。
3 运用几何画板优化高中数学教学的策略
注重教学方法和步骤 教师应围绕教学内容，在充分利用几何画板进行演示和讲解中，要向学生说明教学的目标和教学的重难点内容，要考虑如何演示和讲解，才能符合学生的认知规律。如在讲解三角函数诱导公式时，应充分考虑需要不需要重复演示，是先动画还是先拖动，等等。同时，不能完全依赖几何画板，要有效结合传统教学方法，充分发挥出各自的优势。如在探究正弦定理时，传统教学测量内角度数和三条边长长度时存在误差，并且度量占用较多时间；而利用几何画板计算功能后，学生对知识的感受不仅直观，而且测量结果精准。
注重板书设计 和传统教学模式一样，几何画板教学亦应注重板书，为了让学生观看得更加直观，理解起来更加容易，在具体教学实践时应列出相应的图表，书写出知识点提纲，特别是在概念讲解、探究性质时，一定要呈现板书。如在运用几何画板描绘函数图像时，必须在列表、取值、计算、描点、连线等传统板书教学后，再运用几何画板展示图像，在激发学生兴趣的基础上熟练掌握教授内容。
与创设问题情境相融合 学生学习的内容越贴近实际生活，学生越容易接受知识。对于几何画板教学而言，也应与实际生活联系起来，依据教学内容，把智力因素和非智力因素结合起来，充分利用几何画板创设实际生活情境，拓展学生学习内容，帮助学生养成探索学习的精神。如在组织学生复习导数知识时，笔者利用几何画板创设问题情境：已知方程x2-lnx-x=0，要求利用数形结合思想探究出该方程有几个根。对于该问题，大部分学生都将其转换为函数g（x）=lnx与函数f（x）=x2-x交点的个数。由于利用传统描点法，学生很难精准地描绘出函数的图形，因此，探究的结果也不相一致。此时，笔者组织学生利用几何画板准确地画出函数的图像，如图1所示，从而解决学生认知上的困难，帮助学生有效解题。
与搭建探索平台相融合 由于几何画板的动态性和直观性等特点，几何画板教学非常适合于问题探究。在具体探究教学中，教师应充分考虑高中学生的认知特点，精心设计探索问题，将几何画板融入进去；特别是在解决重难点知识时，要利用几何画板搭建探究平台，积极组织学生猜想、画图验证和归纳整理。
4 几何画板应用案例
为了在教学实践中探索出几何画板在高中数学教学中的有效运用途径，笔者以日常生活和生产运输运用较多的双曲线性质为例进行探究。
双曲线性质是高中数学圆锥曲线中的重要内容，与椭圆和抛物线的性质密切相关，熟练掌握双曲线的性质，不仅能够为参数方程与函数方程有机联系做好铺垫，而且能提高学生綜合解题能力。在具体教学中可以通过类比、观察、讨论等数学活动，实现位置关系和数量关系之间的转变。其教学的重点是掌握双曲线及其标准方程的定义，难点在于得出a、b、c之间的关系。同时，高中学生已经具备一定的数形结合思想，教学中应以探究分析和直观观察为主。 复习引入 组织学生回顾椭圆的定义、标准方程以及几何性质及应用，利用几何画板形象地呈现出图2所示的椭圆图像，并探讨当平面内一个点到两定点F1、F2的距离的差都等于常数时，则该点的轨迹图像是什么？
探究学习 以课前准备好的拉链为教具，将拉链的一头截掉部分，然后将不平齐的两头固定，再将拉链头逐渐拉开，观看拉链头所形成的轨迹，将其抽象出双曲线的符号[|MF1|-|MF2|=2a，（0<2a<2c）]、焦距（|F1F2|）、定点（F1、F2）等，组织学生熟练掌握双曲线的第一定义。
为了形象展示双曲线的图像，利用几何画板展示出图3所示双曲线图像，以简单双曲线方程为例，介绍实轴、虚轴、焦点、焦距等双曲线概念及其几何意义，类比椭圆草图画法，猜想双曲线草图是否可以借助特殊矩形框进行描绘。当学生探究得出利用矩形框无法确定双曲线走向时，教师应及时给予帮助和提示，让学生联系初中接触到的双曲线实例，利用反比例函数图像，呈现出渐近线的概念，通过图像大胆猜想出渐近线和矩形框的关系，并在此基础上揭示出离心率的几何意义，在几何画板中寻找出a、b、c所代表的意义。
深化認知 组织学生进一步思考双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程如何表示，并设置以下变式题目和探究性题目，不断帮助学生完善知识结构。
【例1】已知方程，请说明该方程所能描绘的曲线，并自己动手在几何画板中描绘。
设计意图：以参数m的变化带动曲线类型的多种变
化，既要求学生考虑x、y系数的正负，又要求学生探究数值的大小。
【例2】已知△ABC，其A、B的坐标分别为（-6，0）、（6，0），CA与CB直线斜率之积为，求点C的轨迹。
【例3】除CA与CB直线斜率之积为-外，其他条件同例2，则点C的轨迹是什么？
【例4】除A、B的坐标分别为（0，-6）、（0，6）外，其他条件同例2，则点C的轨迹是什么？
【例5】除CA与CB直线斜率之积为m外，其他条件同例2，则点C的轨迹是什么？
设计意图：例3、例4、例5是例2的变式，只是改变个别条件，解题方式不变，然而结论发生了变化，同时深化了数形结合、分类讨论、函数与方程等重要数学思想，有助于学生进一步完善知识结构。
小结新知 以探究双曲线与椭圆之间的相同点和不同点为主题，组织学生从定义、标准方程、焦点等方面进行总结，并要求学生自己动手在几何画板中描绘出以下轨迹：
1）F1（-6，0），F2（6，0），|PF1|-|PF2|=5；
2）F1（-6，0），F2（6，0），||PF1|-|PF2||=5。
5 结语
综上所述，几何画板是辅助数学教学的工具，在高中数学教学中利用几何画板，有利于展示数量、图形的变化过程和理解概念的生成过程，培养学生的发散思维、创新思维，突破教学重难点，优化教学方式。同时，学生可以利用几何画板动手操作，从而更深刻地理解图像、理解数学。
参考文献
[1]黄金波.几何画板在高中数学实验教学中的应用[J].西部素质教育，2015（1）：75-76.
[2]梁维高.高中数学教学中运用《几何画板》的实践与思考[J].中国教育信息化，2010（12）：57-58.
[3]刘虹.几何画板在高中数学教学中的应用[J].中国现代教育装备，2010（8）：54-57.
[4]康圣玲.高中数学教学中几何画板运用分析[J].中国校外教育，2015（9）：121.
[5]韩增红.几何画板在高中数学教学中的应用研究[J].学周刊，2016（12）：138-139.