论文部分内容阅读
【摘要】解决不等式恒成立和能成立的问题,基本方法是参数分离,联想函数及其图象,运用变化的观点,将问题变成基本题型求解,这种方法锻炼了对抽象问题的理解和转化能力,渗透了多种数学思想。
【关键词】含参不等式；辨析；转化
含参不等式成立的问题，通常有在给定的区间不等式恰成立、恒成立和能成立基本题型。它通常与函数、方程综合在一起，结构变化多样、方式灵活。
一、基本题型
例1.已知函数f(x)=lg(a-ax-x2)
（1）若f(x)>0在（2,3）上恰成立,求a的值;
（2）若f(x)在x（2,3）上有意义，求a的取值范围;
（3）若f(x)定义域A≠φ，试求a的取值范围.
解析：（1）f(x)>0，解集为(2,3),即a-ax-x2>1，解集为(2,3), 2、3是方程x2+ax+1-a=0根 a=-5.
（2）等价于a-ax-x2>0在(2,3)上恒成立,设g(x)=-x2-ax+a。则
（3）f(x)定义域A≠φ，存在自变量的值x0，使f(x0)有意义，则a-ax-x2>0能成立，即a-ax-x2的最大值大于0。即△= a2+4a>0a>0或a<-4.
二、对所含变量异同的辨析
例2.已知函数f(x)=x2-2x-k, g(x)=x2+2x+3(k∈R),
（1）若对任意x∈[-3，3]都有f(x)≤g(x)成立，求K的取值范围；（2）若对任意x1、x2∈[-3，3]都有f(x1)≤g(x2)求K的取值范围；（3）若对任意x1∈[-3，3]总存在x0∈[-3，3]，使得g(x0)= f(x1)成立，求K的取值范围。
解：（1）f(x)-g(x)≤0在[-3，3]恒成立，即-4x-3≤K在[-3，3]成立，（-4x-3）max=9，故K≥9.
（2）对任意x1、x2∈[-3，3]，说明x1、x2是[-3，3]上的两个独立的变量，有f(x1)≤g(x2)成立， g(x)的所有函数值都大于f(x)的所有函数值，只需g(x)min≥f(x)max，得2≥15-K，故K≥13.
（3）对于任意x1∈[-3，3]，f(x1)为f(x)在[-3，3]上任意一个函数值，存在x0∈[-3，3]使得g(x0)=f(x1)，即是对于f(x)在[-3，3]上的所有函数值，g(x)在[-3，3]上总有相应的函数值与之相等，即f(x)的值域为g(x)值域的子集，易求g(x)的值域为[2，18]，f(x)的值域为[-1-K，15-K]，从而有
三、对变量任意性、存在性的辨析
例3.设f(x)=x2+2x+a2+a+1，g(x)= x3+x2+26+2a2
（1）若对任意 1、2∈[0，4]使得│f(1)- g(2)│<59恒成立，求a的取值范围；
（2）若存在1、2[0，4]使得|f(1)- g(2)│<1成立，求a的取值范围。
解析：（1）∵1、2∈[0，4]，f(1)，g(2)的变化范围为f(x)，g(x)在[0，4]的值域， f(x)的值域为[a2+a+1，a2+a+25]，g(x)的值域为[2a2+26，2a2+58]
对任意1、2∈[0，4]使得│f(1)-g(2)│<59恒成立，只需│f(1)-g(2)│max<59
∵g(x)min-f(x)max= a2-a+1=（a- ）2+>0，g(x)max-f(x)min>g(x)min-f(x) max
∴g(x)max -f(x)min <59 即：a2-a-2<0，故-1 （2）存在1,2∈[0，4]使得│f(1)-g(2)│<1成立,只需│f(1)-g(2)│min <1
由(1)可知只需g(x)min-f(x)max<1
即a2-a<0故0 （作者单位：河南省新县职业高级中学）
【关键词】含参不等式；辨析；转化
含参不等式成立的问题，通常有在给定的区间不等式恰成立、恒成立和能成立基本题型。它通常与函数、方程综合在一起，结构变化多样、方式灵活。
一、基本题型
例1.已知函数f(x)=lg(a-ax-x2)
（1）若f(x)>0在（2,3）上恰成立,求a的值;
（2）若f(x)在x（2,3）上有意义，求a的取值范围;
（3）若f(x)定义域A≠φ，试求a的取值范围.
解析：（1）f(x)>0，解集为(2,3),即a-ax-x2>1，解集为(2,3), 2、3是方程x2+ax+1-a=0根 a=-5.
（2）等价于a-ax-x2>0在(2,3)上恒成立,设g(x)=-x2-ax+a。则
（3）f(x)定义域A≠φ，存在自变量的值x0，使f(x0)有意义，则a-ax-x2>0能成立，即a-ax-x2的最大值大于0。即△= a2+4a>0a>0或a<-4.
二、对所含变量异同的辨析
例2.已知函数f(x)=x2-2x-k, g(x)=x2+2x+3(k∈R),
（1）若对任意x∈[-3，3]都有f(x)≤g(x)成立，求K的取值范围；（2）若对任意x1、x2∈[-3，3]都有f(x1)≤g(x2)求K的取值范围；（3）若对任意x1∈[-3，3]总存在x0∈[-3，3]，使得g(x0)= f(x1)成立，求K的取值范围。
解：（1）f(x)-g(x)≤0在[-3，3]恒成立，即-4x-3≤K在[-3，3]成立，（-4x-3）max=9，故K≥9.
（2）对任意x1、x2∈[-3，3]，说明x1、x2是[-3，3]上的两个独立的变量，有f(x1)≤g(x2)成立， g(x)的所有函数值都大于f(x)的所有函数值，只需g(x)min≥f(x)max，得2≥15-K，故K≥13.
（3）对于任意x1∈[-3，3]，f(x1)为f(x)在[-3，3]上任意一个函数值，存在x0∈[-3，3]使得g(x0)=f(x1)，即是对于f(x)在[-3，3]上的所有函数值，g(x)在[-3，3]上总有相应的函数值与之相等，即f(x)的值域为g(x)值域的子集，易求g(x)的值域为[2，18]，f(x)的值域为[-1-K，15-K]，从而有
三、对变量任意性、存在性的辨析
例3.设f(x)=x2+2x+a2+a+1，g(x)= x3+x2+26+2a2
（1）若对任意 1、2∈[0，4]使得│f(1)- g(2)│<59恒成立，求a的取值范围；
（2）若存在1、2[0，4]使得|f(1)- g(2)│<1成立，求a的取值范围。
解析：（1）∵1、2∈[0，4]，f(1)，g(2)的变化范围为f(x)，g(x)在[0，4]的值域， f(x)的值域为[a2+a+1，a2+a+25]，g(x)的值域为[2a2+26，2a2+58]
对任意1、2∈[0，4]使得│f(1)-g(2)│<59恒成立，只需│f(1)-g(2)│max<59
∵g(x)min-f(x)max= a2-a+1=（a- ）2+>0，g(x)max-f(x)min>g(x)min-f(x) max
∴g(x)max -f(x)min <59 即：a2-a-2<0，故-1
由(1)可知只需g(x)min-f(x)max<1
即a2-a<0故0