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函数是高中数学的主线，在高考命题中一直占据着十分重要的地位，其中函数的单调性、奇偶性、周期性三大性质是高考数学命题的重点与难点，与函数奇偶性、单调性、周期性相关的综合问题是高考考查的热点.
考点1函数的定义域
例1（2014年高考江苏卷5）函数y=3-2x-x2的定义域是.
解析：要使函数有意义，必须3-2x-x2≥0，即x2 2x-3≤0，∴-3≤x≤1.
故答案应填：[-3，1]
考点分析：考查方式有已知解析式求定义域和求抽象函数的定义域等，主要考查考生对概念的理解和认知以及基本的运算能力，此类问题常常直接求解.
考点2函数的图象
例2（1）（2015年高考新课标2卷10）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x.将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）
解析：由已知得，当点P在BC边上运动时，即0≤x≤π4时，PA PB=tan2x 4 tanx；当点P在CD边上运动时，即π4≤x≤3π4，x≠π2时，PA PB=（1tanx-1）2 1 （1tanx 1）2 1，当x=π2时，PA PB=22；当点P在AD边上运动时，即3π4≤x≤π时，PA PB=tan2x 4-tanx，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线x=π2对称，且f（π4）>f（π2），且轨迹非线型，故选B.
考点分析：本题考查函数的图象与性质，表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意，通过点P的运动轨迹来判断图象的对称性以及特殊点函数值的比较，也可较容易找到答案，属于中档题.
（2）（2015年高考安徽卷9）函数f（x）=ax b（x c）2的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A. a>0，b>0，c<0
B. a<0，b>0，c>0
C. a<0，b>0，c<0
D. a<0，b<0，c<0
解析：由f（x）=ax b（x c）2及图象可知，x≠-c，-c>0，则c<0；当x=0时，f（0）=bc2>0，所以b>0；当y=0，ax b=0，所以x=-ba>0，所以a<0.故a<0，b>0，c<0，选C.
考点分析：本题考查函数的图象与应用.函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项.本题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外，根据特殊点的位置能够判断a，b，c的正负关系.
考点3函数解析式
例3（2016年高考浙江卷12）设函数f（x）=x3 3x2 1.已a≠0，且f（x）-f（a）=（x-b）（x-a）2，x∈R，则实数a=，b=.
解析：f（x）-f（a）=x3 3x2 1-a3-3a2-1=x3 3x2-a3-3a2，
（x-b）（x-a）2=x3-（2a b）x2 （a2 2ab）x-a2b，
所以-2a-b=3a2 2ab=0-a2b=-a3-3a2，解得a=-2b=1.
考点分析：先计算f（x）-f（a），再将（x-b）（x-a）2展开，进而对照系数可得含有a，b的方程组，解方程组可得a和b的值.属于中档题.
考点4对数与指数运算
例4（2015年高考浙江卷12）若a=log43，则2a 2-a=.
解析：∵a=log43，∴4a=32a=3，∴2a 2-a=3 13=433.
考点分析：本题主要考查对数的计算，属于容易题，根据条件中的对数式将其等价转化为指式，变形即可求解，对数是一个相对抽象的概念，在解题时可以转化为相对具体的指数式，利用指数的运算性质求解.
考点5指数、对数、幂函数值的大小比较
例5（2015年高考山东卷8）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）
A. a C. b 解析：因为函数y=0.6x是减函数，0<0.6<15，所以1>0.60.6>0.61.5，即b 因为函数y=x0.6在（0， ∞）上是增函数，1<15，所以1.50.6>10.6=1，即c>1.
综上，b 考点分析：此类问题主要考查基本初等函数性质的灵活应用：（1）底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较.（2）底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较.（3）底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.
考点6分段函数求值
例6（1）（2015年高考新课标2卷5）设函数f（x）=1 log2（2-x），x<1，2x-1，x≥1，，f（-2） f（log212）=（）
A. 3B. 6C. 9D. 12
解析：由已知得f（-2）=1 log24=3，又log212>1，所以f（log212）=2log212-1=2log26=6，故f（-2） f（log212）=9，故选C.
考点分析：本题考查分段函数求值，要明确自变量属于哪个区间以及熟练掌握对数运算法则，属于基础题.
（2）（2016年高考江苏卷12）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1）上，f（x）=x a，-1≤x<0，|25-x|，0≤x<1，其中a∈R.若f（-52）=f（92），则f（5a）的值是. 解析：f（-52）=f（-12）=f（92）=f（12）-12 a=12-25a=35，
因此f（5a）=f（3）=f（1）=f（-1）=-1 35=-25.
考点分析：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量的值所对应的函数解析式是什么.函数周期性可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.
考点7函数的单调性的判断
例7（2016年高考北京卷4）下列函数中，在区间（-1，1）上为减函数的是（）
A. y=11-xB. y=cosx
C. y=ln（x 1）D. y=2-x
解析：由y=2-x=（12）x在R上单调递减可知D符合题意，故选D.
考点分析：（1）函数单调性的判断的常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法；
（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；
（3）奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
考点8函数奇偶性的判断
例8（1）（2015年高考福建卷2）下列函数为奇函数的是（）
A. y=xB. y=|sinx|
C. y=cosxD. y=ex-e-x
解析：函数y=x是非奇非偶函数；y=|sinx|和y=cosx是偶函数；y=ex-e-x是奇函数，故选D.
考点分析：本题考查函数的奇偶性，除了要掌握奇偶性定义外，还要深刻理解其定义域特征即定义域关于原点对称，否则即使满足定义，仍不具有奇偶性，属于基础题.
考点9单调性的应用
例9（2015年高考湖北卷6）已知符号函数sgnx=1，x>0，0，x=0，-1，x<0.f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）-f（ax）（a>1），则（）
A. sgn[g（x）]=sgnx
B. sgn[g（x）]=-sgnx
C. sgn[g（x）]=sgn[f（x）]
D. sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]
解析：因为f（x）是R上的增函数，取f（x）=x，所以g（x）=（1-a）x，因为a>1，所以g（x）是R上的减函数，由符号函数sgnx=1，x>00，x=0-1，x<0 知，
sgn[g（x）]=-1，x>00，x=01，x<0=-sgnx.
考点分析：本题考查符号函数与函数的单调性.特殊化法是求解高中数学问题常用方法，在选择题、填空题及解答题中都用到，特别是求解在选择题、填空题选取恰当的函数，根据已知条件能快捷的得到答案.
考点10函数奇偶性的判断
例10（2015年高考广东卷3）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）
A. y=x exB. y=x 1x
C. y=2x 12xD. y=1 x2
解析：记f（x）=x ex，则f（1）=1 e，f（-1）=-1 e-1，那么f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），所以y=x ex既不是奇函数也不是偶函数，依题可知B、C、D依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.
考点分析：本题主要考查函数的奇偶性判断和常见函数性质问题，但既不是奇函数，也不是偶函数的判断可能较不熟悉，容易无从下手，因此可从熟悉的奇偶性函数进行判断排除，依题易知B、C、D是奇偶函数，排除得出答案，属于容易题.
考点11函数奇偶性的应用
例11（2015年高考新课标1卷13）若函数f（x）=xln（x a x2）为偶函数，则a=.
解析：由f（-x）=f（x）得-xln（-x a x2）=xln（x a x2），
即x[ln（x a x2） ln（-x a x2）]=xlna=0对定义域内的任意x恒成立，
因为x不恒为0，所以lna=0，所以a=1.
考点分析：本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题，常用特值法，如函数是奇函数，在x=0处有意义，常用f（x）=0，求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算.
考点12函数值的大小比较
例12（2015年高考天津卷7）已知定义在R上的函数f（x）=2|x-m|-1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）
A. a C. c 解析：因为函数f（x）=2|x-m|-1为偶函数，所以m=0，即f（x）=2|x|-1，所以
a=f（log0.53）=f（log213）=2|log213|-1=2log23-1=3-1=2，
b=f（log25）=2log25-1=4，c=f（2m）=f（0）=20-1=0，
所以c 考点分析：本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，先由函数奇偶性知识求出m的值，计算出相应的a，b，c的值比较大小即可，是中档题.其中计算a的值时易错.
考点13函数的值域
例13（1）（2016年高考新课标Ⅱ卷10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）
A. y=xB. y=lgx C. y=2xD. y=1x
解析：y=10lgx=x，定义域与值域均为（0， ∞），只有D满足，故选D.
考点分析：本题主要考查函数的定义域、值域，对数的计算.对于基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解.
（2）（2015年高考福建卷14）若函数f（x）=-x 6，x≤2，3 logax，x>2，（a>0且a≠1）的值域是[4， ∞），则实数a的取值范围是.
解析：当x≤2，故-x 6≥4，要使得函数f（x）的值域为[4， ∞），只需f1（x）=3 logax（x>2）的值域包含于[4， ∞），故a>1，所以f1（x）>3 loga2，所以3 loga2≥4，解得1 考点分析：本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用，属于中档题.
考点14函数的最值
例14（2016年高考北京卷理14）设函数f（x）=x3-3x，x≤a-2x，x>a.
①若a=0，则f（x）的最大值为；
②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是.
解析：如图作出函数g（x）=x3-3x与直线y=-2x的图象，它们的交点是A（-1，2），O（0，0），B（1，-2），由g′（x）=3x2-3，知x=1是函数g（x）的极大值点，
①当a=0时，f（x）=x3-3x，x≤0-2x，x>0，因此f（x）的最大值是f（-1）=2；
②由图象知当-1≤a≤2时，f（x）有最大值是f（-1）=2，a>2时f（x）最大值为f（a）=a3-3a；只有当a<-1时，由a3-3a<-2a，因此f（x）无最大值，∴所求a的范围是（-∞，-1），故填：2，（-∞，-1）.
考点分析：1.求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系.若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期.若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程.
考点15利用函数性质解不等式
例15（1）（2016年高考天津卷8）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a满足f（2|a-1|）>f（-2），则a的取值范围是.
解析：因为函数f（x）在（0， ∞）上递减，又f（x）为偶函数，故不等式f（2|a-1|）>f（-2）即为f（2|a-1|）>f（2），则2|a-1|<2，即|a-1|<12，解得12 考点分析：不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效.（2）借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化.
（2）（2015年高考北京卷7）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x 1）的解集是（）
A. {x|-1 C. {x|-1 解析：如图所示，把函数y=log2x的图象向左平移一个单位得到y=log2（x 1）的图象.x=1时两图象相交，不等式的解为-1 考点分析：本题考查函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想.属于基础题，首先是函数图象平移变换，把y=log2x沿x轴向左平移2个单位，得到y=log2（x 2）的图象，要求正确画出图象，利用数形结合写出不等式的解集.
考点16函数零点与方程根的问题
例16（1）（2015年高考天津卷8）已知函数f（x）=2-|x|，x≤2，（x-2）2，x>2，函数g（x）=b-f（2-x），其中b∈R，若函数y=f（x）-g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）
A. （74， ∞）B. （-∞，74）
C. （0，74）D. （74，2）
解析：由f（x）=2-|x|，x≤2，（x-2）2，x>2，
得f（2-x）=2-|2-x|，x≥0x2，x<0，
所以y=f（x） f（2-x）
=2-|x| x2，x<04-|x|-|2-x|，0≤x≤22-|2-x| （x-2）2，x>2，
即y=f（x） f（2-x）=x2 x 2，x<02，0≤x≤2x2-5x 8，x>2
y=f（x）-g（x）=f（x） f（2-x）-b，所以y=f（x）-g（x）恰有4个零点等价于方程
f（x） f（2-x）-b=0有4个不同的解，即函数y=b与函数y=f（x） f（2-x）的图象有4个公共点，由图象可知74 考点分析：本题主要考查求函数解析式、函数与方程思想、数形结合思想以及同学们的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，考查同学们的运算能力、动手作图能力以及观察能力.属提高题.
（2）（2016年高考山东卷10）已知函数f（x）=|x|，x≤mx2-2mx 4m，x>m，其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是.
解析：画出函数图象如下图所示：
由图所示，要f（x）=b有三个不同的根，需要|m|>m2-2m·m 4m，m2-3m>0，解得m>3.
考点分析：本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等，属于中等偏上题.
考点17函数性质的综合应用
例17（1）（2015年高考湖南卷5）设函数f（x）=ln（1 x）-ln（1-x），则f（x）是（）
A. 奇函数，且在（0，1）上是增函数
B. 奇函数，且在（0，1）上是减函数
C. 偶函数，且在（0，1）上是增函数
D. 偶函数，且在（0，1）上是减函数
解析：定义域为（-1，1），关于原点对称，
又∵f（-x）=ln（1-x）-ln（1 x）=-f（x），∴f（x）为奇函数，
又f（x）在（0，1）上单调递增，故选A.
考点分析：本题主要考查以对数函数为背景的单调性与奇偶性，属于中档题，首先根据函数奇偶性的判定可知其为奇函数，判定时需首先考虑定义域关于原点对称是函数为奇函数的必要条件，再结合复合函数单调性的判断，即可求解.
（2）（2016年高考新课标Ⅰ卷7）函数y=2x2-e|x|在[-2，2]的图象大致为（）
解析：函数y=2x2-e|x|在[-2，2]上是偶函数，其图象关于y轴对称.
因为f（2）=8-e2，0<8-e2<1，故排除A，B选项；
当x∈[0，2]时，y′=4x-ex有一零点，设为x0，当x∈（0，x0）时，f（x）为减函数，当x∈（x0，2）时，f（x）为增函数，故选D.
考点分析：本题表面上似乎是在考查对函数图象的识别，其实考查了函数性质的灵活运用.函数中的识图题多次出现在高考试题中，也可以说是高考的热点问题，这类题目一般比较灵活，对解题能力要求较高，故也是高考中的难点，解决这类问题的方法一般是利用间接法，即由函数性质排除不符合条件的选项.
考点18函数的实际应用
例18（2015年高考四川卷13）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时.
解析：由题意得：eb=192e22k b=48，∴e22k=48192=14，e11k=12，所以x=33时，y=e33k b=（e11k）3·eb=18×192=24.
考点分析：这是一个函数应用题，利用条件可求出参数k、b，但在实际应用中往往是利用整体代换求解（不要总是想把参数求出来）.本题利用整体代换，使问题大大简化.本题难度一般.
（作者：毛美芳，太仓市明德高级中学）
考点1函数的定义域
例1（2014年高考江苏卷5）函数y=3-2x-x2的定义域是.
解析：要使函数有意义，必须3-2x-x2≥0，即x2 2x-3≤0，∴-3≤x≤1.
故答案应填：[-3，1]
考点分析：考查方式有已知解析式求定义域和求抽象函数的定义域等，主要考查考生对概念的理解和认知以及基本的运算能力，此类问题常常直接求解.
考点2函数的图象
例2（1）（2015年高考新课标2卷10）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x.将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）
解析：由已知得，当点P在BC边上运动时，即0≤x≤π4时，PA PB=tan2x 4 tanx；当点P在CD边上运动时，即π4≤x≤3π4，x≠π2时，PA PB=（1tanx-1）2 1 （1tanx 1）2 1，当x=π2时，PA PB=22；当点P在AD边上运动时，即3π4≤x≤π时，PA PB=tan2x 4-tanx，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线x=π2对称，且f（π4）>f（π2），且轨迹非线型，故选B.
考点分析：本题考查函数的图象与性质，表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意，通过点P的运动轨迹来判断图象的对称性以及特殊点函数值的比较，也可较容易找到答案，属于中档题.
（2）（2015年高考安徽卷9）函数f（x）=ax b（x c）2的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A. a>0，b>0，c<0
B. a<0，b>0，c>0
C. a<0，b>0，c<0
D. a<0，b<0，c<0
解析：由f（x）=ax b（x c）2及图象可知，x≠-c，-c>0，则c<0；当x=0时，f（0）=bc2>0，所以b>0；当y=0，ax b=0，所以x=-ba>0，所以a<0.故a<0，b>0，c<0，选C.
考点分析：本题考查函数的图象与应用.函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项.本题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外，根据特殊点的位置能够判断a，b，c的正负关系.
考点3函数解析式
例3（2016年高考浙江卷12）设函数f（x）=x3 3x2 1.已a≠0，且f（x）-f（a）=（x-b）（x-a）2，x∈R，则实数a=，b=.
解析：f（x）-f（a）=x3 3x2 1-a3-3a2-1=x3 3x2-a3-3a2，
（x-b）（x-a）2=x3-（2a b）x2 （a2 2ab）x-a2b，
所以-2a-b=3a2 2ab=0-a2b=-a3-3a2，解得a=-2b=1.
考点分析：先计算f（x）-f（a），再将（x-b）（x-a）2展开，进而对照系数可得含有a，b的方程组，解方程组可得a和b的值.属于中档题.
考点4对数与指数运算
例4（2015年高考浙江卷12）若a=log43，则2a 2-a=.
解析：∵a=log43，∴4a=32a=3，∴2a 2-a=3 13=433.
考点分析：本题主要考查对数的计算，属于容易题，根据条件中的对数式将其等价转化为指式，变形即可求解，对数是一个相对抽象的概念，在解题时可以转化为相对具体的指数式，利用指数的运算性质求解.
考点5指数、对数、幂函数值的大小比较
例5（2015年高考山东卷8）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）
A. a
综上，b
考点6分段函数求值
例6（1）（2015年高考新课标2卷5）设函数f（x）=1 log2（2-x），x<1，2x-1，x≥1，，f（-2） f（log212）=（）
A. 3B. 6C. 9D. 12
解析：由已知得f（-2）=1 log24=3，又log212>1，所以f（log212）=2log212-1=2log26=6，故f（-2） f（log212）=9，故选C.
考点分析：本题考查分段函数求值，要明确自变量属于哪个区间以及熟练掌握对数运算法则，属于基础题.
（2）（2016年高考江苏卷12）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1）上，f（x）=x a，-1≤x<0，|25-x|，0≤x<1，其中a∈R.若f（-52）=f（92），则f（5a）的值是. 解析：f（-52）=f（-12）=f（92）=f（12）-12 a=12-25a=35，
因此f（5a）=f（3）=f（1）=f（-1）=-1 35=-25.
考点分析：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量的值所对应的函数解析式是什么.函数周期性可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.
考点7函数的单调性的判断
例7（2016年高考北京卷4）下列函数中，在区间（-1，1）上为减函数的是（）
A. y=11-xB. y=cosx
C. y=ln（x 1）D. y=2-x
解析：由y=2-x=（12）x在R上单调递减可知D符合题意，故选D.
考点分析：（1）函数单调性的判断的常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法；
（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；
（3）奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
考点8函数奇偶性的判断
例8（1）（2015年高考福建卷2）下列函数为奇函数的是（）
A. y=xB. y=|sinx|
C. y=cosxD. y=ex-e-x
解析：函数y=x是非奇非偶函数；y=|sinx|和y=cosx是偶函数；y=ex-e-x是奇函数，故选D.
考点分析：本题考查函数的奇偶性，除了要掌握奇偶性定义外，还要深刻理解其定义域特征即定义域关于原点对称，否则即使满足定义，仍不具有奇偶性，属于基础题.
考点9单调性的应用
例9（2015年高考湖北卷6）已知符号函数sgnx=1，x>0，0，x=0，-1，x<0.f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）-f（ax）（a>1），则（）
A. sgn[g（x）]=sgnx
B. sgn[g（x）]=-sgnx
C. sgn[g（x）]=sgn[f（x）]
D. sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]
解析：因为f（x）是R上的增函数，取f（x）=x，所以g（x）=（1-a）x，因为a>1，所以g（x）是R上的减函数，由符号函数sgnx=1，x>00，x=0-1，x<0 知，
sgn[g（x）]=-1，x>00，x=01，x<0=-sgnx.
考点分析：本题考查符号函数与函数的单调性.特殊化法是求解高中数学问题常用方法，在选择题、填空题及解答题中都用到，特别是求解在选择题、填空题选取恰当的函数，根据已知条件能快捷的得到答案.
考点10函数奇偶性的判断
例10（2015年高考广东卷3）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）
A. y=x exB. y=x 1x
C. y=2x 12xD. y=1 x2
解析：记f（x）=x ex，则f（1）=1 e，f（-1）=-1 e-1，那么f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），所以y=x ex既不是奇函数也不是偶函数，依题可知B、C、D依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.
考点分析：本题主要考查函数的奇偶性判断和常见函数性质问题，但既不是奇函数，也不是偶函数的判断可能较不熟悉，容易无从下手，因此可从熟悉的奇偶性函数进行判断排除，依题易知B、C、D是奇偶函数，排除得出答案，属于容易题.
考点11函数奇偶性的应用
例11（2015年高考新课标1卷13）若函数f（x）=xln（x a x2）为偶函数，则a=.
解析：由f（-x）=f（x）得-xln（-x a x2）=xln（x a x2），
即x[ln（x a x2） ln（-x a x2）]=xlna=0对定义域内的任意x恒成立，
因为x不恒为0，所以lna=0，所以a=1.
考点分析：本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题，常用特值法，如函数是奇函数，在x=0处有意义，常用f（x）=0，求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算.
考点12函数值的大小比较
例12（2015年高考天津卷7）已知定义在R上的函数f（x）=2|x-m|-1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）
A. a
a=f（log0.53）=f（log213）=2|log213|-1=2log23-1=3-1=2，
b=f（log25）=2log25-1=4，c=f（2m）=f（0）=20-1=0，
所以c
考点13函数的值域
例13（1）（2016年高考新课标Ⅱ卷10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）
A. y=xB. y=lgx C. y=2xD. y=1x
解析：y=10lgx=x，定义域与值域均为（0， ∞），只有D满足，故选D.
考点分析：本题主要考查函数的定义域、值域，对数的计算.对于基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解.
（2）（2015年高考福建卷14）若函数f（x）=-x 6，x≤2，3 logax，x>2，（a>0且a≠1）的值域是[4， ∞），则实数a的取值范围是.
解析：当x≤2，故-x 6≥4，要使得函数f（x）的值域为[4， ∞），只需f1（x）=3 logax（x>2）的值域包含于[4， ∞），故a>1，所以f1（x）>3 loga2，所以3 loga2≥4，解得1
考点14函数的最值
例14（2016年高考北京卷理14）设函数f（x）=x3-3x，x≤a-2x，x>a.
①若a=0，则f（x）的最大值为；
②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是.
解析：如图作出函数g（x）=x3-3x与直线y=-2x的图象，它们的交点是A（-1，2），O（0，0），B（1，-2），由g′（x）=3x2-3，知x=1是函数g（x）的极大值点，
①当a=0时，f（x）=x3-3x，x≤0-2x，x>0，因此f（x）的最大值是f（-1）=2；
②由图象知当-1≤a≤2时，f（x）有最大值是f（-1）=2，a>2时f（x）最大值为f（a）=a3-3a；只有当a<-1时，由a3-3a<-2a，因此f（x）无最大值，∴所求a的范围是（-∞，-1），故填：2，（-∞，-1）.
考点分析：1.求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系.若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期.若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程.
考点15利用函数性质解不等式
例15（1）（2016年高考天津卷8）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a满足f（2|a-1|）>f（-2），则a的取值范围是.
解析：因为函数f（x）在（0， ∞）上递减，又f（x）为偶函数，故不等式f（2|a-1|）>f（-2）即为f（2|a-1|）>f（2），则2|a-1|<2，即|a-1|<12，解得12
（2）（2015年高考北京卷7）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x 1）的解集是（）
A. {x|-1
考点16函数零点与方程根的问题
例16（1）（2015年高考天津卷8）已知函数f（x）=2-|x|，x≤2，（x-2）2，x>2，函数g（x）=b-f（2-x），其中b∈R，若函数y=f（x）-g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）
A. （74， ∞）B. （-∞，74）
C. （0，74）D. （74，2）
解析：由f（x）=2-|x|，x≤2，（x-2）2，x>2，
得f（2-x）=2-|2-x|，x≥0x2，x<0，
所以y=f（x） f（2-x）
=2-|x| x2，x<04-|x|-|2-x|，0≤x≤22-|2-x| （x-2）2，x>2，
即y=f（x） f（2-x）=x2 x 2，x<02，0≤x≤2x2-5x 8，x>2
y=f（x）-g（x）=f（x） f（2-x）-b，所以y=f（x）-g（x）恰有4个零点等价于方程
f（x） f（2-x）-b=0有4个不同的解，即函数y=b与函数y=f（x） f（2-x）的图象有4个公共点，由图象可知74
解析：画出函数图象如下图所示：
由图所示，要f（x）=b有三个不同的根，需要|m|>m2-2m·m 4m，m2-3m>0，解得m>3.
考点分析：本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等，属于中等偏上题.
考点17函数性质的综合应用
例17（1）（2015年高考湖南卷5）设函数f（x）=ln（1 x）-ln（1-x），则f（x）是（）
A. 奇函数，且在（0，1）上是增函数
B. 奇函数，且在（0，1）上是减函数
C. 偶函数，且在（0，1）上是增函数
D. 偶函数，且在（0，1）上是减函数
解析：定义域为（-1，1），关于原点对称，
又∵f（-x）=ln（1-x）-ln（1 x）=-f（x），∴f（x）为奇函数，
又f（x）在（0，1）上单调递增，故选A.
考点分析：本题主要考查以对数函数为背景的单调性与奇偶性，属于中档题，首先根据函数奇偶性的判定可知其为奇函数，判定时需首先考虑定义域关于原点对称是函数为奇函数的必要条件，再结合复合函数单调性的判断，即可求解.
（2）（2016年高考新课标Ⅰ卷7）函数y=2x2-e|x|在[-2，2]的图象大致为（）
解析：函数y=2x2-e|x|在[-2，2]上是偶函数，其图象关于y轴对称.
因为f（2）=8-e2，0<8-e2<1，故排除A，B选项；
当x∈[0，2]时，y′=4x-ex有一零点，设为x0，当x∈（0，x0）时，f（x）为减函数，当x∈（x0，2）时，f（x）为增函数，故选D.
考点分析：本题表面上似乎是在考查对函数图象的识别，其实考查了函数性质的灵活运用.函数中的识图题多次出现在高考试题中，也可以说是高考的热点问题，这类题目一般比较灵活，对解题能力要求较高，故也是高考中的难点，解决这类问题的方法一般是利用间接法，即由函数性质排除不符合条件的选项.
考点18函数的实际应用
例18（2015年高考四川卷13）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时.
解析：由题意得：eb=192e22k b=48，∴e22k=48192=14，e11k=12，所以x=33时，y=e33k b=（e11k）3·eb=18×192=24.
考点分析：这是一个函数应用题，利用条件可求出参数k、b，但在实际应用中往往是利用整体代换求解（不要总是想把参数求出来）.本题利用整体代换，使问题大大简化.本题难度一般.
（作者：毛美芳，太仓市明德高级中学）