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摘要：以表面效应和卡西米尔力的自由振动模型为基础函数，建立了包含表面效应和卡西米尔力的纳米板的降阶模型。研究发现，纳米板的一个基函数给出了一个收敛的解。表面效应对纳米板的拉入电压、拉入偏转和基频的预测有了很大的提高。然而，随着卡西米尔力的加入，对这些数量的预测有所减少。
关键词：卡西米尔力；纳米板；拉入不稳定
1.介绍
微机电系统（MEMS）和纳米机电系统（NEMS）是静电驱动的，广泛应用于晶体管、开关、压力传感器等领域。静电驱动装置一般由导电变形板和刚性接地板组成【1】（pelesko 和 bernstein，2002年）。两个板之间施加的直流电（DC）电压会导致变形板的弯曲和器件电容的随之变化。交流电（AC）和直流电压的综合效应导致所谓谐振器件的谐波运动。这类装置在信号过滤、压力传感器以及化学和质量传感方面具有广泛的应用。两个板之间施加的直流电压具有上限。在这一临界电压之外，静力会大于变形板的弹性回复力。变形板打开并接触到刚性板。这种现象被称为拉入不稳定性。这种不稳定性相对应的臨界挠度和临界电压分别称为拉入偏转和拉入电压。它们的准确预测是静电驱动 MEMS/NEMS设计中的一个重要问题。
随着尺寸的不断缩小，两个板块之间的分子相互作用力，应考虑如范德华力和卡西米尔力。在纳米尺度上，两个板之间的分子相互作用可以影响器件中的弹性回复作用，导致变形板接触刚性板。如果发生这种情况，则无法制造静电开关。当两个物体之间的间隙远低于等离子体波长（通常低于20纳米）时，范德华力通常比卡西米尔力更显著。另一方面，对于较大的差距（通常大于20纳米），卡西米尔力比范德华力更重要 【2】（ramezani 等人，2007年）。半无限平行板块之间的卡西米尔力和范德华力分别与间距的第四和第三力成反比。【3】wang 等人（2011年）在考虑卡西米尔力的情况下，研究了预应力圆形静电驱动微板的拉入不稳定性和振动情况。由于卡西米尔力和范德华力在两个不同的间隙中描述了相同的物理现象，一般来说，不能认为它们在 MEMS/NEMS中同时起作用。另一方面，随着静电驱动器件尺寸从微观到纳米的减小，表面效应可能在屈曲中发挥重要作用。然而，这些工作仅限于一维纳米开关。
目前还没有研究表面效应对二维板状纳米开关拉入不稳定性和振动的影响。由于纳米板通常是压电或静电驱动的各种谐振和开关应用，卡西米尔力和表面能量都会影响纳米开关的拉入不稳定性。因此，本文研究卡西米尔力对静电驱动纳米板拉入不稳定性的影响。应用Galerkin方法建立了静电驱动纳米板的降阶模型。研究了拉入电压、拉入偏转和纳米板基频对卡西米尔力的影响。
2. 问题陈述
用于两个长度为l、宽度 （ ）和高度 h的变形板系统。两个板块之间的初始间隙是 。上板的位移表示为 、 和w，其中 u、v和 w分别是沿 x 轴、y 轴和 z 轴的位移。板体中储存的应变能为
现在，我们用 和牛顿的方法来解决 Eq.（13）。通过以下迭代过程，可以从 Eq.（13）和边界条件 Eq.（10）确定拉入参数：
增加试验电压λ并重复步骤，直到系统的刚度矩阵变得奇异或迭代过程不能收敛。最后一个λ是拉入参数λPI。对最后的λ方向响应的偏转是拉入偏转。
4.数值结果和讨论
对于横向位移，使用了以下一组基础函数
其中 （m=1，…，N）是超验方程 的第2根。另外，本节忽略了表面弹性（ ），因为与初始表面能 相比，表面弹性 对总表面能量的贡献很小。
由于横向位移的基函数是对称的， ， ，只考虑奇数项。表1列出了为正方形板（ ）提取的拉入电压参数 和拉入偏转 ，在Eq.（18）中 （无表面能）、 （无卡西米尔力）和 n 的不同值）。结果表明，该方法为矩形纳米板的拉入参数得到了收敛解 。原因是只有一个基准函数项能够很好地逼近电和卡西米尔力作用下的变形板。用现行模型计算 （ and ），不考虑表面能（ ），与Francais及Dufour的实验结果一样。【4】结果表明，该结果与实验数据吻合较好。
结果表明，卡西米尔力参数 与表面效应参数 之间的关系可以用以下线性表达式来逼近：
需要注意的是，卡西米尔力参数 给出了可安全制造的纳米机电板的最大尺寸。同样，临界拉入电压参数 和表面效应参数 之间的关系也可以近似为线性表达式：
由此可看出，卡西米尔力参数 和拉入电压参数 随表面能参数β的增加而增大。
6. 结论
本文建立了表面效应和卡西米尔力对静电驱动纳米板拉入不稳定性和共振行为影响的降阶模型。利用哈密顿原理，得到了静电驱动纳米板的控制方程。最终得出：卡西米尔力参数 和拉入电压参数 随表面能参数β的增加而增大。
参考文献
[1]Pelesko，J. A .，Bernstein D. H.（2002）. Modeling MEMS and NEMS，Chapman & Hall，Boca Raton，Fla.，Chapter 7.
[2]Ramezani，A.，Alasty，A.，Akbari，J.（2007）. Closed-form solutions of the pull-in instability in nano-cantilevers under electrostatic and intermolecular surface forces. Int. International Journal of Solids and Structures 44，4925–4941
[3]Wang，Y. G.，Lin，W. H.，Li，X. M.，Feng，Z. J.（2011）. Bending and vibration of an electrostatically actuated circular microplate in presence of Casimir force. Applied Mathematical Modelling 35，2348–2357
[4]Francais，O.，Dufour，I.（1999）.Normalized abacus for the global behavior of diaphragms：pneumatic，electrostatic，piezoelectric or electromagnetic actuation. Journal of Modeling and Simulation of Microsystems 2，149–160
（作者单位：同济大学机械与能源工程学院）
关键词：卡西米尔力；纳米板；拉入不稳定
1.介绍
微机电系统（MEMS）和纳米机电系统（NEMS）是静电驱动的，广泛应用于晶体管、开关、压力传感器等领域。静电驱动装置一般由导电变形板和刚性接地板组成【1】（pelesko 和 bernstein，2002年）。两个板之间施加的直流电（DC）电压会导致变形板的弯曲和器件电容的随之变化。交流电（AC）和直流电压的综合效应导致所谓谐振器件的谐波运动。这类装置在信号过滤、压力传感器以及化学和质量传感方面具有广泛的应用。两个板之间施加的直流电压具有上限。在这一临界电压之外，静力会大于变形板的弹性回复力。变形板打开并接触到刚性板。这种现象被称为拉入不稳定性。这种不稳定性相对应的臨界挠度和临界电压分别称为拉入偏转和拉入电压。它们的准确预测是静电驱动 MEMS/NEMS设计中的一个重要问题。
随着尺寸的不断缩小，两个板块之间的分子相互作用力，应考虑如范德华力和卡西米尔力。在纳米尺度上，两个板之间的分子相互作用可以影响器件中的弹性回复作用，导致变形板接触刚性板。如果发生这种情况，则无法制造静电开关。当两个物体之间的间隙远低于等离子体波长（通常低于20纳米）时，范德华力通常比卡西米尔力更显著。另一方面，对于较大的差距（通常大于20纳米），卡西米尔力比范德华力更重要 【2】（ramezani 等人，2007年）。半无限平行板块之间的卡西米尔力和范德华力分别与间距的第四和第三力成反比。【3】wang 等人（2011年）在考虑卡西米尔力的情况下，研究了预应力圆形静电驱动微板的拉入不稳定性和振动情况。由于卡西米尔力和范德华力在两个不同的间隙中描述了相同的物理现象，一般来说，不能认为它们在 MEMS/NEMS中同时起作用。另一方面，随着静电驱动器件尺寸从微观到纳米的减小，表面效应可能在屈曲中发挥重要作用。然而，这些工作仅限于一维纳米开关。
目前还没有研究表面效应对二维板状纳米开关拉入不稳定性和振动的影响。由于纳米板通常是压电或静电驱动的各种谐振和开关应用，卡西米尔力和表面能量都会影响纳米开关的拉入不稳定性。因此，本文研究卡西米尔力对静电驱动纳米板拉入不稳定性的影响。应用Galerkin方法建立了静电驱动纳米板的降阶模型。研究了拉入电压、拉入偏转和纳米板基频对卡西米尔力的影响。
2. 问题陈述
用于两个长度为l、宽度 （ ）和高度 h的变形板系统。两个板块之间的初始间隙是 。上板的位移表示为 、 和w，其中 u、v和 w分别是沿 x 轴、y 轴和 z 轴的位移。板体中储存的应变能为
现在，我们用 和牛顿的方法来解决 Eq.（13）。通过以下迭代过程，可以从 Eq.（13）和边界条件 Eq.（10）确定拉入参数：
增加试验电压λ并重复步骤，直到系统的刚度矩阵变得奇异或迭代过程不能收敛。最后一个λ是拉入参数λPI。对最后的λ方向响应的偏转是拉入偏转。
4.数值结果和讨论
对于横向位移，使用了以下一组基础函数
其中 （m=1，…，N）是超验方程 的第2根。另外，本节忽略了表面弹性（ ），因为与初始表面能 相比，表面弹性 对总表面能量的贡献很小。
由于横向位移的基函数是对称的， ， ，只考虑奇数项。表1列出了为正方形板（ ）提取的拉入电压参数 和拉入偏转 ，在Eq.（18）中 （无表面能）、 （无卡西米尔力）和 n 的不同值）。结果表明，该方法为矩形纳米板的拉入参数得到了收敛解 。原因是只有一个基准函数项能够很好地逼近电和卡西米尔力作用下的变形板。用现行模型计算 （ and ），不考虑表面能（ ），与Francais及Dufour的实验结果一样。【4】结果表明，该结果与实验数据吻合较好。
结果表明，卡西米尔力参数 与表面效应参数 之间的关系可以用以下线性表达式来逼近：
需要注意的是，卡西米尔力参数 给出了可安全制造的纳米机电板的最大尺寸。同样，临界拉入电压参数 和表面效应参数 之间的关系也可以近似为线性表达式：
由此可看出，卡西米尔力参数 和拉入电压参数 随表面能参数β的增加而增大。
6. 结论
本文建立了表面效应和卡西米尔力对静电驱动纳米板拉入不稳定性和共振行为影响的降阶模型。利用哈密顿原理，得到了静电驱动纳米板的控制方程。最终得出：卡西米尔力参数 和拉入电压参数 随表面能参数β的增加而增大。
参考文献
[1]Pelesko，J. A .，Bernstein D. H.（2002）. Modeling MEMS and NEMS，Chapman & Hall，Boca Raton，Fla.，Chapter 7.
[2]Ramezani，A.，Alasty，A.，Akbari，J.（2007）. Closed-form solutions of the pull-in instability in nano-cantilevers under electrostatic and intermolecular surface forces. Int. International Journal of Solids and Structures 44，4925–4941
[3]Wang，Y. G.，Lin，W. H.，Li，X. M.，Feng，Z. J.（2011）. Bending and vibration of an electrostatically actuated circular microplate in presence of Casimir force. Applied Mathematical Modelling 35，2348–2357
[4]Francais，O.，Dufour，I.（1999）.Normalized abacus for the global behavior of diaphragms：pneumatic，electrostatic，piezoelectric or electromagnetic actuation. Journal of Modeling and Simulation of Microsystems 2，149–160
（作者单位：同济大学机械与能源工程学院）