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[摘要] 大学数学中很多基本数学概念高度概括且非常抽象,且数学概念是数学技能和思维培养的基础,所以应该重视概念教学,让学生真正理解数学概念的本质和外延,并且在理解概念的过程中体会到其中蕴含的数学思想。
[关键词] 大学数学 大学生 数学概念 数学思想
伴随着高等教育进入大众化时代,大学数学教学中出现了很多新困难,如教学班级人数多,导致老师对单个学生的关注度大力降低;如学生学习基础水平下降,学生学习积极性不高,而大学数学教学课时不增甚至减少。这些都导致大学数学教学难度和学生学习困难增大。很多学生觉得概念学习抽象,没意思,不喜欢抽象思考,而更愿意计算和练习。为了迎合学生基础水平和情感需求,教师往往压缩概念教学等理论教学时间,而重视例题和习题的讲解。实际后果是学生没有真正理解数学概念,题型稍变化就束手无策,学习效果不理想,更别提数学思想的把握和数学素养的提高了。要改变这种现状,就要重视概念教学,并探究概念教学的技巧和方法,在有限的时间内让学生理解概念的本质和外延,能灵活运用并深刻体会其中蕴含的数学思想。
由于大学数学高度抽象的特点,在教学中要注意讲解基本概念的来龙去脉,引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程,在初步运用中逐步理解概念的本质和外延。讲解概念的过程中,还要让学生在构建概念的同时提升数学思维能力,把握其中的数学思想,以致提高数学素养.结合当代大学生的认知特点和本人的教学实践,概念教学可以从以下四个方面入手。
一、概念教学要注意串联前后相关知识点
大学数学概念教学应该注意此该概念在整个大学数学课程体系的位置。如为什么要引入这个概念,就是概念产生的原因。其基础是什么,相关的有那些,后续有什么用。来龙去脉清楚了,学生不觉得突兀,也能体会到概念引入的必要性和重要性。例如函数概念的引入,是注意到函数是特殊的映射,所以讲解函数时,要复习映射定义,让学生自己发现函数与映射的关系。这样既加深了对映射的理解又在此基础上构建了新的概念函数。还有反函数,复合函数,它们都是函数,只是它们有一定的特殊性。例如邻域,在刚接触时,邻域的定义实际只考虑了一维时的情况,点的邻域是(),这实质是一开区间。但为什么要引入邻域这一新概念呢,这是为了强调在这集合里的任何点离中心的距离小于,在几何上非常好描述和理解,而且也非常便于推广到后续要用到的二维和三维情形。虽然邻域概念不是特别抽象,但是它是理解后面极限的定义的基础,所以要多强调它的几何意义加深理解。经过串联前后相关知识点,学生体会了数学概念产生和发展的过程,通晓其来龙去脉,有助于学生理解数学的本质,并形成对整个课程的完整认识。
二、概念教学中要注意讲解概念的形成过程
数学概念虽然抽象,却不是凭空出现的,一般重要的概念都根源于实际生活和生产的需要。在抽象的符号背后隐藏着最初的数学思想,这就是概念形成的过程。例如,导数概念基于极限这个本来就抽象的概念,而且学生在高考前就学过导数运算,觉得根本没必要理解导数也能计算函数的导数。其实导数的产生源于相类似的问题,如瞬时速度,瞬时加速度,切线的斜率等等一系列变化率问题。而且自变量变化无限小,如瞬时间,就是时间变化比任何具体的很短很短时间还要短,怎么表达呢,当然只能要极限表达。当然是比率问题就得用除法。因为这些问题都有共性:增量比的极限,把这个共性抽象出来,就产生了导数这个概念。定积分的产生也源于实际需要,如不规则图形的面积的计算等。如果在引入概念前先抛出这些问题,能吸引学生的注意力,最后应用概念解决问题可以让学生了解数学思想产生的过程并体会到数学的用处。
三、概念教学中要注意联系学生实际生活
大学数学概念教学中, 抽象化和形式化的例子很多,如果提及与生活联系密切的例子,通过问题的解答,既能活跃课堂气氛又能加深学生对概念的理解。例如反函数的讲解中,我们要强调并不是所有函数都有反函数。例如,我们每位同学都有妈妈,且只有唯一确定的妈妈。但是妈妈不一定只有一个孩子,说不定某位同学有孪生的兄弟姐妹呢?即从孩子出发找妈妈肯定只有一个,即1对1,但从妈妈出发找孩子就可能不只一个孩子,即可能1对多。如果1对多出现就没有反函数。另外,对分段函数,教材上的例子都非常理想化,和学生生活比较贴近的一个分段函数是学分,一门课的学分是以学生分数为自变量的分段函数。大学实施学分制,学分是大学生愿意去理解的一个生活概念,将分段函数与学分联系起来,学生乐意听,当然有助于理解分段函数。在讲解零点定理时,有“存在性”的概念。其实存在性是定性性质,但并不知道其具体。如下的实际情况有助于理解存在性。如果某人死亡并排除自杀,那么案件破解之前,凶手肯定存在,但是不知道是谁。还有买彩票之前我们就知道,一等奖号码一定存在,但是不知道是哪几位号码。这些都是存在但不确切的例子,与零点的存在性有相通之处。这样学生能体会到定性的结论也有其实际意义。
四、在某些概念教学中要强调定义
这里的某些概念是指那些很抽象,尤其是一大段描述的概念。由于学生以前接触的概念定义都是不那么抽象且描述比较简洁的定义。一般是满足某个条件就称某某是什么。但大学数学里有些概念定义描述就很长,甚至超过学生的常规想象。因此学生根本不觉得这段描述是定义,而觉得是定理。例如极限定义,其定义中就包含了比较抽象的数学思想,其定义本身就是一种证明极限存在的方法。对于这样的概念,要注意分析定义的结构,让学生明白这是定义即规定,并且体会到数学概念的定义中所体现的数学思想。因此,经常有学生问我没法回答的为什么,究其根本原因是他没有理解定义本身。这些概念还包括函数连续、可导、可积等重要概念。
除了以上四个方面,在实践教学中,要提高大学数学概念教学方法和效果,还有以下两方面要特别重视:一是教师要加强自己对概念的理解,多查阅相关资料,对概念产生的实际背景,实际应用和应用前景有深刻的认识,尤其注意与国家重点规划或近期热点焦点联系起来。二是教师要实际考察学生的学习情况,与学生多交流,让学生多反馈意见和建议,打开从学生的角度看问题的思路。
总之,在教学活动中,我们要尽心尽力把大学数学概念的种子真正植入学生的心灵,让这种子开出数学思想和思维的花朵。
参考文献:
[1]Fetsco Thomas & McClure John. Educational Psychology [M]. Addison-Wesley, 2009.
[2]同濟大学应用数学系. 高等数学[M]. 高等教育出版社, 2009.
[3]匡继昌.数学通报[J].数学教学要重视基本概念的深入理解.2008,9(47):17-20 .
[4]叶其孝,沈永欢.实用数学手册[M].科学出版社,2007.
[关键词] 大学数学 大学生 数学概念 数学思想
伴随着高等教育进入大众化时代,大学数学教学中出现了很多新困难,如教学班级人数多,导致老师对单个学生的关注度大力降低;如学生学习基础水平下降,学生学习积极性不高,而大学数学教学课时不增甚至减少。这些都导致大学数学教学难度和学生学习困难增大。很多学生觉得概念学习抽象,没意思,不喜欢抽象思考,而更愿意计算和练习。为了迎合学生基础水平和情感需求,教师往往压缩概念教学等理论教学时间,而重视例题和习题的讲解。实际后果是学生没有真正理解数学概念,题型稍变化就束手无策,学习效果不理想,更别提数学思想的把握和数学素养的提高了。要改变这种现状,就要重视概念教学,并探究概念教学的技巧和方法,在有限的时间内让学生理解概念的本质和外延,能灵活运用并深刻体会其中蕴含的数学思想。
由于大学数学高度抽象的特点,在教学中要注意讲解基本概念的来龙去脉,引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程,在初步运用中逐步理解概念的本质和外延。讲解概念的过程中,还要让学生在构建概念的同时提升数学思维能力,把握其中的数学思想,以致提高数学素养.结合当代大学生的认知特点和本人的教学实践,概念教学可以从以下四个方面入手。
一、概念教学要注意串联前后相关知识点
大学数学概念教学应该注意此该概念在整个大学数学课程体系的位置。如为什么要引入这个概念,就是概念产生的原因。其基础是什么,相关的有那些,后续有什么用。来龙去脉清楚了,学生不觉得突兀,也能体会到概念引入的必要性和重要性。例如函数概念的引入,是注意到函数是特殊的映射,所以讲解函数时,要复习映射定义,让学生自己发现函数与映射的关系。这样既加深了对映射的理解又在此基础上构建了新的概念函数。还有反函数,复合函数,它们都是函数,只是它们有一定的特殊性。例如邻域,在刚接触时,邻域的定义实际只考虑了一维时的情况,点的邻域是(),这实质是一开区间。但为什么要引入邻域这一新概念呢,这是为了强调在这集合里的任何点离中心的距离小于,在几何上非常好描述和理解,而且也非常便于推广到后续要用到的二维和三维情形。虽然邻域概念不是特别抽象,但是它是理解后面极限的定义的基础,所以要多强调它的几何意义加深理解。经过串联前后相关知识点,学生体会了数学概念产生和发展的过程,通晓其来龙去脉,有助于学生理解数学的本质,并形成对整个课程的完整认识。
二、概念教学中要注意讲解概念的形成过程
数学概念虽然抽象,却不是凭空出现的,一般重要的概念都根源于实际生活和生产的需要。在抽象的符号背后隐藏着最初的数学思想,这就是概念形成的过程。例如,导数概念基于极限这个本来就抽象的概念,而且学生在高考前就学过导数运算,觉得根本没必要理解导数也能计算函数的导数。其实导数的产生源于相类似的问题,如瞬时速度,瞬时加速度,切线的斜率等等一系列变化率问题。而且自变量变化无限小,如瞬时间,就是时间变化比任何具体的很短很短时间还要短,怎么表达呢,当然只能要极限表达。当然是比率问题就得用除法。因为这些问题都有共性:增量比的极限,把这个共性抽象出来,就产生了导数这个概念。定积分的产生也源于实际需要,如不规则图形的面积的计算等。如果在引入概念前先抛出这些问题,能吸引学生的注意力,最后应用概念解决问题可以让学生了解数学思想产生的过程并体会到数学的用处。
三、概念教学中要注意联系学生实际生活
大学数学概念教学中, 抽象化和形式化的例子很多,如果提及与生活联系密切的例子,通过问题的解答,既能活跃课堂气氛又能加深学生对概念的理解。例如反函数的讲解中,我们要强调并不是所有函数都有反函数。例如,我们每位同学都有妈妈,且只有唯一确定的妈妈。但是妈妈不一定只有一个孩子,说不定某位同学有孪生的兄弟姐妹呢?即从孩子出发找妈妈肯定只有一个,即1对1,但从妈妈出发找孩子就可能不只一个孩子,即可能1对多。如果1对多出现就没有反函数。另外,对分段函数,教材上的例子都非常理想化,和学生生活比较贴近的一个分段函数是学分,一门课的学分是以学生分数为自变量的分段函数。大学实施学分制,学分是大学生愿意去理解的一个生活概念,将分段函数与学分联系起来,学生乐意听,当然有助于理解分段函数。在讲解零点定理时,有“存在性”的概念。其实存在性是定性性质,但并不知道其具体。如下的实际情况有助于理解存在性。如果某人死亡并排除自杀,那么案件破解之前,凶手肯定存在,但是不知道是谁。还有买彩票之前我们就知道,一等奖号码一定存在,但是不知道是哪几位号码。这些都是存在但不确切的例子,与零点的存在性有相通之处。这样学生能体会到定性的结论也有其实际意义。
四、在某些概念教学中要强调定义
这里的某些概念是指那些很抽象,尤其是一大段描述的概念。由于学生以前接触的概念定义都是不那么抽象且描述比较简洁的定义。一般是满足某个条件就称某某是什么。但大学数学里有些概念定义描述就很长,甚至超过学生的常规想象。因此学生根本不觉得这段描述是定义,而觉得是定理。例如极限定义,其定义中就包含了比较抽象的数学思想,其定义本身就是一种证明极限存在的方法。对于这样的概念,要注意分析定义的结构,让学生明白这是定义即规定,并且体会到数学概念的定义中所体现的数学思想。因此,经常有学生问我没法回答的为什么,究其根本原因是他没有理解定义本身。这些概念还包括函数连续、可导、可积等重要概念。
除了以上四个方面,在实践教学中,要提高大学数学概念教学方法和效果,还有以下两方面要特别重视:一是教师要加强自己对概念的理解,多查阅相关资料,对概念产生的实际背景,实际应用和应用前景有深刻的认识,尤其注意与国家重点规划或近期热点焦点联系起来。二是教师要实际考察学生的学习情况,与学生多交流,让学生多反馈意见和建议,打开从学生的角度看问题的思路。
总之,在教学活动中,我们要尽心尽力把大学数学概念的种子真正植入学生的心灵,让这种子开出数学思想和思维的花朵。
参考文献:
[1]Fetsco Thomas & McClure John. Educational Psychology [M]. Addison-Wesley, 2009.
[2]同濟大学应用数学系. 高等数学[M]. 高等教育出版社, 2009.
[3]匡继昌.数学通报[J].数学教学要重视基本概念的深入理解.2008,9(47):17-20 .
[4]叶其孝,沈永欢.实用数学手册[M].科学出版社,2007.