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摘要：由于在数学教学和学习中对数学学习过程的忽视，导致了数学先验观点的产生，造成教师教学方法的失误，影响了学生学习数学的信心。而将归纳引入数学课程则可最大可能地揭示数学学习过程中的深层次思维，解释数学，从而消除数学先验观点，揭开数学神秘面纱。
关键词：归纳；先验；数学事实性结论
中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）31-0115-02
人们对数学历来有很多种看法，抛开公理化和形式体系化的事实，从一般认识论的观点来考察数学，则有很多人已经自觉不自觉地把数学或者至少一部分数学看作是先验知识。当然这个结果部分来自于数学的抽象性和巨大的普遍性以及它很大的准确性和可靠性。而教师和学生对数学的先验性的认识却会对数学教育造成很大的打击。学生会认为：没有学过的东西就不可能懂，只有天才才能在数学中做出发明创造；猜想在数学中没有任何地位，因为数学是完全严格的；学习数学的方法就是记忆和模仿，你不用去理解，也不可能真正搞懂……而教师则认为在学习的过程中没有必要对数学知识进行怀疑，所以在数学教学中常常忽视学生掌握数学知识时的思维过程，以至于学习者很难真正理解数学。
一、数学先验观点带来的弊端及其产生原因
数学的先验观点在数学教育中会直接导致数学神秘化，造成教师教学时只注意到数学的事实性结论，讲授课时也只是强调结果很少注意到结果产生的过程，对数学方法产生的原因很少涉及，在教学方法上则过度使用形式训练。而学生由于有了先验的观点，认为“数学是神秘的”，则对学习数学会丧失信心，对数学学习会丧失兴趣。数学学习事实上也是一种认识行为，认识的对象是数学知识。但是和最初发现数学知识不同的是，现在学习的数学课程大都是以已知事实性结论的形态而存在的，显然让学习者感到数学是神秘的，是天才创造出来的。这就是在数学教育中导致其先验性的直接原因。故数学先验论产生的原因如下：一是数学的抽象性和巨大的普遍性以及它很大的准确性和可靠性；二是在数学教学和学习中对数学事实性结论产生过程的忽略；三是现有数学课程呈现的方式是数学事实性结论的组合；四是教师在二和三两种原因下产生的教学方法；五是以记忆、模仿和训练为主的学习方法。原因一是由于数学本身的特点而来的，只要我们对数学有一个正确的认识就可以避免了。而原因三则是由原因二直接影响而产生的，后面两种即是先验论产生的原因也是它造成的结果。显然这一切都要归根于把“数学知识看作是事实性结论”。下面我们对数学事实性结论的产生进行研究。
二、数学事实性结论的产生过程
1.研究数学产生过程的必要性。为了区别建构主义对数学知识的定义，就把现在课程中所呈现的内容概称为“事实性结论”。这些内容往往是以公理体系而存在的。由于严格的公理化演绎的模型构成了引人注目的有吸引力的形式，在这种形式里常常能够结晶出数学思想的最终产品。所以，在数学教育中往往以掌握这些结论为目的，而忽视了数学事实性结论产生的过程，造成理解上的困难，同时为先验论的产生了提供了条件。在很长时期内人们往往把数学等同于数学知识的汇集，尤其是热衷于数学基础研究的学者更希望能把整个数学或至少其大部分能够建成单一的一个公理系统，在其中由少数几条公理即可演绎出全部的数学真理。在数学哲学中就有逻辑主义、直觉主义和形式主义等学派的区分，这些学派反过来对数学界以及数学教育界产生了很大的影响，以至于使普通教师和一般人形成了数学先验观点。我们现在的数学教材大都是以演绎为主的公理化体系，也可以说是一些事实性结论的汇集。而我们却忽略了学校数学教育目的和数学研究目的的区别。就像弗赖登塔尔关于数学教育性质的分析：学校数学主要是“活动的、操作的”数学，而不是形式化的数学。学生应经历数学化，而非数学；抽象化，而非抽象；步骤化，而非步骤；形式化，而非形式；算法化，而非算法；语言表述，而非语言的数学学习过程。所以我们必须把数学事实性结论产生的过程给弄清楚，然后才能把数学教育的目的更好地完成。
2.数学事实性结论的产生：归纳和演绎。数学事实性结论的产生过程并不像现在所显示的那样铁板一块，每个结论的产生都花费了很长的时间，而且也不是像现在的教材中所显示的那样都是演绎出来的。比如数学分析的严格化过程自从牛顿和莱布尼茨开始直到19世纪才形成现在的体系。其间经过达朗贝尔、拉格朗日、欧拉、柯西和魏尔斯特拉斯等著名数学家的努力。在这个过程中，不仅仅是依靠演绎完成的，尤其是在实数理论产生之前，归纳起到了很重要的作用。其他如数学里面的运算法则，甚至是公理体系里面的基本公理，更非依靠演绎完成的。在整个数学发展的过程中，数学可以说是在归纳中产生，在演绎中完善的，归纳是数学产生的起点。演绎在数学里面的重要性是有目共睹的，而且还以教科书的形式而存在着，但是归纳则相对较为隐晦，即使使用了归纳有时还不自知。例如，我们在使用“ε-N”时，我们不断选取N的值进行验证，事实上就是利用了归纳，而且每个步骤都要用，只是很少注意到罢了。故为方便读者理解，下面介绍一下归纳。
3.归纳及其方法。演绎和归纳是两种最为基本的科学方法。归纳就是从个别的、特殊的知识概括出一般性的知识的科学方法，经过这种概括，人们就把对已观察过的对象的认识推广到尚未观察过的对象上去。和演绎相比起来，其结论显然不是那么可靠，所以往往归纳得到的结果还需要演绎来最终验证。这也是为什么数学界推崇演绎而轻归纳的原因，同样也影响了现代数学课程对归纳的重视。归纳的典型步骤为：首先，我们注意到了某些相似；然后是一个推广的步骤，即是如何把所说的相似性推广为一个明确表述的一般命题；最后，我们又应对所得出的一般命题进行检验，即应进一步考察其他的特例，如果在所有考察过的例子中这一猜测都是正确的，我们对它的信心就增强了，而如果出现了不正确的情况，我们就对原来的猜测进行改进。归纳是从个别事实中概括出一般原理的科学方法，归纳法是由两大部分组成的：一大部分是归纳推理；另一大部分是其他的归纳方法。简单枚举法、类比法、统计推理与求因果法都属于归纳推理的范围。观察、试验、比较、分类、分析、综合、统计中的选样、求平均数以及假说，属于其他归纳方法的范围。 三、归纳在数学教育中的作用
1.归纳有利于理解数学和培养学生的创新意识。从上面我们可以看到归纳应用之广泛，方法之灵活，并且归纳非常重视过程，刚好与对结果非常重视的演绎相辅相成。而现在数学先验观点的产生在很大程度上是因为对数学事实性结论的产生过程不清楚。采用归纳法，除了利用“相似性推广为一个明确表述的一般命题”之外，还“应进一步考察其他的特例”，然后“对原来的猜测进行改进”，只有如此归纳的作用才能真正体现出了。
2.归纳的态度有利于培养学生的科学精神。归纳的态度有以下三点：（1）我们应当随时准备修正我们的任何一个信念。（2）如果有一种理由非使我们改变信念不可，我们就应当改变这一信念。（3）如果没有某种充分的理由，我们不应当轻率地改变一个信念。这三点可以简缩为“理智上的勇气”、“理智上的诚实”和“明智的克制”，
四、如何利用归纳进行数学教育
由归纳的作用很显然可以看出有利于学生理解数学，消除学习数学时产生的神秘感。但是由于演绎的根深蒂固，所以如何使归纳进入数学教育，还是需要进一步研究。在整个数学教育中，一本好的教材是至关重要的。毫无疑问要想将归纳引入数学教育首先改变的就是数学教材。在此并不是说目前的公理化不好，公理化的数学作为研究的成果无疑是很伟大的。但是我们的对象是数学的学习者，他们更需要的是对概念、法则、定理、公理产生、发展的必要性和合理性的理解，这样才能剥下数学神秘的面纱，由此可见目前的公理化演绎就很不适合了。目前在数学课程中，归纳并不罕见，比较、分类、分析、综合在数学中应用的很多。但是这些方法大都是在具体的数学解题中出现的，在概念的产生中有很多都没有用到归纳，就是有些概念用到了归纳方法，但也只是把归纳和直观、形象联系在一起，比如三角形的定义等，很多人都误解归纳不能运用于更为抽象的数学知识。其实很多抽象的概念都是由归纳而产生的，比如无理数、虚数的概念，复数的运算法则等。几乎每个新的数学概念的产生都离不开归纳。所以在数学课程中有必要让学生理解数学事实性结论的来源，当然这个要与一般的数学史教材区分开来。以无理数为例，我们可以不讲毕达哥拉斯，但是我们却要讲不可公度量，然后利用归纳找出矛盾，而后让学生产生创造新数的灵感，然后利用归纳重新考虑这个新数产生之后的运算法则问题。这样我们就完成了复数的扩充。
归纳进入到数学课程应当侧重于对概念和法则的产生和演变的过程，以便于数学的理解和掌握，培养学生掌握更多的科学方法，又可以和数学的演绎体系相辅相成，使数学既可以轻松地被理解又可以以演绎的形式进行概括总结。当然要想这样深入到数学教材的改革，还需要很多具体的东西去研究，亦希望有志于数学教育的学者朝这个方向进行研究。
参考文献：
[1]郑毓信.数学教育哲学[M].成都：四川教育出版社，2001.
[2]诸葛殷同，等.形式逻辑原理[M].北京：人民教育出版社，1982.
关键词：归纳；先验；数学事实性结论
中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）31-0115-02
人们对数学历来有很多种看法，抛开公理化和形式体系化的事实，从一般认识论的观点来考察数学，则有很多人已经自觉不自觉地把数学或者至少一部分数学看作是先验知识。当然这个结果部分来自于数学的抽象性和巨大的普遍性以及它很大的准确性和可靠性。而教师和学生对数学的先验性的认识却会对数学教育造成很大的打击。学生会认为：没有学过的东西就不可能懂，只有天才才能在数学中做出发明创造；猜想在数学中没有任何地位，因为数学是完全严格的；学习数学的方法就是记忆和模仿，你不用去理解，也不可能真正搞懂……而教师则认为在学习的过程中没有必要对数学知识进行怀疑，所以在数学教学中常常忽视学生掌握数学知识时的思维过程，以至于学习者很难真正理解数学。
一、数学先验观点带来的弊端及其产生原因
数学的先验观点在数学教育中会直接导致数学神秘化，造成教师教学时只注意到数学的事实性结论，讲授课时也只是强调结果很少注意到结果产生的过程，对数学方法产生的原因很少涉及，在教学方法上则过度使用形式训练。而学生由于有了先验的观点，认为“数学是神秘的”，则对学习数学会丧失信心，对数学学习会丧失兴趣。数学学习事实上也是一种认识行为，认识的对象是数学知识。但是和最初发现数学知识不同的是，现在学习的数学课程大都是以已知事实性结论的形态而存在的，显然让学习者感到数学是神秘的，是天才创造出来的。这就是在数学教育中导致其先验性的直接原因。故数学先验论产生的原因如下：一是数学的抽象性和巨大的普遍性以及它很大的准确性和可靠性；二是在数学教学和学习中对数学事实性结论产生过程的忽略；三是现有数学课程呈现的方式是数学事实性结论的组合；四是教师在二和三两种原因下产生的教学方法；五是以记忆、模仿和训练为主的学习方法。原因一是由于数学本身的特点而来的，只要我们对数学有一个正确的认识就可以避免了。而原因三则是由原因二直接影响而产生的，后面两种即是先验论产生的原因也是它造成的结果。显然这一切都要归根于把“数学知识看作是事实性结论”。下面我们对数学事实性结论的产生进行研究。
二、数学事实性结论的产生过程
1.研究数学产生过程的必要性。为了区别建构主义对数学知识的定义，就把现在课程中所呈现的内容概称为“事实性结论”。这些内容往往是以公理体系而存在的。由于严格的公理化演绎的模型构成了引人注目的有吸引力的形式，在这种形式里常常能够结晶出数学思想的最终产品。所以，在数学教育中往往以掌握这些结论为目的，而忽视了数学事实性结论产生的过程，造成理解上的困难，同时为先验论的产生了提供了条件。在很长时期内人们往往把数学等同于数学知识的汇集，尤其是热衷于数学基础研究的学者更希望能把整个数学或至少其大部分能够建成单一的一个公理系统，在其中由少数几条公理即可演绎出全部的数学真理。在数学哲学中就有逻辑主义、直觉主义和形式主义等学派的区分，这些学派反过来对数学界以及数学教育界产生了很大的影响，以至于使普通教师和一般人形成了数学先验观点。我们现在的数学教材大都是以演绎为主的公理化体系，也可以说是一些事实性结论的汇集。而我们却忽略了学校数学教育目的和数学研究目的的区别。就像弗赖登塔尔关于数学教育性质的分析：学校数学主要是“活动的、操作的”数学，而不是形式化的数学。学生应经历数学化，而非数学；抽象化，而非抽象；步骤化，而非步骤；形式化，而非形式；算法化，而非算法；语言表述，而非语言的数学学习过程。所以我们必须把数学事实性结论产生的过程给弄清楚，然后才能把数学教育的目的更好地完成。
2.数学事实性结论的产生：归纳和演绎。数学事实性结论的产生过程并不像现在所显示的那样铁板一块，每个结论的产生都花费了很长的时间，而且也不是像现在的教材中所显示的那样都是演绎出来的。比如数学分析的严格化过程自从牛顿和莱布尼茨开始直到19世纪才形成现在的体系。其间经过达朗贝尔、拉格朗日、欧拉、柯西和魏尔斯特拉斯等著名数学家的努力。在这个过程中，不仅仅是依靠演绎完成的，尤其是在实数理论产生之前，归纳起到了很重要的作用。其他如数学里面的运算法则，甚至是公理体系里面的基本公理，更非依靠演绎完成的。在整个数学发展的过程中，数学可以说是在归纳中产生，在演绎中完善的，归纳是数学产生的起点。演绎在数学里面的重要性是有目共睹的，而且还以教科书的形式而存在着，但是归纳则相对较为隐晦，即使使用了归纳有时还不自知。例如，我们在使用“ε-N”时，我们不断选取N的值进行验证，事实上就是利用了归纳，而且每个步骤都要用，只是很少注意到罢了。故为方便读者理解，下面介绍一下归纳。
3.归纳及其方法。演绎和归纳是两种最为基本的科学方法。归纳就是从个别的、特殊的知识概括出一般性的知识的科学方法，经过这种概括，人们就把对已观察过的对象的认识推广到尚未观察过的对象上去。和演绎相比起来，其结论显然不是那么可靠，所以往往归纳得到的结果还需要演绎来最终验证。这也是为什么数学界推崇演绎而轻归纳的原因，同样也影响了现代数学课程对归纳的重视。归纳的典型步骤为：首先，我们注意到了某些相似；然后是一个推广的步骤，即是如何把所说的相似性推广为一个明确表述的一般命题；最后，我们又应对所得出的一般命题进行检验，即应进一步考察其他的特例，如果在所有考察过的例子中这一猜测都是正确的，我们对它的信心就增强了，而如果出现了不正确的情况，我们就对原来的猜测进行改进。归纳是从个别事实中概括出一般原理的科学方法，归纳法是由两大部分组成的：一大部分是归纳推理；另一大部分是其他的归纳方法。简单枚举法、类比法、统计推理与求因果法都属于归纳推理的范围。观察、试验、比较、分类、分析、综合、统计中的选样、求平均数以及假说，属于其他归纳方法的范围。 三、归纳在数学教育中的作用
1.归纳有利于理解数学和培养学生的创新意识。从上面我们可以看到归纳应用之广泛，方法之灵活，并且归纳非常重视过程，刚好与对结果非常重视的演绎相辅相成。而现在数学先验观点的产生在很大程度上是因为对数学事实性结论的产生过程不清楚。采用归纳法，除了利用“相似性推广为一个明确表述的一般命题”之外，还“应进一步考察其他的特例”，然后“对原来的猜测进行改进”，只有如此归纳的作用才能真正体现出了。
2.归纳的态度有利于培养学生的科学精神。归纳的态度有以下三点：（1）我们应当随时准备修正我们的任何一个信念。（2）如果有一种理由非使我们改变信念不可，我们就应当改变这一信念。（3）如果没有某种充分的理由，我们不应当轻率地改变一个信念。这三点可以简缩为“理智上的勇气”、“理智上的诚实”和“明智的克制”，
四、如何利用归纳进行数学教育
由归纳的作用很显然可以看出有利于学生理解数学，消除学习数学时产生的神秘感。但是由于演绎的根深蒂固，所以如何使归纳进入数学教育，还是需要进一步研究。在整个数学教育中，一本好的教材是至关重要的。毫无疑问要想将归纳引入数学教育首先改变的就是数学教材。在此并不是说目前的公理化不好，公理化的数学作为研究的成果无疑是很伟大的。但是我们的对象是数学的学习者，他们更需要的是对概念、法则、定理、公理产生、发展的必要性和合理性的理解，这样才能剥下数学神秘的面纱，由此可见目前的公理化演绎就很不适合了。目前在数学课程中，归纳并不罕见，比较、分类、分析、综合在数学中应用的很多。但是这些方法大都是在具体的数学解题中出现的，在概念的产生中有很多都没有用到归纳，就是有些概念用到了归纳方法，但也只是把归纳和直观、形象联系在一起，比如三角形的定义等，很多人都误解归纳不能运用于更为抽象的数学知识。其实很多抽象的概念都是由归纳而产生的，比如无理数、虚数的概念，复数的运算法则等。几乎每个新的数学概念的产生都离不开归纳。所以在数学课程中有必要让学生理解数学事实性结论的来源，当然这个要与一般的数学史教材区分开来。以无理数为例，我们可以不讲毕达哥拉斯，但是我们却要讲不可公度量，然后利用归纳找出矛盾，而后让学生产生创造新数的灵感，然后利用归纳重新考虑这个新数产生之后的运算法则问题。这样我们就完成了复数的扩充。
归纳进入到数学课程应当侧重于对概念和法则的产生和演变的过程，以便于数学的理解和掌握，培养学生掌握更多的科学方法，又可以和数学的演绎体系相辅相成，使数学既可以轻松地被理解又可以以演绎的形式进行概括总结。当然要想这样深入到数学教材的改革，还需要很多具体的东西去研究，亦希望有志于数学教育的学者朝这个方向进行研究。
参考文献：
[1]郑毓信.数学教育哲学[M].成都：四川教育出版社，2001.
[2]诸葛殷同，等.形式逻辑原理[M].北京：人民教育出版社，1982.