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摘 要：在人类认识活动中，通过特殊去探索一般，从一般去研究特殊，特殊化方法和一般化方法在一般科学研究中有着重要的地位和作用，也是推动数学发展和创新的重要方法。
关键词：一般化；特殊化；条件；方法
本文从数学中的一般与特殊的简介、一般化与特殊化方法的运用、关系以及其转化的运用这几个方面对一般与特殊进行简单的讨论。
一、一般化与特殊化介绍
知道了数学中的一般与特殊，而在学习中，解题是关键，往往要用到两种重要的方法一般化与特殊化。
（一）特殊化的介绍
所谓特殊化，是从普遍认识个别，即是从被研究对象的各种性质中抽取某一些个性，把研究对象或问题从原有范围缩小到较小范围或个别情形、甚至是极端情形来考察对象和探究解决问题思路的方法。
（二）一般化的介绍
一般化，是从个别到普遍，即是从被研究的个别对象中发现它同类的共同属性，从而扩大研究对象的范围，或者从更高的角度探索问题、解决问题的方法。
用一般化解决数学问题的思维过程：
二、一般化与特殊化的关系及其转化
特殊化和一般化是基本的数学创新方法，这两种方法在数学的发明、发展过程中是无处不在的，且经常交替使用，如实数、复数以及函数等概念的产生便是如此。
（一）一般化转化到特殊化
特殊化是通过引入新特征强化原型来完成，因此所得的理论或概念就是原型的特殊例子。
一般化转化到特殊化常常用来验证数学命题的正误，创新性地应用于公式、定理，从而用来发现问题、解决问题，特殊化方法在各个创新层次中都有很强的体现。下面介绍几种利用特殊化方法进行数学问题的解决。
1.把公式、定理、定义中的变量特殊化
学习数学中公式、定理和定义对于我们来说是在接受新知识的过程。如何选择代数式和一个合适的具体数字代替公式中的变量，这也是一种挑战。利用数学问题中变量特殊化来探求解题途径与方向，从特殊情况来验证定理、公式等的正确性，进而猜想可能得出的一般性结论，并且发现解决问题的思路，从而解决问题。
例1.在△ABC中，求的最大值
分析 该题若考虑一般的三角形，直接利用三角恒等变形，方向不明确，因此可尝试利用特殊化方法。考虑到最大值可能存在于特殊的三角形中，因此，考虑当 时， ；当，时，，可猜想为最大值。问题就转化为要证明（等号一定能取到），这样目的就很明确了。
例2.设等于定数，证明：凡以为方程的直线均通过一个定点。
证明：将a、b特殊化，令，则，直线变为 （1）
又令，则，直线 变为
（2）
將（1）、（2）联立，解得两直线交点，这是一个定点。猜想：一切直线均通过定点M。将M点坐标代入直线方程便可证实这一猜想。
2.把条件特殊化
在许多命题和概念中，经常可以找到一些特殊的例子，从这些特殊例子的特征出发，就可以将原来的命题和概念特殊化，从而创造出新的数学命题和概念。
如从四边形→梯形→平行四边形→矩形（菱形）→正方形。
3.把命题条件极端化
我们考虑某个范围内的数学问题的时候，往往会考虑这个问题的极端情况，从而发现新的问题，提出新的观点。我们经常考虑数学问题中的极端形式有：由线到点，有面到线，由曲线到直线，由有限到无限等等。
F1F2例如，椭圆有两个焦点F1，F2，如图所示，若F1固
定，考虑的移动，当F2向左移动，椭圆逐渐趋向于圆，
F2与F1重合时即为圆；当F2从无穷远处由左边回到圆锥曲线的轴上来时，即为双曲线；当F2继续向右移动，F2与F1重合时即为两相交直线，亦即退化的圆锥曲线。这些就是圆锥曲线的极端情况，从中可以使我们更清晰地看到各类曲线之间的区别与联系。
（二）特殊化转化到一般化
一般化往往会扩大研究的范围，促进数学从广义上不断发展，从而能够站在一个更高的层次上来解决具体问题。
1.用一般的变量代替具体对象
有时候由于具体对象的一些特殊性质掩盖了该对象的一般性质，此时可以通过一般的变量代替具体对象来发现该对象的一般属性，从而获得解决问题的途径。
例1.比较1733和33！的大小。
分析 通过数值比较计算比较大小是有困难的，但数据17和33之间有联系，由此通过一般化可得到一个一般性的命题，比较与n！的大小，由于
所以
，由此立得[10]
2.弱化命题条件
对于一些数学命题，我们可以弱化命题的条件，从而得到一般化的结果，新的数学命题。例如勾股定理：在△ABC中，当∠C=90°时，有成立。如果我们把条件弱化，不考虑∠C=90°的特殊情况，只考虑△ABC的一般情况，然后分析△ABC三边大小的关系，从而得到广义的勾股定理，即余弦定理：。这种弱化命题条件，得到新命题的情形也经常出现。
三、一般化与特殊化在教学中的应用
一般化与特殊化在我们的数学学习中有着至关重要的作用，特别在教学中。三角学的特点之一是公式较多，对这些公式，记忆是必要的，但如果没有科学的方法光靠死记是不行的。从繁杂众多的公式中理出一个头绪，这是帮助学生加深理解和记忆的好办法，是教师教学方法中重要的方法下面我们由两角和余弦公式出发，利用特殊化的方法，导出一系列关于正弦与余弦的公式。
1.
2.在中以-β替换β，得：
3.在中取，并将β改写成α，得：
我们就可以得到一系列的正弦与余弦公式，这样很便与我们的教学了。
四、总结
数学中，一般与特殊同等重要，缺一不可。数学研究中，一般化与特殊化是非常重要的，在数学中的各个领域都有，比如概型中的特殊化，数值问题中的最值问题，数学中的化归思想等等。因为待解的一般性问题特殊化成特殊问题，再求的特殊问题的解，然后猜想一般问题的解，最后加以证明。这种方法对于解决复杂问题往往是行之有效的。
当然并不是所有的数学问题都可以特殊化或一般化可以解决的，但它们是一种必要的手段，而且恰当运用它们也需要研究者有足够的机智和经验，还要有一定的数学修养。特殊化方法和一般化方法在一般科学研究中有着重要的地位和作用，也是推动数学发展和创新的重要方法。因此一般化与特殊化需要我们自己在点滴中慢慢体会，也是值得我们进一步挖掘和弘扬。
参考文献：
[1]赵保华，赵宝钢，李国华.一般与特殊相结合的数学证明方法浅谈[J].高师理科学刊，2005，25（4）：11.
[2]洪宝勇.特殊到一般与极端到一般[J].中学数学杂志（高中），2001，15（2）：40.
[3]罗增儒.巧思妙解的两个途径—一般化与特殊化[J].中学数学，2007，18（8）：16-18.
[4]何华兴.数学中的一般化与特殊化例谈[J].中学数学研究，2008，13（7）：6.
[5]陈志云，蒋永红，郭朋贵.数学创新方法漫谈（一）——特殊化方法和一般化方法[J].高等函授学报（自然科学版），2005，19（6）：9-13.
作者简介：童亚玲，余姚市职成教中心学校。
关键词：一般化；特殊化；条件；方法
本文从数学中的一般与特殊的简介、一般化与特殊化方法的运用、关系以及其转化的运用这几个方面对一般与特殊进行简单的讨论。
一、一般化与特殊化介绍
知道了数学中的一般与特殊，而在学习中，解题是关键，往往要用到两种重要的方法一般化与特殊化。
（一）特殊化的介绍
所谓特殊化，是从普遍认识个别，即是从被研究对象的各种性质中抽取某一些个性，把研究对象或问题从原有范围缩小到较小范围或个别情形、甚至是极端情形来考察对象和探究解决问题思路的方法。
（二）一般化的介绍
一般化，是从个别到普遍，即是从被研究的个别对象中发现它同类的共同属性，从而扩大研究对象的范围，或者从更高的角度探索问题、解决问题的方法。
用一般化解决数学问题的思维过程：
二、一般化与特殊化的关系及其转化
特殊化和一般化是基本的数学创新方法，这两种方法在数学的发明、发展过程中是无处不在的，且经常交替使用，如实数、复数以及函数等概念的产生便是如此。
（一）一般化转化到特殊化
特殊化是通过引入新特征强化原型来完成，因此所得的理论或概念就是原型的特殊例子。
一般化转化到特殊化常常用来验证数学命题的正误，创新性地应用于公式、定理，从而用来发现问题、解决问题，特殊化方法在各个创新层次中都有很强的体现。下面介绍几种利用特殊化方法进行数学问题的解决。
1.把公式、定理、定义中的变量特殊化
学习数学中公式、定理和定义对于我们来说是在接受新知识的过程。如何选择代数式和一个合适的具体数字代替公式中的变量，这也是一种挑战。利用数学问题中变量特殊化来探求解题途径与方向，从特殊情况来验证定理、公式等的正确性，进而猜想可能得出的一般性结论，并且发现解决问题的思路，从而解决问题。
例1.在△ABC中，求的最大值
分析 该题若考虑一般的三角形，直接利用三角恒等变形，方向不明确，因此可尝试利用特殊化方法。考虑到最大值可能存在于特殊的三角形中，因此，考虑当 时， ；当，时，，可猜想为最大值。问题就转化为要证明（等号一定能取到），这样目的就很明确了。
例2.设等于定数，证明：凡以为方程的直线均通过一个定点。
证明：将a、b特殊化，令，则，直线变为 （1）
又令，则，直线 变为
（2）
將（1）、（2）联立，解得两直线交点，这是一个定点。猜想：一切直线均通过定点M。将M点坐标代入直线方程便可证实这一猜想。
2.把条件特殊化
在许多命题和概念中，经常可以找到一些特殊的例子，从这些特殊例子的特征出发，就可以将原来的命题和概念特殊化，从而创造出新的数学命题和概念。
如从四边形→梯形→平行四边形→矩形（菱形）→正方形。
3.把命题条件极端化
我们考虑某个范围内的数学问题的时候，往往会考虑这个问题的极端情况，从而发现新的问题，提出新的观点。我们经常考虑数学问题中的极端形式有：由线到点，有面到线，由曲线到直线，由有限到无限等等。
F1F2例如，椭圆有两个焦点F1，F2，如图所示，若F1固
定，考虑的移动，当F2向左移动，椭圆逐渐趋向于圆，
F2与F1重合时即为圆；当F2从无穷远处由左边回到圆锥曲线的轴上来时，即为双曲线；当F2继续向右移动，F2与F1重合时即为两相交直线，亦即退化的圆锥曲线。这些就是圆锥曲线的极端情况，从中可以使我们更清晰地看到各类曲线之间的区别与联系。
（二）特殊化转化到一般化
一般化往往会扩大研究的范围，促进数学从广义上不断发展，从而能够站在一个更高的层次上来解决具体问题。
1.用一般的变量代替具体对象
有时候由于具体对象的一些特殊性质掩盖了该对象的一般性质，此时可以通过一般的变量代替具体对象来发现该对象的一般属性，从而获得解决问题的途径。
例1.比较1733和33！的大小。
分析 通过数值比较计算比较大小是有困难的，但数据17和33之间有联系，由此通过一般化可得到一个一般性的命题，比较与n！的大小，由于
所以
，由此立得[10]
2.弱化命题条件
对于一些数学命题，我们可以弱化命题的条件，从而得到一般化的结果，新的数学命题。例如勾股定理：在△ABC中，当∠C=90°时，有成立。如果我们把条件弱化，不考虑∠C=90°的特殊情况，只考虑△ABC的一般情况，然后分析△ABC三边大小的关系，从而得到广义的勾股定理，即余弦定理：。这种弱化命题条件，得到新命题的情形也经常出现。
三、一般化与特殊化在教学中的应用
一般化与特殊化在我们的数学学习中有着至关重要的作用，特别在教学中。三角学的特点之一是公式较多，对这些公式，记忆是必要的，但如果没有科学的方法光靠死记是不行的。从繁杂众多的公式中理出一个头绪，这是帮助学生加深理解和记忆的好办法，是教师教学方法中重要的方法下面我们由两角和余弦公式出发，利用特殊化的方法，导出一系列关于正弦与余弦的公式。
1.
2.在中以-β替换β，得：
3.在中取，并将β改写成α，得：
我们就可以得到一系列的正弦与余弦公式，这样很便与我们的教学了。
四、总结
数学中，一般与特殊同等重要，缺一不可。数学研究中，一般化与特殊化是非常重要的，在数学中的各个领域都有，比如概型中的特殊化，数值问题中的最值问题，数学中的化归思想等等。因为待解的一般性问题特殊化成特殊问题，再求的特殊问题的解，然后猜想一般问题的解，最后加以证明。这种方法对于解决复杂问题往往是行之有效的。
当然并不是所有的数学问题都可以特殊化或一般化可以解决的，但它们是一种必要的手段，而且恰当运用它们也需要研究者有足够的机智和经验，还要有一定的数学修养。特殊化方法和一般化方法在一般科学研究中有着重要的地位和作用，也是推动数学发展和创新的重要方法。因此一般化与特殊化需要我们自己在点滴中慢慢体会，也是值得我们进一步挖掘和弘扬。
参考文献：
[1]赵保华，赵宝钢，李国华.一般与特殊相结合的数学证明方法浅谈[J].高师理科学刊，2005，25（4）：11.
[2]洪宝勇.特殊到一般与极端到一般[J].中学数学杂志（高中），2001，15（2）：40.
[3]罗增儒.巧思妙解的两个途径—一般化与特殊化[J].中学数学，2007，18（8）：16-18.
[4]何华兴.数学中的一般化与特殊化例谈[J].中学数学研究，2008，13（7）：6.
[5]陈志云，蒋永红，郭朋贵.数学创新方法漫谈（一）——特殊化方法和一般化方法[J].高等函授学报（自然科学版），2005，19（6）：9-13.
作者简介：童亚玲，余姚市职成教中心学校。