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[摘 要]让学生掌握数学的学习方法，提高学生的数学学习能力，是中学数学教学的重要任务.研究提高学生独立思考的能力策略具有重要的现实意义.通过训练学生“下结论”“复述”“变式”“提问”“感悟”，可有效提高学生独立思考的能力.
[关键词]独立思考能力；高中数学；策略
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）32-0001-04
数学是思维的体操.著名数学家波利亚在谈到数学课的目的时，最为强调的就是两点：一是教会学生思考；二是培养学生的兴趣、好奇心、毅力、意志、情感等非智力因素.这里的“思考”包括两个方面：一是指“有目的的思考”；二是既包括“形式的”思维，又包括“非形式的”思维.即“教学生证明问题，也教他们猜想问题”.
事实上，数学学习的核心价值，就在于高水平的思维训练.具体来说，就是学会“想”问题.但是，“想”什么？怎样“想”？ 这需要通过一定的手段去加以训练.
一、训练“下结论”
“下结论”是有目的思考的结果.对课堂上出现的每一个问题（无论是教师提出的还是学生提问的），都要求学生力争迅速形成“自己”的想法.
学生可以通过观察、猜想或直觉思维，迅速给出自己的结论.结论正确与否并不是最重要的，关键它是学生“自己”的想法.这样的锻炼非常重要，是提高独立思考能力必须经过的一道“坎”.在解题中，“看条件下结论”是学生进行推理、判断的基础.
[例1]观察右图，你能从中发现哪些结论？你能否发现以下众多的结论？
（1）函数定义域为R；
（2）函数值域为R；
（3）函數图像过原点；
（4）对应方程有三个根.一零根，一正根，一负根；
（5）正根绝对值比负根绝对值大；
（6）函数值有正、有负（存在很多不等式）；
（7）函数有极大值、极小值；
（8）函数无最大值、最小值；
（9）函数在区间上具有单调性；
（10）函数具有凹凸性.
……
教师坚持不懈地进行“下结论”的训练，学生就会逐步开阔眼界，能看到原来看不到的东西，想到原来想不到的东西，从而逐步提升分析问题和解决问题的能力.
二、训练“复述”
“复述”本质上是一种转化.对于课堂上学习的知识，学生要能用自己的语言表达出来，这是非常重要的.每个人都有自己的思维“图式”，学习的意义在于不断丰富和完善自身的思维结构.特别是数学的语言比较抽象，学生要把符号语言、图形语言很好地“翻译”为文字语言，能“讲”得出来，并不是一件容易做到的事，只有通过长期坚持训练才能做好.
很多学生对知识常常 “只能意会不能言传”.这是很多学生解题表达时常思维不清的重要原因——“讲”不清楚.因此，对于课堂上教学的知识，教师要注重训练学生用自己的语言表达出来.“复述”是提升学生独立思考能力的重要手段.
[例2] 请用“自己”的语言复述“曲线的方程”与“方程的曲线”概念.
定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x， y）=0的实数解建立了如下关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么，这个方程叫曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线.
复述：
（1）这两个条件反映的是“曲线上的点” 和“以方程的解为坐标的点”的关系.既“不多” 又“不少”， 刚合适！
条件1：说明“曲线上的点”不多于“以方程的解为坐标的点”， 即说明曲线上的点都适合条件，“无一例外”.
条件2：说明“曲线上的点”不少于“以方程的解为坐标的点”， 即说明适合条件的所有点都在曲线上，“毫无遗漏”.
（2）定义的集合表述. 曲线可以看成点的集合，记为C；一个二元方程的实数解可以看成点的坐标，其解集也描述了一个点集，记为F.
[条件1：C?F条件2：F?C?C=F， 即C={（x， y）|F（x， y）=0}].
可见，加强“复述”训练，学生能用自己特有的思维方式去理解和记忆知识，所学知识就会内化为他们自身的学习系统，就会成为富有价值的知识.
三、训练“变式”
变式，是指相对于某种范式（即数学教材中具体的数学思维成果，含基础知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变化形式.它是解题思维展开的一种重要途径.
训练变式，就是要学生注重观察有关概念、性质、公式、题型等是如何从简单演变派生到复杂的，从中理解变式的基本思想，学会归纳解决问题的方法、策略、技巧，熟练地掌握变式的思维方法，它对提高学生的辩证思维能力，促进学生不断地向思维的自觉领悟阶段转变，具有不可替代的作用.
变式，常常通过以下方式进行.
（1）语言变式
数学语言通常有以下形式：文字语言、图形语言、符号语言.从某种意义上来说，数学解题就是不断实施语言的转化，从中发现解题思路，进而求解的过程.锻炼学生的数学语言转换能力是十分重要的.
（2）图形变式
教师要注重训练学生将图形由标准位置改变为非标准位置，由基本图形改变为非基本图形，这种训练能加强学生对概念的本质特征的理解.教师还要注重以基本图形为“生长点”，将其引申变换为组合图形而得到变式题组，以此培养学生的想象能力、变换能力及创新意识.
（3） 概念变式
它包括反映该概念本质属性的各种变化形式，如符号表示、等价说法、图形变式及反面实例等. 将以上n-1个式子相乘，得[ana1=12 · 23 · 34 · …· n-1n=1n ，] [∴an=1n .]
[解法2： an=n-1nan-1=n-1n · n-2n-1an-2=n-1n · n-2n-1 … 23 · 12=1n .]
小结：形如[an 1=f（n） an]的递推关系式，可采用叠乘或迭代递推的思想方法.题目变式有利于培养学生的问题意识、创新意识，有利于提高学生的解题能力.
（7） 方法变式
方法变式是指对同一个题目从不同角度加以思考，探求出不同的解决方案.一题多解的实质是问题解法的变式.一题多解是创新意识的具体运用，其作用有三：一是开拓解题思路，激发学生的探索兴趣；二是寻找解题捷径，培养学生的求简意识；三是创新解题模式，提高学生的创新能力.
[例5]已知二次函数[f（x）]满足[f1 xx=x2 1x2 1x]，求[f（x）]的表达式.
分析一： 已知条件中自变量为复合的分式，从分式到整式是实施运算化简的目标，为此可用换元法去解决.
解法1： 令[t=1 xx]，则[x=1t-1，1x=t-1]，
[∴f（t）=1t-12 11t-12 （t-1）=1 （t-1）2 （t-1）=t2-t 1]，[∴f（x）=x2-x 1].
分析二：因为题设[f（x）]是二次函数，所以把[x2 1x2 1x]配凑成以[1 xx]为变量的二次函数，可得到[f（x）]的表达式.
解法2： [f1 xx = x2 1x2 1x = 1 xx 2- 2xx2 1x=1 xx2-1x] [=1 xx2-1 xx 1]，[∴f（x）=x2-x 1].
分析三： 既然已知所求的函数肯定是二次函数，不妨直接设出二次函数的标准式[f（u）=au2 bu c，]其待定的三个系数[a，b，c]可通过自变量与函数的对应关系转化为一次方程组求解.
解法3： 设所求二次函数为[f（u）=au2 bu c，]当[u=0]时，[c=f（0）].由[1 xx=0，]得[x=-1].[∴f（0）=（-1）2 1（-1）2 1-1=1].故[f（u）=au2 bu 1]，从而[f（2）=4a 2b 1] ①，由[1 xx=2，]得[x=1，∴f（2）=1 11 11=3].
同理[f（3）=9a 3b 1=7].②由①②两式解出[a=1 ，b=1]，[∴f（x）=x2-x 1].
四、训练“提问”
学生在学习中，常常会遇到思维受阻的情况，或者思路与教师的想法不一致，或者在讨论中与其他同学的看法有冲突.这时，要让他们勇于提问，勇于阐述自己的理解，提出自己的疑问，通过与老师、同学的交流，肯定自己对问题的理解，或纠正自己理解上的偏差，从而对问题理解得更深刻、更全面.
特别是，当学生在解题遇到困难向教师请教时，要让他们把自己解题的想法、遇到的困难、自己设想而又行不通的解决办法等向教师和盘托出，让教师了解学生的思路，诊断他们思维受阻的根源，提出解决问题的办法.这样，才能真正解除学生心头之疑，使问题的解决符合学生的认知水平.否则，学生仅仅问教师怎么做，教师可能会按自己的想法为学生作答，但这一解法未必和学生所想的一致，并未解决学生的疑问.
五、训练“感悟”
“悟”是一种更深层次的思考，它反映了一个人思考力的水平.
一悟基本的知识要求.一节课，教师讲了哪些概念、性质、定理，它们的内涵和外延是什么，或者说这些知识有什么特点，要抓住哪些关键，它与已学知识有哪些联系，发展的主线是什么，这些都是要学生去思考、去发现的.因為教师不可能在短短的时间内把所有的问题都讲全、讲透，对很多问题只能做些点拨、提示，需要学生自己去感悟理解.如果学生缺乏这种主动“悟”的意识，他们就不能更全面地去理解知识的本质，对知识的理解就会“知其然，而不知其所以然”.
二悟重要的解题方法.成功的解题方法，会指明思维的引发、展开、分析、判断等一系列决策过程的基本程序，是学生今后学习可以类比的一种模式.因此，学生要注重思考这一方法的基本特征、主要步骤、基本技巧，及能够解决的问题，把它内化为自己的认识，实现将别人的方法变成“自己”的方法.
三悟蕴含的数学思想.如果说解题方法是实施层面的“技巧型”的办法，那么怎样感悟其背后蕴藏着的丰富的数学思想就更为重要了.因为数学思想是一种策略上的、全局性的方法，要真正让学生做到能举一反三、触类旁通，就必须让他们有这种高度和意识.
四悟知识的广泛应用.对知识的学习，不仅要会，更重要的是要学会联系.因为只有联系，知识才能“活”起来.因此，学生听课要注意教师对知识的来龙去脉的分析，要认真领悟所学知识的作用，能初步运用这些知识去解决问题.课本上的练习、习题就是一种最直接的运用，学生要认真做，感受知识在运用上的变化，只有这样才能真正把知识学懂、用活.
（责任编辑 黄桂坚）
[关键词]独立思考能力；高中数学；策略
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）32-0001-04
数学是思维的体操.著名数学家波利亚在谈到数学课的目的时，最为强调的就是两点：一是教会学生思考；二是培养学生的兴趣、好奇心、毅力、意志、情感等非智力因素.这里的“思考”包括两个方面：一是指“有目的的思考”；二是既包括“形式的”思维，又包括“非形式的”思维.即“教学生证明问题，也教他们猜想问题”.
事实上，数学学习的核心价值，就在于高水平的思维训练.具体来说，就是学会“想”问题.但是，“想”什么？怎样“想”？ 这需要通过一定的手段去加以训练.
一、训练“下结论”
“下结论”是有目的思考的结果.对课堂上出现的每一个问题（无论是教师提出的还是学生提问的），都要求学生力争迅速形成“自己”的想法.
学生可以通过观察、猜想或直觉思维，迅速给出自己的结论.结论正确与否并不是最重要的，关键它是学生“自己”的想法.这样的锻炼非常重要，是提高独立思考能力必须经过的一道“坎”.在解题中，“看条件下结论”是学生进行推理、判断的基础.
[例1]观察右图，你能从中发现哪些结论？你能否发现以下众多的结论？
（1）函数定义域为R；
（2）函数值域为R；
（3）函數图像过原点；
（4）对应方程有三个根.一零根，一正根，一负根；
（5）正根绝对值比负根绝对值大；
（6）函数值有正、有负（存在很多不等式）；
（7）函数有极大值、极小值；
（8）函数无最大值、最小值；
（9）函数在区间上具有单调性；
（10）函数具有凹凸性.
……
教师坚持不懈地进行“下结论”的训练，学生就会逐步开阔眼界，能看到原来看不到的东西，想到原来想不到的东西，从而逐步提升分析问题和解决问题的能力.
二、训练“复述”
“复述”本质上是一种转化.对于课堂上学习的知识，学生要能用自己的语言表达出来，这是非常重要的.每个人都有自己的思维“图式”，学习的意义在于不断丰富和完善自身的思维结构.特别是数学的语言比较抽象，学生要把符号语言、图形语言很好地“翻译”为文字语言，能“讲”得出来，并不是一件容易做到的事，只有通过长期坚持训练才能做好.
很多学生对知识常常 “只能意会不能言传”.这是很多学生解题表达时常思维不清的重要原因——“讲”不清楚.因此，对于课堂上教学的知识，教师要注重训练学生用自己的语言表达出来.“复述”是提升学生独立思考能力的重要手段.
[例2] 请用“自己”的语言复述“曲线的方程”与“方程的曲线”概念.
定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x， y）=0的实数解建立了如下关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么，这个方程叫曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线.
复述：
（1）这两个条件反映的是“曲线上的点” 和“以方程的解为坐标的点”的关系.既“不多” 又“不少”， 刚合适！
条件1：说明“曲线上的点”不多于“以方程的解为坐标的点”， 即说明曲线上的点都适合条件，“无一例外”.
条件2：说明“曲线上的点”不少于“以方程的解为坐标的点”， 即说明适合条件的所有点都在曲线上，“毫无遗漏”.
（2）定义的集合表述. 曲线可以看成点的集合，记为C；一个二元方程的实数解可以看成点的坐标，其解集也描述了一个点集，记为F.
[条件1：C?F条件2：F?C?C=F， 即C={（x， y）|F（x， y）=0}].
可见，加强“复述”训练，学生能用自己特有的思维方式去理解和记忆知识，所学知识就会内化为他们自身的学习系统，就会成为富有价值的知识.
三、训练“变式”
变式，是指相对于某种范式（即数学教材中具体的数学思维成果，含基础知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变化形式.它是解题思维展开的一种重要途径.
训练变式，就是要学生注重观察有关概念、性质、公式、题型等是如何从简单演变派生到复杂的，从中理解变式的基本思想，学会归纳解决问题的方法、策略、技巧，熟练地掌握变式的思维方法，它对提高学生的辩证思维能力，促进学生不断地向思维的自觉领悟阶段转变，具有不可替代的作用.
变式，常常通过以下方式进行.
（1）语言变式
数学语言通常有以下形式：文字语言、图形语言、符号语言.从某种意义上来说，数学解题就是不断实施语言的转化，从中发现解题思路，进而求解的过程.锻炼学生的数学语言转换能力是十分重要的.
（2）图形变式
教师要注重训练学生将图形由标准位置改变为非标准位置，由基本图形改变为非基本图形，这种训练能加强学生对概念的本质特征的理解.教师还要注重以基本图形为“生长点”，将其引申变换为组合图形而得到变式题组，以此培养学生的想象能力、变换能力及创新意识.
（3） 概念变式
它包括反映该概念本质属性的各种变化形式，如符号表示、等价说法、图形变式及反面实例等. 将以上n-1个式子相乘，得[ana1=12 · 23 · 34 · …· n-1n=1n ，] [∴an=1n .]
[解法2： an=n-1nan-1=n-1n · n-2n-1an-2=n-1n · n-2n-1 … 23 · 12=1n .]
小结：形如[an 1=f（n） an]的递推关系式，可采用叠乘或迭代递推的思想方法.题目变式有利于培养学生的问题意识、创新意识，有利于提高学生的解题能力.
（7） 方法变式
方法变式是指对同一个题目从不同角度加以思考，探求出不同的解决方案.一题多解的实质是问题解法的变式.一题多解是创新意识的具体运用，其作用有三：一是开拓解题思路，激发学生的探索兴趣；二是寻找解题捷径，培养学生的求简意识；三是创新解题模式，提高学生的创新能力.
[例5]已知二次函数[f（x）]满足[f1 xx=x2 1x2 1x]，求[f（x）]的表达式.
分析一： 已知条件中自变量为复合的分式，从分式到整式是实施运算化简的目标，为此可用换元法去解决.
解法1： 令[t=1 xx]，则[x=1t-1，1x=t-1]，
[∴f（t）=1t-12 11t-12 （t-1）=1 （t-1）2 （t-1）=t2-t 1]，[∴f（x）=x2-x 1].
分析二：因为题设[f（x）]是二次函数，所以把[x2 1x2 1x]配凑成以[1 xx]为变量的二次函数，可得到[f（x）]的表达式.
解法2： [f1 xx = x2 1x2 1x = 1 xx 2- 2xx2 1x=1 xx2-1x] [=1 xx2-1 xx 1]，[∴f（x）=x2-x 1].
分析三： 既然已知所求的函数肯定是二次函数，不妨直接设出二次函数的标准式[f（u）=au2 bu c，]其待定的三个系数[a，b，c]可通过自变量与函数的对应关系转化为一次方程组求解.
解法3： 设所求二次函数为[f（u）=au2 bu c，]当[u=0]时，[c=f（0）].由[1 xx=0，]得[x=-1].[∴f（0）=（-1）2 1（-1）2 1-1=1].故[f（u）=au2 bu 1]，从而[f（2）=4a 2b 1] ①，由[1 xx=2，]得[x=1，∴f（2）=1 11 11=3].
同理[f（3）=9a 3b 1=7].②由①②两式解出[a=1 ，b=1]，[∴f（x）=x2-x 1].
四、训练“提问”
学生在学习中，常常会遇到思维受阻的情况，或者思路与教师的想法不一致，或者在讨论中与其他同学的看法有冲突.这时，要让他们勇于提问，勇于阐述自己的理解，提出自己的疑问，通过与老师、同学的交流，肯定自己对问题的理解，或纠正自己理解上的偏差，从而对问题理解得更深刻、更全面.
特别是，当学生在解题遇到困难向教师请教时，要让他们把自己解题的想法、遇到的困难、自己设想而又行不通的解决办法等向教师和盘托出，让教师了解学生的思路，诊断他们思维受阻的根源，提出解决问题的办法.这样，才能真正解除学生心头之疑，使问题的解决符合学生的认知水平.否则，学生仅仅问教师怎么做，教师可能会按自己的想法为学生作答，但这一解法未必和学生所想的一致，并未解决学生的疑问.
五、训练“感悟”
“悟”是一种更深层次的思考，它反映了一个人思考力的水平.
一悟基本的知识要求.一节课，教师讲了哪些概念、性质、定理，它们的内涵和外延是什么，或者说这些知识有什么特点，要抓住哪些关键，它与已学知识有哪些联系，发展的主线是什么，这些都是要学生去思考、去发现的.因為教师不可能在短短的时间内把所有的问题都讲全、讲透，对很多问题只能做些点拨、提示，需要学生自己去感悟理解.如果学生缺乏这种主动“悟”的意识，他们就不能更全面地去理解知识的本质，对知识的理解就会“知其然，而不知其所以然”.
二悟重要的解题方法.成功的解题方法，会指明思维的引发、展开、分析、判断等一系列决策过程的基本程序，是学生今后学习可以类比的一种模式.因此，学生要注重思考这一方法的基本特征、主要步骤、基本技巧，及能够解决的问题，把它内化为自己的认识，实现将别人的方法变成“自己”的方法.
三悟蕴含的数学思想.如果说解题方法是实施层面的“技巧型”的办法，那么怎样感悟其背后蕴藏着的丰富的数学思想就更为重要了.因为数学思想是一种策略上的、全局性的方法，要真正让学生做到能举一反三、触类旁通，就必须让他们有这种高度和意识.
四悟知识的广泛应用.对知识的学习，不仅要会，更重要的是要学会联系.因为只有联系，知识才能“活”起来.因此，学生听课要注意教师对知识的来龙去脉的分析，要认真领悟所学知识的作用，能初步运用这些知识去解决问题.课本上的练习、习题就是一种最直接的运用，学生要认真做，感受知识在运用上的变化，只有这样才能真正把知识学懂、用活.
（责任编辑 黄桂坚）