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物体在传送带上的划痕长度问题，是典型的力与运动的问题，涉及到运动学与动力学的主要知识. 对此类问题，很多同学感到困难，主要表现在对物理过程分析不清楚.
例1一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与带间的动摩擦因数为[μ]. 初始时传送带与煤都是静止的. 现让传送带以恒定的加速度[a0]开始运动，当其速度达到[v0]后，便以此速度做匀速运动. 经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对传送带不再滑动. 求此黑色痕迹的长度.
分析设历时[t1]传送带的速度加速到[v0]，此过程中传送带运动的位移为[s1]；设煤块质量为[m]，煤块在此过程中受到传送带的滑动摩擦力[f]的作用做加速度为[a]的匀加速运动，在[t1]时刻煤块的速度[v=at1 解法1对传送带，有
[v0=a0t1]， [s1=12a0t21]， [s2=v0t2]
对煤块，有
[a=fm=μg]，[v0=a(t1+t2)]， [s=v022a]
则痕迹长度[l=s1+s2-s]，解得[l=v20(a0-μg)2a0μg]
解法2整个过程中对传送带有
[s1+s2=v0t12+v0t2]，[v0=a0t1]
对煤块，有[s=v0(t1+t2)2]， [μmg(t1+t2)=mv0]
痕迹长度[l=s1+s2-s]
解得[l=v20(a0-μg)2a0μg]
解法3作出传送带与煤块运动的速度图象，如图2所示.
则痕迹长度[l=12v0(v0μg-v0a0)=v20(a0-μg)2a0μg]
解法4传送带加速的时间[t1=v0a0]. 以传送带为参照系，此时煤相对传送带的速度为[vs=(a0-μg)t1]
痕迹长度[l=12(a0-μg)t21+v2s2μg=v20(a0-μg)2a0μg]
例2 一水平传送带以[v0＝2m/s]的速度匀速运动，将一粉笔头无初速度放在传送带上，达到相对静止时产生的划痕长[L1＝]4m. 现在让传送带以[a=]1.5m/s2的加速度减速，將该粉笔头无初速度地放在传送带上，求粉笔头在传送带上的划痕长度[L2]. （取[g＝]10m/s2）
解析第一次设粉笔头在传送带上打滑时间为[t1]，此过程中传送带做匀速运动，粉笔头在传送带施加的滑动摩擦力[f]的作用下做初速为零的匀加速直线运动，直到与传送带速度相等后一起做匀速直线运动.设粉笔头的质量为[m]， 与传送带之间的动摩擦因数为[μ]， 粉笔头的加速度[a1=fm=μg]，由题意知此过程中传送带比粉笔头位移大[L1]，有：[v0t1-v02t1=L1]， [v0=a1t1]，解得μ=0.05.
当传送带减速运动时，将粉笔头无初速地放在传送带上，关于这种情况下划痕的长度[L2]的求解，有以下两种典型的问题解法.
解法1第二次粉笔头在传送带上打滑时间为[t2]，有
[a1t2=v0-at2]，得[t2=]1s
划痕的长度 [L2=v0t2-12at22-12a1t22=1m].
解法2第二次粉笔头先加速到与传送带速度相同，由于传送带减速的加速度[a]值大于粉笔头的加速度[a1]值，故二者不能共同减速，粉笔头以加速度[a1]减速到静止. 设二者达到的相同速度[v]，由运动等时性有[v0-va=va1] ，得[v=]0.5m/s. 此过程中传送带比粉笔头多走的距离[s1=v20-v22a-v22a1=1m]；粉笔头速度由[v]减速到零的过程中比传送带多走距离为[s2=v22a1-v22a=16m]；划痕长度为[L2=s1-s2=]0.83m.
以上解答中对第一次当传送带匀速运动时粉笔头与传送带运动的物理过程的分析与解答是正确的. 第二次当传送带以[a=]1.5m/s2的加速度减速运动时，将粉笔头无初速地放在传送带上，粉笔头先在传送带施加的滑动摩擦力[f]的作用下以加速度[a1=fm=μg]做初速为零的匀加速直线运动，当其速度加速到与传送带速度相同时，由于传送带的加速度[a=1.5m/s2>a1=]0.5m/s2 ，即传送带的速度比粉笔头的速度减小得快些，那么在粉笔头与传送带的速度相等以后的运动过程中，粉笔头所受到的滑动摩擦力[f]会反向，故传送带与粉笔头不能无相对运动地一起减速. 在粉笔头以[a1]的加速度由[v=]0.5m/s减速到静止的过程中，实际相对传送带来说是向回滑动的. 其运动过程示意图如图3所示，传送带与粉笔头运动的速度图象如图4所示. 即解法1没有深刻分析粉笔头的运动过程，解法2中关于粉笔头的运动过程的分析是正确的，对[s1]与[s2]的求解也是正确的，但由于[s1=1m>s1=16m]，故传送带上划痕的长度应为[L2=s1=]1m.
拓展对原问题中第二次将粉笔头无初速地放在传送带上后还可求：（1）求粉笔头相对传送带运动的位移[s]是多少？（2）求粉笔头相对传送带运动的路程[l]是多少？答案：（1）[s=s1-s2=]0.83m； （2）[l=s1+s2=]1.167m.
从以上两例的分析可以看出，物体在传送带上的划痕长度问题的分析，主要是分析划痕的成因，它是传送带上物体相对传送带的滑动造成的. 关键是要抓住传送带上物体受到的摩擦力的特点来进行，其物理过程的分析可以在时间与空间两个维度上展开，画出运动过程示意图，也可以结合速度图象来进行分析. 对这类问题的分析与求解，可以很好地培养同学们的理解能力、推理能力与综合分析能力.
[【练习】]
1．如图5所示，皮带传动装置与水平面夹角为[θ=30°]，轮半径[R=π2m]，两轮轴心相距[L=]3.75m. [A、B]分别是传送带与两轮的切点，轮与传送带之间不打滑. 一个质量为[m=]0.1kg 的小物块与传送带间的动摩擦因数[μ=36]，[g]取10m/s2.
（1）当传送带逆时针方向以速度[v1=]3m/s 匀速转动时，将小物块无初速地放在[A]点，求它运动到[B]点的时间至少多长？
（2）小物块相对传送带运动时会在传送带上留下痕迹. 当传送带逆时针匀速运动时，小物块无初速地放在[A]点后运动至[B]点时飞出. 要想使小物块在传送带上留下的痕迹最长，求传送带匀速运动的速度[v2]至少多大？
2．如图6所示，一水平传送装置由轮半径为[R=1πm]的主动轮[Q1]和从动轮[Q2]及传动带等构成. 两轮轴心相距[L=]8m，轮与传送带不打滑. 现用此装置传送一袋面粉，已知这袋面粉与传送带之的动摩擦因数[μ=]0.4，这袋面粉可以不断地从袋中渗出（可以不考虑这袋面粉质量的变化）.
（1）当传送带以[v=]4.0m/s的速度顺时针匀速转动时，将这袋面粉由左端[Q2]正上方的[A]点无初速地放在传送带上，这袋面粉由[A]点运送到[Q1]正上方的[B]点所用时间为多少？
（2）将这袋面粉由左端[Q2]正上方的[A]点无初速地放在传送带上，要尽快地使这袋面粉由[A]端运动到[B]端，则主动轮[Q1]的转速至少多大？
（3）由于面粉的滲漏，在运送这袋面粉的过程中会使深色的传送带上留下白色的面粉痕迹. 若这袋面粉无初速地放在传送带上，传送带上的白色面粉痕迹最长是多少？此时主动轮[Q1]的转速应满足什么条件？
[【参考答案】]
1．（1）传送带逆时针转动时，小物块无初速放在传送带上[A]点，当物块速度[v [mgsinθ+μmgcosθ=ma1,]可得[a1=]7.5m/s2
小物块速度加速到[v1]时所用时间[t1=v1a1=]0.4s
运动位移[L1=12a1t21=0.6mv1]，小物块就会受到沿传送带向上的滑动摩擦力作用，设此时物块沿传送带向下运动的加速度大小为[a2]，有[mgsinθ-μmgcosθ=ma2]，可得[a2=]2.5m/s2. 设小物块再历时[t2]运动到[B]点
由[L-L1=v1t2+12a2t22]，得[t2=]0.8s. 故物块从[A]点到[B]点总时间[t=t1+t2=]1.2s.
（2）从第（1）的分析可知当传送带逆时针转动的速度越大，小物块从[A]点运动到[B]点所用时间就越短. 当传送带速度达到某一值时，小物块从[A]点一直以加速度[a1]运动到[B]点所用时间应最短. 由[L=12a1t2min]，得[tmin=]1s，此时物块在[B]点时的速度[v′=a1tmin=]7.5m/s，小物块相对传送带运动的距离为[Δs=v′tmin-L=]3.75m.
若传送带速度[v2>v′]，小物块从[A]点运动到[B]点的时间应不变，但相对传送带运动的距离[Δs]会增大，即痕迹的长度会增大. 最长的痕迹长度只能等于传送带周长，即
[smax=2L+2πR]，又[smax=v2tmin-L]，解得[v2=]12.25m/s.
2．（1）袋的加速度[a=μg=]4.0m/s2，袋加速到与传送带速度相同，历时[t1=va=]1.0s， 运动距离[s1=at122=]2.0m，然后匀速运动的时间[t2=L-s1v=]1.5s；故[t=t1+t2=]2.5s.
（2）袋从[A]到[B]一直以加速度[a]做匀加速运动，历时最短. 由[L=at2min2,]得[tmin=]2s ，此时传送带速度为[v′=atmin=2πnR]，故[n=4rs].
（3）传送带运动速度越大，则痕迹长度越长. 但痕迹的最大长度为[smax=2L+2πR=]18m，传送带运转的距离为[smax+L=2πn′R tmin]，可得[n=6.5rs].
例1一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与带间的动摩擦因数为[μ]. 初始时传送带与煤都是静止的. 现让传送带以恒定的加速度[a0]开始运动，当其速度达到[v0]后，便以此速度做匀速运动. 经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对传送带不再滑动. 求此黑色痕迹的长度.
分析设历时[t1]传送带的速度加速到[v0]，此过程中传送带运动的位移为[s1]；设煤块质量为[m]，煤块在此过程中受到传送带的滑动摩擦力[f]的作用做加速度为[a]的匀加速运动，在[t1]时刻煤块的速度[v=at1
[v0=a0t1]， [s1=12a0t21]， [s2=v0t2]
对煤块，有
[a=fm=μg]，[v0=a(t1+t2)]， [s=v022a]
则痕迹长度[l=s1+s2-s]，解得[l=v20(a0-μg)2a0μg]
解法2整个过程中对传送带有
[s1+s2=v0t12+v0t2]，[v0=a0t1]
对煤块，有[s=v0(t1+t2)2]， [μmg(t1+t2)=mv0]
痕迹长度[l=s1+s2-s]
解得[l=v20(a0-μg)2a0μg]
解法3作出传送带与煤块运动的速度图象，如图2所示.
则痕迹长度[l=12v0(v0μg-v0a0)=v20(a0-μg)2a0μg]
解法4传送带加速的时间[t1=v0a0]. 以传送带为参照系，此时煤相对传送带的速度为[vs=(a0-μg)t1]
痕迹长度[l=12(a0-μg)t21+v2s2μg=v20(a0-μg)2a0μg]
例2 一水平传送带以[v0＝2m/s]的速度匀速运动，将一粉笔头无初速度放在传送带上，达到相对静止时产生的划痕长[L1＝]4m. 现在让传送带以[a=]1.5m/s2的加速度减速，將该粉笔头无初速度地放在传送带上，求粉笔头在传送带上的划痕长度[L2]. （取[g＝]10m/s2）
解析第一次设粉笔头在传送带上打滑时间为[t1]，此过程中传送带做匀速运动，粉笔头在传送带施加的滑动摩擦力[f]的作用下做初速为零的匀加速直线运动，直到与传送带速度相等后一起做匀速直线运动.设粉笔头的质量为[m]， 与传送带之间的动摩擦因数为[μ]， 粉笔头的加速度[a1=fm=μg]，由题意知此过程中传送带比粉笔头位移大[L1]，有：[v0t1-v02t1=L1]， [v0=a1t1]，解得μ=0.05.
当传送带减速运动时，将粉笔头无初速地放在传送带上，关于这种情况下划痕的长度[L2]的求解，有以下两种典型的问题解法.
解法1第二次粉笔头在传送带上打滑时间为[t2]，有
[a1t2=v0-at2]，得[t2=]1s
划痕的长度 [L2=v0t2-12at22-12a1t22=1m].
解法2第二次粉笔头先加速到与传送带速度相同，由于传送带减速的加速度[a]值大于粉笔头的加速度[a1]值，故二者不能共同减速，粉笔头以加速度[a1]减速到静止. 设二者达到的相同速度[v]，由运动等时性有[v0-va=va1] ，得[v=]0.5m/s. 此过程中传送带比粉笔头多走的距离[s1=v20-v22a-v22a1=1m]；粉笔头速度由[v]减速到零的过程中比传送带多走距离为[s2=v22a1-v22a=16m]；划痕长度为[L2=s1-s2=]0.83m.
以上解答中对第一次当传送带匀速运动时粉笔头与传送带运动的物理过程的分析与解答是正确的. 第二次当传送带以[a=]1.5m/s2的加速度减速运动时，将粉笔头无初速地放在传送带上，粉笔头先在传送带施加的滑动摩擦力[f]的作用下以加速度[a1=fm=μg]做初速为零的匀加速直线运动，当其速度加速到与传送带速度相同时，由于传送带的加速度[a=1.5m/s2>a1=]0.5m/s2 ，即传送带的速度比粉笔头的速度减小得快些，那么在粉笔头与传送带的速度相等以后的运动过程中，粉笔头所受到的滑动摩擦力[f]会反向，故传送带与粉笔头不能无相对运动地一起减速. 在粉笔头以[a1]的加速度由[v=]0.5m/s减速到静止的过程中，实际相对传送带来说是向回滑动的. 其运动过程示意图如图3所示，传送带与粉笔头运动的速度图象如图4所示. 即解法1没有深刻分析粉笔头的运动过程，解法2中关于粉笔头的运动过程的分析是正确的，对[s1]与[s2]的求解也是正确的，但由于[s1=1m>s1=16m]，故传送带上划痕的长度应为[L2=s1=]1m.
拓展对原问题中第二次将粉笔头无初速地放在传送带上后还可求：（1）求粉笔头相对传送带运动的位移[s]是多少？（2）求粉笔头相对传送带运动的路程[l]是多少？答案：（1）[s=s1-s2=]0.83m； （2）[l=s1+s2=]1.167m.
从以上两例的分析可以看出，物体在传送带上的划痕长度问题的分析，主要是分析划痕的成因，它是传送带上物体相对传送带的滑动造成的. 关键是要抓住传送带上物体受到的摩擦力的特点来进行，其物理过程的分析可以在时间与空间两个维度上展开，画出运动过程示意图，也可以结合速度图象来进行分析. 对这类问题的分析与求解，可以很好地培养同学们的理解能力、推理能力与综合分析能力.
[【练习】]
1．如图5所示，皮带传动装置与水平面夹角为[θ=30°]，轮半径[R=π2m]，两轮轴心相距[L=]3.75m. [A、B]分别是传送带与两轮的切点，轮与传送带之间不打滑. 一个质量为[m=]0.1kg 的小物块与传送带间的动摩擦因数[μ=36]，[g]取10m/s2.
（1）当传送带逆时针方向以速度[v1=]3m/s 匀速转动时，将小物块无初速地放在[A]点，求它运动到[B]点的时间至少多长？
（2）小物块相对传送带运动时会在传送带上留下痕迹. 当传送带逆时针匀速运动时，小物块无初速地放在[A]点后运动至[B]点时飞出. 要想使小物块在传送带上留下的痕迹最长，求传送带匀速运动的速度[v2]至少多大？
2．如图6所示，一水平传送装置由轮半径为[R=1πm]的主动轮[Q1]和从动轮[Q2]及传动带等构成. 两轮轴心相距[L=]8m，轮与传送带不打滑. 现用此装置传送一袋面粉，已知这袋面粉与传送带之的动摩擦因数[μ=]0.4，这袋面粉可以不断地从袋中渗出（可以不考虑这袋面粉质量的变化）.
（1）当传送带以[v=]4.0m/s的速度顺时针匀速转动时，将这袋面粉由左端[Q2]正上方的[A]点无初速地放在传送带上，这袋面粉由[A]点运送到[Q1]正上方的[B]点所用时间为多少？
（2）将这袋面粉由左端[Q2]正上方的[A]点无初速地放在传送带上，要尽快地使这袋面粉由[A]端运动到[B]端，则主动轮[Q1]的转速至少多大？
（3）由于面粉的滲漏，在运送这袋面粉的过程中会使深色的传送带上留下白色的面粉痕迹. 若这袋面粉无初速地放在传送带上，传送带上的白色面粉痕迹最长是多少？此时主动轮[Q1]的转速应满足什么条件？
[【参考答案】]
1．（1）传送带逆时针转动时，小物块无初速放在传送带上[A]点，当物块速度[v
小物块速度加速到[v1]时所用时间[t1=v1a1=]0.4s
运动位移[L1=12a1t21=0.6m
由[L-L1=v1t2+12a2t22]，得[t2=]0.8s. 故物块从[A]点到[B]点总时间[t=t1+t2=]1.2s.
（2）从第（1）的分析可知当传送带逆时针转动的速度越大，小物块从[A]点运动到[B]点所用时间就越短. 当传送带速度达到某一值时，小物块从[A]点一直以加速度[a1]运动到[B]点所用时间应最短. 由[L=12a1t2min]，得[tmin=]1s，此时物块在[B]点时的速度[v′=a1tmin=]7.5m/s，小物块相对传送带运动的距离为[Δs=v′tmin-L=]3.75m.
若传送带速度[v2>v′]，小物块从[A]点运动到[B]点的时间应不变，但相对传送带运动的距离[Δs]会增大，即痕迹的长度会增大. 最长的痕迹长度只能等于传送带周长，即
[smax=2L+2πR]，又[smax=v2tmin-L]，解得[v2=]12.25m/s.
2．（1）袋的加速度[a=μg=]4.0m/s2，袋加速到与传送带速度相同，历时[t1=va=]1.0s， 运动距离[s1=at122=]2.0m，然后匀速运动的时间[t2=L-s1v=]1.5s；故[t=t1+t2=]2.5s.
（2）袋从[A]到[B]一直以加速度[a]做匀加速运动，历时最短. 由[L=at2min2,]得[tmin=]2s ，此时传送带速度为[v′=atmin=2πnR]，故[n=4rs].
（3）传送带运动速度越大，则痕迹长度越长. 但痕迹的最大长度为[smax=2L+2πR=]18m，传送带运转的距离为[smax+L=2πn′R tmin]，可得[n=6.5rs].