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【案例描述】评优课现场，某参赛老师在执教“三角形面积”
第一环节：老师直接出示三角形，提问哪一部分是它的面积？学生指出：绿色部分。老师把三角形拉扁，问什么变了？什么没变？学生指出：高变了，面积变了。老师请学生大胆猜测：面积和什么有关？生齐说：底和高。
第二环节：回忆平行四边形推导过程，生：转化成长方形，师问：能否把三角形面积也转化成我们学过的图形。出示三角形的类型（直角三角形，锐角三角形，钝角三角形），有这样的若干个三角形，你想把他们转化成什么图形？生1：直角三角形——长方形，生2：锐角三角形和钝角三角形——平行四边形。师：真棒，同学们就这样按照这几位同学说的，拿出材料操作一下试一试。学生分小组操作。操作后交流，学生整齐划一的展示：直角三角形拼成了长方形，锐角三角形和钝角三角形拼成了平行四边形。问：三角形和拼成的长方形和平行四边形有怎样的关系？生1：两个三角形等于一个平行四边形？生2：底是一样的。生3：两个三角形的面积等于长方形的面积。生4：高也一样……师：那是不是可以说三角形的面积等于底乘高除以2。生齐读公式。师接着追问学生，你还有其他方法推导吗，生1：直角三角形也可以拼成平行四边形。师：是的。有没有同学只用一个三角形操作的，联想一下我们平行四边形的推导方法。有同学恍然大悟。生：有了，通过剪、移、拼转化成我们学过的图形。师：你真太厉害了，下面我们小组合作试一试看。五分钟左右，很多小组操作无果。师出示第10页的“你知道吗”图。剪掉底上的两个角，旋转上去，你发现了什么？生：拼成了一个长方形。师：试着照样子剪一剪，拼一拼，并小组讨论长方形的长相当于三角形的什么？宽呢？学生再次动手操作，并讨论。又是一个操作，操作后的交流很多学生都冷场了。时间在这样的操作交流中流逝。在离下课还有5分钟左右的时间，师看交流无果：直接指出：剪时必须从半腰处剪开，这样长方形的长就是三角形的高，长方形的宽就是三角形底的一半，并由此推导出三角形面积等于底乘高除以2，此时铃声已经响起，作为赛课，老师以一句“今天我们一起推导了三角形的面积公式”结束了本课。
【问题诊断】这节课够开放了，然而这样的开放有价值吗？这样的开放有效吗？
1.开放在教学目标之外
仔细看教材安排，教材先是把平行四边形沿对角线连接，分成了两个完全一样的三角形，求三角形的面积可以用数方格得出，用数方格不能确定，那么产生能否转化成我们学过的图形进行计算。这就涉及到本课的主要教学目标，使学生通过实践操作和讨论思考，探索并掌握三角形的面积公式，并能应用公式正确计算三角形的面积，解决一些简单的实际问题。但是回看刚才这个片段，第一环节的关于底和高的变化引起面积的变化这个引入放在这节课中，实在是游离在目标之外，因为关于由底和高引起面积变化，在上一节课平行四边形面积计算中学生已有相关丰富经验，在这里无需再花时间，其次在推导及交流环节，教师先让学生你想把它转化成什么图形，并指明个别同学回答得出长方形和平行四边形，但是我们发现这只是个别同学的回答，再则在学生的已有认知图形中确实只有长正方形和平行四边形的面积计算。所以这样的回答并不是经过学生观察或操作得出的，与这节课让学生经历观察、操作、测量、讨论等数学目标是相悖的。之后我们看到学生的操作，只是听老师布置任务，怎么拼，能拼出什么都是不太清楚，大部分学生只能随便的拼一拼试一试，结果老师并没有留出时间给学生进行思绪的调整，学生的思维没有经历一个无序到有序的调整过程，学生的回答也只是完成老师的要求罢了。这样游离在目标之外的开放是假开放，是真肤浅、假探索，是虚构的深度学习。
2.开放在学习能力之外
在教学中我们强调尊重每个学生，充分相信学生，我们要解放学生的双手、解放学生的大脑，让学生在宽松的环境下合作探究、自主感悟。但是这样的开放必须是在充分了解学生的前提下，我们不能过高预估学生，也不能的过低的看低学生，我们设置的探究任务最好是“跳一跳，能实现”的内容，这就是所谓的学习理论中最近发展区。回看上面的教学片段。老师在推导得出三角形面积公式之后，又追问，还有其他的推导方法，意在通过剪，旋转得出长方形，且不说这个问题问得无指向性，对于这种方法的推导本已经超出了学生的能力范围，所以让学生操作，学生自然是一片茫然。即使后来直接出示了这个转化图，学生对于它转化过程的理解还是相当费力的。既然超出了学生的能力之外，一切的开放都是无价值，是空开放，学生能力之外的学习，学生自然不理解，又何来深度学习。
3.开放在教师把控之外
在数学课堂上我们强调让课堂走向自主开放，但必须使得教师的主导地位得以保证，在上述片段中，由于第二环节探究任务偏离目标和高于学生的学习能力之外，学生的探究方向变得无序，学生的推理结果也就杂乱而不集中，整节课的走向也就偏离了老师的预设，即便后来老师强拉回原来的预设中，但整个课堂也已经在教师把控之外了。
【教学对策】
1.基于目标的兴趣性开放
根据学生的兴趣和爱好选择开展深度学习的课题。这是我们最为需要的策略和关注点。因为这样能够提升学习的动力和学习的效率，学生愿意学习，愿意开展学习，也愿意付出自己的精力和时间。因此我们的开放首先应该是基于目标的兴趣性开放。
2.基于普识能力的开放性引导
当前教学改革倡导面向全体学生，使学生全面发展的教学观。因此所有的开放性活动要考虑学生的参与度，要给全体学生合作、探索创造机会。要让每个人都有参与的可能性，只有参与度提高了，学习目标的达成性自然会提高，可达性提高了，学生的成功体验就会增加，成功体验多了由此衍生成的学生个性化的理解就也会变多。
对上述片段探索环节，我们不妨做如下改动：当学生完成了猜想后，给刚才回答面积的三个图形标上序号，分别为1号图形、2号图形、3号图形，直接抛出开放式问题：现在该怎么办？受导入影响（平行四边形拉一条对角线变成了完成一样的两个三角形）学生可能会说能否找一个完全一样的三角形拼。教师可以顺势而为，并问学生：你想选择几号？如何拼？按照你拼的完成表格。学生分组操作，操作完成思考并讨论：拼成的平行四边形的底和高和三角形的底和高有什么关系？三角形的面积怎样算？为什么？
这样的开放，指向性明确，同时又能满足学生有能力全员参与，而且完成了三角形面积推导过程从具象到抽象的转变，最后的合作讨论之后的推理肯定会既合情又严密。
3.基于优化的包容性评价
教师要对教学方法进行有目的的优化，并进行指向性明确的评价。优化是实现目标的最终途径，包容性突出了开放与深度学习的内涵。它的优势之处在于让学生在完成自我优化与自我反思中又随时找到了前进道路上的踏腳基石，让学生从丰富多彩的探索活动中凝练了思想，让学生真正意义上开展了深度学习。
小学呼唤开放的数学课堂，但应杜绝出现空置的开放，因为那是深度学习的虚构场。我们的开放要指向目标，要考虑学生可实行能力，我们的评价也要在实现包容中优化，这样更有利于学生深度学习能力的养成、发展与建立！
（作者单位：江苏苏州市吴江区盛泽实验小学）
第一环节：老师直接出示三角形，提问哪一部分是它的面积？学生指出：绿色部分。老师把三角形拉扁，问什么变了？什么没变？学生指出：高变了，面积变了。老师请学生大胆猜测：面积和什么有关？生齐说：底和高。
第二环节：回忆平行四边形推导过程，生：转化成长方形，师问：能否把三角形面积也转化成我们学过的图形。出示三角形的类型（直角三角形，锐角三角形，钝角三角形），有这样的若干个三角形，你想把他们转化成什么图形？生1：直角三角形——长方形，生2：锐角三角形和钝角三角形——平行四边形。师：真棒，同学们就这样按照这几位同学说的，拿出材料操作一下试一试。学生分小组操作。操作后交流，学生整齐划一的展示：直角三角形拼成了长方形，锐角三角形和钝角三角形拼成了平行四边形。问：三角形和拼成的长方形和平行四边形有怎样的关系？生1：两个三角形等于一个平行四边形？生2：底是一样的。生3：两个三角形的面积等于长方形的面积。生4：高也一样……师：那是不是可以说三角形的面积等于底乘高除以2。生齐读公式。师接着追问学生，你还有其他方法推导吗，生1：直角三角形也可以拼成平行四边形。师：是的。有没有同学只用一个三角形操作的，联想一下我们平行四边形的推导方法。有同学恍然大悟。生：有了，通过剪、移、拼转化成我们学过的图形。师：你真太厉害了，下面我们小组合作试一试看。五分钟左右，很多小组操作无果。师出示第10页的“你知道吗”图。剪掉底上的两个角，旋转上去，你发现了什么？生：拼成了一个长方形。师：试着照样子剪一剪，拼一拼，并小组讨论长方形的长相当于三角形的什么？宽呢？学生再次动手操作，并讨论。又是一个操作，操作后的交流很多学生都冷场了。时间在这样的操作交流中流逝。在离下课还有5分钟左右的时间，师看交流无果：直接指出：剪时必须从半腰处剪开，这样长方形的长就是三角形的高，长方形的宽就是三角形底的一半，并由此推导出三角形面积等于底乘高除以2，此时铃声已经响起，作为赛课，老师以一句“今天我们一起推导了三角形的面积公式”结束了本课。
【问题诊断】这节课够开放了，然而这样的开放有价值吗？这样的开放有效吗？
1.开放在教学目标之外
仔细看教材安排，教材先是把平行四边形沿对角线连接，分成了两个完全一样的三角形，求三角形的面积可以用数方格得出，用数方格不能确定，那么产生能否转化成我们学过的图形进行计算。这就涉及到本课的主要教学目标，使学生通过实践操作和讨论思考，探索并掌握三角形的面积公式，并能应用公式正确计算三角形的面积，解决一些简单的实际问题。但是回看刚才这个片段，第一环节的关于底和高的变化引起面积的变化这个引入放在这节课中，实在是游离在目标之外，因为关于由底和高引起面积变化，在上一节课平行四边形面积计算中学生已有相关丰富经验，在这里无需再花时间，其次在推导及交流环节，教师先让学生你想把它转化成什么图形，并指明个别同学回答得出长方形和平行四边形，但是我们发现这只是个别同学的回答，再则在学生的已有认知图形中确实只有长正方形和平行四边形的面积计算。所以这样的回答并不是经过学生观察或操作得出的，与这节课让学生经历观察、操作、测量、讨论等数学目标是相悖的。之后我们看到学生的操作，只是听老师布置任务，怎么拼，能拼出什么都是不太清楚，大部分学生只能随便的拼一拼试一试，结果老师并没有留出时间给学生进行思绪的调整，学生的思维没有经历一个无序到有序的调整过程，学生的回答也只是完成老师的要求罢了。这样游离在目标之外的开放是假开放，是真肤浅、假探索，是虚构的深度学习。
2.开放在学习能力之外
在教学中我们强调尊重每个学生，充分相信学生，我们要解放学生的双手、解放学生的大脑，让学生在宽松的环境下合作探究、自主感悟。但是这样的开放必须是在充分了解学生的前提下，我们不能过高预估学生，也不能的过低的看低学生，我们设置的探究任务最好是“跳一跳，能实现”的内容，这就是所谓的学习理论中最近发展区。回看上面的教学片段。老师在推导得出三角形面积公式之后，又追问，还有其他的推导方法，意在通过剪，旋转得出长方形，且不说这个问题问得无指向性，对于这种方法的推导本已经超出了学生的能力范围，所以让学生操作，学生自然是一片茫然。即使后来直接出示了这个转化图，学生对于它转化过程的理解还是相当费力的。既然超出了学生的能力之外，一切的开放都是无价值，是空开放，学生能力之外的学习，学生自然不理解，又何来深度学习。
3.开放在教师把控之外
在数学课堂上我们强调让课堂走向自主开放，但必须使得教师的主导地位得以保证，在上述片段中，由于第二环节探究任务偏离目标和高于学生的学习能力之外，学生的探究方向变得无序，学生的推理结果也就杂乱而不集中，整节课的走向也就偏离了老师的预设，即便后来老师强拉回原来的预设中，但整个课堂也已经在教师把控之外了。
【教学对策】
1.基于目标的兴趣性开放
根据学生的兴趣和爱好选择开展深度学习的课题。这是我们最为需要的策略和关注点。因为这样能够提升学习的动力和学习的效率，学生愿意学习，愿意开展学习，也愿意付出自己的精力和时间。因此我们的开放首先应该是基于目标的兴趣性开放。
2.基于普识能力的开放性引导
当前教学改革倡导面向全体学生，使学生全面发展的教学观。因此所有的开放性活动要考虑学生的参与度，要给全体学生合作、探索创造机会。要让每个人都有参与的可能性，只有参与度提高了，学习目标的达成性自然会提高，可达性提高了，学生的成功体验就会增加，成功体验多了由此衍生成的学生个性化的理解就也会变多。
对上述片段探索环节，我们不妨做如下改动：当学生完成了猜想后，给刚才回答面积的三个图形标上序号，分别为1号图形、2号图形、3号图形，直接抛出开放式问题：现在该怎么办？受导入影响（平行四边形拉一条对角线变成了完成一样的两个三角形）学生可能会说能否找一个完全一样的三角形拼。教师可以顺势而为，并问学生：你想选择几号？如何拼？按照你拼的完成表格。学生分组操作，操作完成思考并讨论：拼成的平行四边形的底和高和三角形的底和高有什么关系？三角形的面积怎样算？为什么？
这样的开放，指向性明确，同时又能满足学生有能力全员参与，而且完成了三角形面积推导过程从具象到抽象的转变，最后的合作讨论之后的推理肯定会既合情又严密。
3.基于优化的包容性评价
教师要对教学方法进行有目的的优化，并进行指向性明确的评价。优化是实现目标的最终途径，包容性突出了开放与深度学习的内涵。它的优势之处在于让学生在完成自我优化与自我反思中又随时找到了前进道路上的踏腳基石，让学生从丰富多彩的探索活动中凝练了思想，让学生真正意义上开展了深度学习。
小学呼唤开放的数学课堂，但应杜绝出现空置的开放，因为那是深度学习的虚构场。我们的开放要指向目标，要考虑学生可实行能力，我们的评价也要在实现包容中优化，这样更有利于学生深度学习能力的养成、发展与建立！
（作者单位：江苏苏州市吴江区盛泽实验小学）