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摘要：将模糊集合的概念引入投资组合模型中，利用证券组合投资的收益率极大化为目标,以投资组合模型中的值为约束建立了一种模糊规划投资组合模型，利用模糊数学知识把模糊规划投资组合模型转化为带参数的线性规划模型，算例给出了该模型的一个实例的最优解。
关键词：证券投资组合 模糊规划 β约束
A fuzzy portfolio selection based on β constraints
Liao Xiaolian Chen Guohua
Abstract:Fuzzy set was applied to portfolio selection model，to maximize the profit rate of security portfolio under constraints of βand liquidity,an fuzzy programming portfolio selection model was established(IMβL),IMβL was transformed into parameter linear programming by means of the knowledge of fuzzy numbers.The optimum solution of an example about this portfolio model was given with this new algorithm.
Keywords:Portfolio selection Fuzzy programming β constraint
【中图分类号】F830.59;O221 【文献标识码】C【文章编号】1009-9646(2008)12-0154-02
1.引言
Markowitz的M-V组合理论强调对证券组合总风险的分析，合理解释了投资分散现象,与M-V理论相比，CAPM理论则侧重证券或证券组合系统风险的度量和资产的价格行为，并且证明了β系数是证券或证券组合系统风险的恰当度量,在随后的证券组合选择理论研究中，β系数常作为约束条件而被引入到建模中去［1~3］。但Elton和Gruber［4］的研究却使实务界在使用这些模型时不得不小心翼翼,Elton和Gruber［4］的研究结果表明，只有在分散程度相当好(very welldiversified)的证券组合中，β系数才是系统风险的恰当度量，因为此时证券组合的非系统风险趋于零,又因证券未来的收益,β值是不确定的，因此证券未来的收益,β可以作为模糊现象处理。在本文中我们模糊化证券未来的收益,β值约束，从而建立基模糊投资组合模型。
2.模型的建立
2.1 约束条件下的组合优化模型。
2.1.1 markowitz风险一收益模型。
假设有n种证券构成一个组合，第i种证券的预期收益率为随机变量Ri，记:ri=E(Ri),σij=cov(Ri,Rj),(x1,x2,L,xn)是资金投资于各证券的比例，markowitz风险一收益模型(MV)为:
(MV)maxf(x)=∑nj=1E(Rj)xj
s.t ∑ni=1∑nj=1σijxixj≤ω(1)
∑nj=1xj=1
xj≥0,j=1,2,L,n.
显然，此模型是以设定总风险的界值来求得最大收益的。但此模型中约束条件含二次型，这使得求解十分困难。同时，由Elton和Gruber［4］中的结论可知，在组合中证券数目确定的条件下，资金投资比例的确定仅对设定系统风险起作用。因此，在风险约束条件中可仅考虑系统风险便能达到同样的目的。据此思想，可建立β约束条件下的优化组合模型。
2.1.2 约束条件下的投资组合模型。
与M-V理论相比，CAPM理论则侧重于证券或证券组合系统风险的度量和资产的价格行为，并且证明了β系数是证券或证券组合的系统风险的恰当度量。在随后的证券组合选择理论研究中，β系数常作为约束条件而被引入到建模中去，但Elton和Cruber［4］的研究结果表明，只有在分散程度相当好的证券组合中，β系数才是系统风险的恰当度量。因此我们将这n种证券利用模糊聚类法分成m类，并限制同类证券的比例不超过某个上限，若第i种证券属于第j类，则取fij=1，否则取fij=0。在n种证券构成的组合中，β是第种证券的β值，是利用历史统计资料通过β分析法确定的，代表第i种证券的系统风险大小。其它变量假设同2.1.1，由此构成以下优化模型(Mβ):
(Mβ)maxf(x)=∑nj=1E(Rj)Xj
s.t ∑ni=1βixi=β0(2)
∑nj=1xj=1
∑nj=1fijxi≤fj,j=1,2,L,n.
0≤xj≤αj,j=1,2,L,n.
2.1.3 带流动性约束的投资组合模型。
在证券投资决策理论中，投资收益和投资风险被认为是投资者所关心的两个主要因素。然而，在真正的投资实践中，证券的流动性也不能忽视。证券的流动性是指证券的变现能力，目前度量证券流动性 方法比较多，其中广为使用的方法主要有:交易股数、交易笔数、交易金额、换手率和流通速度。其中换手率是股票成交量(或成交额)与流通盘(或流通市值)的比值，充分反映了股票的流动性。在本文中我们以换手率来刻画流动性,以li表示第i种证券的换手率,则投资组合的换手率(x1,x2,L,xn)为∑ni=1lixi,从而得到带流动性约束的投资组合模型(MβL):
(MβL)maxf(x)=∑nj=1E(Rj)Xj
s.t ∑ni=1βiXi=β0(3)
∑nj=1xj=1
∑nj=1ljxj≥l0
0≤xj≤αj,j=1,2,L,n.
2．2 模糊环境下的投资组合优化模型的建立与求解。
证券未来的收益,流动性,β是不确定的，因此证券未来的收益,流动性,β可以被看作一个模糊现象处理。显然，此模型是以设定总风险的界值来求得最大收益的。根据投资者的风险承受水平，对上述模型求解，但要求所涉及的变量都取确定的数值，而在不确定性金融环境下，无论收益还是风险都难以用准确数值给定，为此将目标偏差反映到模型中，对期望收益目标最大化及风险约束模糊化，得到模糊环境下的组合优化模型如下。
(FMV)2maxf(x)=∑nj=1E(Rj)Xj
s.t ∑ni=1βixi≌β0(2)
∑nj=1xj=1
∑nj=1ljxj≥l0
0≤xj≤αj,j=1,2,L,n.
由于投资者认为收益在一定水平上可以接受，并且越大越好，故可设模糊目标和模糊流动性的替属函数μmax(x)和μ1(x)为:
μmax(x)=0,∑ni=1rixi≤R0
∑ni=1rixi-R0R1-R0,R0≤∑ni=1rixi≤R1
1,∑ni=1rixi≥R1
μ1(x)=0,∑ni=1lixi≤L0
∑ni=1lixi-L0L1-L0,L0≤∑ni=1lixi≤L1
1,∑ni=1lixi≥L1
其中R0,R1,L0,L1由投资人主观给出。依据β风险测度原理，根据具有不同β值的证券的共同性和差异性可将β风险区间划分为六个子β域［5］，风险迟钝区域(0≤β≤0.5)，风险弱敏感区域(0.5≤β≤1)，风险敏感区域(1≤β≤1.5)，风险强敏感区域(1.5≤β≤2)，风险超强敏感区域(β＞2)，风险反敏感区域(β＜0)。因此可根据投资者的风险敏感程度得到模糊β约束的替属函数μβ(x)为：
μβ(x)=0,∑ni=1βixi≤β0
∑ni=1βixi-β0β1-β0,β0≤∑ni=1βixi≤β0
∑ni=1βixi-β0β1-β0,β0≤∑ni=1βixi≤β0
1,∑ni=1βixi≥β0
其中β0,β0，β0由投资人主观给出，引进变量μ，根据模糊决策和模糊规划理论［6］，可构建如下的参数规划问题:
(PMV)maxμ
s.t ∑ni=1rixi-R0R1-R0≥μ
∑ni=1βixi-β0β1-β0≥μ
∑ni=1βixi-β0β1-β0≥μ
∑nj=1xj=1
0≤μ≤1
0≤xj≤αj,j=1,2,L,n.
式中μ为对给定的目标期望及β风险约束的满意程度，μ值越大，表示投资者对投资组合结果的满意程度越高。
在模型式(PIMβL)中，β必须由投资者事先确定。β的设定代表了投资者的风险偏好，大的证券组合其风险大，相应的投资收益也大，反之则反。由［5］可知，若0.5＜β＜1，表示该投资者属于风险厌恶型，其要求的组合投资收益率小于市场平均收益率;若β＞1，表明该投资者要求获得与市场平均收益相同的收益，同时承担与市场同等的风险，属于中性风险者;若，则表示该投资者属于勇于风险型，希望获得超越市场平均收益的回报，但同时愿承担比市场风险大的风险。我们采用证券组合的平均召值作为β设置的参考，即:β=∑ni=11/n。
参考文献
［1］ 侯为波、徐成贤.证券组合投资决策的β模型［J］，应用数学,2000,3:25~30
［2］ 约束条件下的证券组合风险决策［J］，预测，1996，5：53~55
［3］ 带有的收益率极大化证券组合优化模型［J］，预测，1998，4：50~52
［4］ Elton E.J.，Gruber M.J.Modern Portholio Theory and Investment Analysis［M］,4th edition,John Wiley and Sons,New York,1991,284-285
［5］ 吴可.基于β域的证券投资风险弱化策略［J］，系统工程，1999,17(3):6~9
［6］ 方述诚、汪定伟.模糊数学与模糊优化，科学出版社，1997
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
关键词：证券投资组合 模糊规划 β约束
A fuzzy portfolio selection based on β constraints
Liao Xiaolian Chen Guohua
Abstract:Fuzzy set was applied to portfolio selection model，to maximize the profit rate of security portfolio under constraints of βand liquidity,an fuzzy programming portfolio selection model was established(IMβL),IMβL was transformed into parameter linear programming by means of the knowledge of fuzzy numbers.The optimum solution of an example about this portfolio model was given with this new algorithm.
Keywords:Portfolio selection Fuzzy programming β constraint
【中图分类号】F830.59;O221 【文献标识码】C【文章编号】1009-9646(2008)12-0154-02
1.引言
Markowitz的M-V组合理论强调对证券组合总风险的分析，合理解释了投资分散现象,与M-V理论相比，CAPM理论则侧重证券或证券组合系统风险的度量和资产的价格行为，并且证明了β系数是证券或证券组合系统风险的恰当度量,在随后的证券组合选择理论研究中，β系数常作为约束条件而被引入到建模中去［1~3］。但Elton和Gruber［4］的研究却使实务界在使用这些模型时不得不小心翼翼,Elton和Gruber［4］的研究结果表明，只有在分散程度相当好(very welldiversified)的证券组合中，β系数才是系统风险的恰当度量，因为此时证券组合的非系统风险趋于零,又因证券未来的收益,β值是不确定的，因此证券未来的收益,β可以作为模糊现象处理。在本文中我们模糊化证券未来的收益,β值约束，从而建立基模糊投资组合模型。
2.模型的建立
2.1 约束条件下的组合优化模型。
2.1.1 markowitz风险一收益模型。
假设有n种证券构成一个组合，第i种证券的预期收益率为随机变量Ri，记:ri=E(Ri),σij=cov(Ri,Rj),(x1,x2,L,xn)是资金投资于各证券的比例，markowitz风险一收益模型(MV)为:
(MV)maxf(x)=∑nj=1E(Rj)xj
s.t ∑ni=1∑nj=1σijxixj≤ω(1)
∑nj=1xj=1
xj≥0,j=1,2,L,n.
显然，此模型是以设定总风险的界值来求得最大收益的。但此模型中约束条件含二次型，这使得求解十分困难。同时，由Elton和Gruber［4］中的结论可知，在组合中证券数目确定的条件下，资金投资比例的确定仅对设定系统风险起作用。因此，在风险约束条件中可仅考虑系统风险便能达到同样的目的。据此思想，可建立β约束条件下的优化组合模型。
2.1.2 约束条件下的投资组合模型。
与M-V理论相比，CAPM理论则侧重于证券或证券组合系统风险的度量和资产的价格行为，并且证明了β系数是证券或证券组合的系统风险的恰当度量。在随后的证券组合选择理论研究中，β系数常作为约束条件而被引入到建模中去，但Elton和Cruber［4］的研究结果表明，只有在分散程度相当好的证券组合中，β系数才是系统风险的恰当度量。因此我们将这n种证券利用模糊聚类法分成m类，并限制同类证券的比例不超过某个上限，若第i种证券属于第j类，则取fij=1，否则取fij=0。在n种证券构成的组合中，β是第种证券的β值，是利用历史统计资料通过β分析法确定的，代表第i种证券的系统风险大小。其它变量假设同2.1.1，由此构成以下优化模型(Mβ):
(Mβ)maxf(x)=∑nj=1E(Rj)Xj
s.t ∑ni=1βixi=β0(2)
∑nj=1xj=1
∑nj=1fijxi≤fj,j=1,2,L,n.
0≤xj≤αj,j=1,2,L,n.
2.1.3 带流动性约束的投资组合模型。
在证券投资决策理论中，投资收益和投资风险被认为是投资者所关心的两个主要因素。然而，在真正的投资实践中，证券的流动性也不能忽视。证券的流动性是指证券的变现能力，目前度量证券流动性 方法比较多，其中广为使用的方法主要有:交易股数、交易笔数、交易金额、换手率和流通速度。其中换手率是股票成交量(或成交额)与流通盘(或流通市值)的比值，充分反映了股票的流动性。在本文中我们以换手率来刻画流动性,以li表示第i种证券的换手率,则投资组合的换手率(x1,x2,L,xn)为∑ni=1lixi,从而得到带流动性约束的投资组合模型(MβL):
(MβL)maxf(x)=∑nj=1E(Rj)Xj
s.t ∑ni=1βiXi=β0(3)
∑nj=1xj=1
∑nj=1ljxj≥l0
0≤xj≤αj,j=1,2,L,n.
2．2 模糊环境下的投资组合优化模型的建立与求解。
证券未来的收益,流动性,β是不确定的，因此证券未来的收益,流动性,β可以被看作一个模糊现象处理。显然，此模型是以设定总风险的界值来求得最大收益的。根据投资者的风险承受水平，对上述模型求解，但要求所涉及的变量都取确定的数值，而在不确定性金融环境下，无论收益还是风险都难以用准确数值给定，为此将目标偏差反映到模型中，对期望收益目标最大化及风险约束模糊化，得到模糊环境下的组合优化模型如下。
(FMV)2maxf(x)=∑nj=1E(Rj)Xj
s.t ∑ni=1βixi≌β0(2)
∑nj=1xj=1
∑nj=1ljxj≥l0
0≤xj≤αj,j=1,2,L,n.
由于投资者认为收益在一定水平上可以接受，并且越大越好，故可设模糊目标和模糊流动性的替属函数μmax(x)和μ1(x)为:
μmax(x)=0,∑ni=1rixi≤R0
∑ni=1rixi-R0R1-R0,R0≤∑ni=1rixi≤R1
1,∑ni=1rixi≥R1
μ1(x)=0,∑ni=1lixi≤L0
∑ni=1lixi-L0L1-L0,L0≤∑ni=1lixi≤L1
1,∑ni=1lixi≥L1
其中R0,R1,L0,L1由投资人主观给出。依据β风险测度原理，根据具有不同β值的证券的共同性和差异性可将β风险区间划分为六个子β域［5］，风险迟钝区域(0≤β≤0.5)，风险弱敏感区域(0.5≤β≤1)，风险敏感区域(1≤β≤1.5)，风险强敏感区域(1.5≤β≤2)，风险超强敏感区域(β＞2)，风险反敏感区域(β＜0)。因此可根据投资者的风险敏感程度得到模糊β约束的替属函数μβ(x)为：
μβ(x)=0,∑ni=1βixi≤β0
∑ni=1βixi-β0β1-β0,β0≤∑ni=1βixi≤β0
∑ni=1βixi-β0β1-β0,β0≤∑ni=1βixi≤β0
1,∑ni=1βixi≥β0
其中β0,β0，β0由投资人主观给出，引进变量μ，根据模糊决策和模糊规划理论［6］，可构建如下的参数规划问题:
(PMV)maxμ
s.t ∑ni=1rixi-R0R1-R0≥μ
∑ni=1βixi-β0β1-β0≥μ
∑ni=1βixi-β0β1-β0≥μ
∑nj=1xj=1
0≤μ≤1
0≤xj≤αj,j=1,2,L,n.
式中μ为对给定的目标期望及β风险约束的满意程度，μ值越大，表示投资者对投资组合结果的满意程度越高。
在模型式(PIMβL)中，β必须由投资者事先确定。β的设定代表了投资者的风险偏好，大的证券组合其风险大，相应的投资收益也大，反之则反。由［5］可知，若0.5＜β＜1，表示该投资者属于风险厌恶型，其要求的组合投资收益率小于市场平均收益率;若β＞1，表明该投资者要求获得与市场平均收益相同的收益，同时承担与市场同等的风险，属于中性风险者;若，则表示该投资者属于勇于风险型，希望获得超越市场平均收益的回报，但同时愿承担比市场风险大的风险。我们采用证券组合的平均召值作为β设置的参考，即:β=∑ni=11/n。
参考文献
［1］ 侯为波、徐成贤.证券组合投资决策的β模型［J］，应用数学,2000,3:25~30
［2］ 约束条件下的证券组合风险决策［J］，预测，1996，5：53~55
［3］ 带有的收益率极大化证券组合优化模型［J］，预测，1998，4：50~52
［4］ Elton E.J.，Gruber M.J.Modern Portholio Theory and Investment Analysis［M］,4th edition,John Wiley and Sons,New York,1991,284-285
［5］ 吴可.基于β域的证券投资风险弱化策略［J］，系统工程，1999,17(3):6~9
［6］ 方述诚、汪定伟.模糊数学与模糊优化，科学出版社，1997
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文