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摘 要:本文结合实际的问题与具体的例子,详细的讲解了构造法在解决数学问题时的巧妙。在教学过程中要注意对学生创新性思维的培养,使学生体会知识间的内在联系和互相转化,从而应用构造图形法巧妙地解决问题。
关键词:数学问题 构造法 图形巧解
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)02-0059-01
用构造法解题时,要运用发散性思维,根据题目特点灵活处理,没有固定的程序和模式。在运用构造法时,一要明确构造的目的,即为什么目的而构造;二要弄清楚问题的特点,以便依据特点确定方案,实现构造。
所谓构造“几何图形”就是指在解决某个问题时,根据所解问题的内部联系、数量特征,找出相应的几何图形。“构造”得好,解题就变得非常简捷,直观明了。如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景,或能以某种方式与几何图形建立起联系,则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现,然后,借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论。构造的图形,最好是简单而又熟悉其性质的图形。这些几何图形包括平面几何图形、立体几何图形以及通过建立坐标系得到的解析几何图形。
例1.求函数f(x)=+的值域。
解析:f(x)=+,其几何意义是平面内动点P(x,0)到两定点M(2,3)
和N(5,-1)的距离之和(如图1)。为求其
值域只要求其最值即可。易知当M,N,P
三点共线(即P在线段MN上)时,f(x)取得
最小值,f(x)min=|MN|==5,无
最大值,故得函数的值域为[5,+∞)。图1
例2.求函数y=的最值。
解析:从几何意义上考虑把原解
析式看作是动点P(cosx,sinx)与定点
Q(3,0)连线的斜率,为此构造一个单
位圆。探究单位圆上动点P与定点
.Q(3,0)直线的斜率问题。 图2
如图2,因为动点在单位圆上运动时处于极端状态,即在切点处直线斜率分别为最大与最小,设切点分别为R、M,易知:kOR=2,kOM=-2,kQR=-,kMQ=,-≤kPQ≤。即:y=最小值为-,最大值为。
例3. 三棱锥P-ABC的三个侧面两两垂直,PA=12,PB=16,PC=20,若P、A、B、C四点都在同一个球面上,求A、B两点之间的球面距离。
解析:構造一个长方体,把PA,PB,PC看作长方体从同一点P出发的三条棱,则过P,A,B,C四点的球面即为长方体的外接球,可得长方体的对角线为20,球半径为10.
例4. 试求函数f(a,b)=(a-b)2+(+)2的最小值。
解析:如图3,f(a,b)可视作点A(a,),B(b,-)的距离的平方,即为|AB|2。点A所在曲线的参数方程是,消去a得x2+y2=4,(y≥0),即为上半圆周。
点B所在曲线的参数方程是,
消去b得xy=-9,即为双曲线。|AB|取最
小值时,AB所在直线必过圆心,故可先求
圆心O到双曲线上半支的最短距离,然后
减去半径即可。 图3
由|OB|2=x2+y2=x2+≥2得|OB|min=3
∴|AB|min,=3-2,f(a,b)min=(3-2)2=22-12,即为所求。
构造法解题除了可以构造数学图形外,通常还有数、式、函数、方程、数列、复数、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等。构造法体现了数学发现的思维特点,“构造”不是“胡思乱想”,也不是凭空“臆造”,而是要以所掌握的知识为背景、以具备的能力为基础、以观察为先导、以分析为武器,通过仔细地观察、分析、去发现问题的各个环节以及其中的联系,从而为寻求解法创造条件。对于同一道题既能有几种构造法,也可以用其它方法来解,应注意在学习研究的过程中注意对学生创新性思维的培养,使学生体会知识间的内在联系和互相转化,能创造性的构造解决问题的有力条件,巧妙地解决问题,从而获得学习的愉悦感和成功的体验。
关键词:数学问题 构造法 图形巧解
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)02-0059-01
用构造法解题时,要运用发散性思维,根据题目特点灵活处理,没有固定的程序和模式。在运用构造法时,一要明确构造的目的,即为什么目的而构造;二要弄清楚问题的特点,以便依据特点确定方案,实现构造。
所谓构造“几何图形”就是指在解决某个问题时,根据所解问题的内部联系、数量特征,找出相应的几何图形。“构造”得好,解题就变得非常简捷,直观明了。如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景,或能以某种方式与几何图形建立起联系,则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现,然后,借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论。构造的图形,最好是简单而又熟悉其性质的图形。这些几何图形包括平面几何图形、立体几何图形以及通过建立坐标系得到的解析几何图形。
例1.求函数f(x)=+的值域。
解析:f(x)=+,其几何意义是平面内动点P(x,0)到两定点M(2,3)
和N(5,-1)的距离之和(如图1)。为求其
值域只要求其最值即可。易知当M,N,P
三点共线(即P在线段MN上)时,f(x)取得
最小值,f(x)min=|MN|==5,无
最大值,故得函数的值域为[5,+∞)。图1
例2.求函数y=的最值。
解析:从几何意义上考虑把原解
析式看作是动点P(cosx,sinx)与定点
Q(3,0)连线的斜率,为此构造一个单
位圆。探究单位圆上动点P与定点
.Q(3,0)直线的斜率问题。 图2
如图2,因为动点在单位圆上运动时处于极端状态,即在切点处直线斜率分别为最大与最小,设切点分别为R、M,易知:kOR=2,kOM=-2,kQR=-,kMQ=,-≤kPQ≤。即:y=最小值为-,最大值为。
例3. 三棱锥P-ABC的三个侧面两两垂直,PA=12,PB=16,PC=20,若P、A、B、C四点都在同一个球面上,求A、B两点之间的球面距离。
解析:構造一个长方体,把PA,PB,PC看作长方体从同一点P出发的三条棱,则过P,A,B,C四点的球面即为长方体的外接球,可得长方体的对角线为20,球半径为10.
例4. 试求函数f(a,b)=(a-b)2+(+)2的最小值。
解析:如图3,f(a,b)可视作点A(a,),B(b,-)的距离的平方,即为|AB|2。点A所在曲线的参数方程是,消去a得x2+y2=4,(y≥0),即为上半圆周。
点B所在曲线的参数方程是,
消去b得xy=-9,即为双曲线。|AB|取最
小值时,AB所在直线必过圆心,故可先求
圆心O到双曲线上半支的最短距离,然后
减去半径即可。 图3
由|OB|2=x2+y2=x2+≥2得|OB|min=3
∴|AB|min,=3-2,f(a,b)min=(3-2)2=22-12,即为所求。
构造法解题除了可以构造数学图形外,通常还有数、式、函数、方程、数列、复数、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等。构造法体现了数学发现的思维特点,“构造”不是“胡思乱想”,也不是凭空“臆造”,而是要以所掌握的知识为背景、以具备的能力为基础、以观察为先导、以分析为武器,通过仔细地观察、分析、去发现问题的各个环节以及其中的联系,从而为寻求解法创造条件。对于同一道题既能有几种构造法,也可以用其它方法来解,应注意在学习研究的过程中注意对学生创新性思维的培养,使学生体会知识间的内在联系和互相转化,能创造性的构造解决问题的有力条件,巧妙地解决问题,从而获得学习的愉悦感和成功的体验。